4
平面上のベクトルa,ōが
d=|=1, 2-5=!
1
2
を満たすとする。ただし, 記号a·石はベクトルαとあの内
積を表す。以下の問いに答えよ。
(1) 実数p,qに対して, c=D pa+ qbとおく。 このとき,
次の条件
d=1, a·c=0, p>0
を満たす実数p,qを求めよ。
東北大数学を喰らう [文系医学部保健学科看護学専攻編】【H24年度フルコース】
V3
東北
/1\サー2 X (1)
あーあ(+)=-6+1i=-
-2
[0
ゆえに,=
V3
-S2
(n=1,2)
くアー
1s6.i52より 15-+52
=2
-2
D 方
2
は、
V3
*の
4
V3
とで、
2 区
くデザート>
(1)は解答例のように丁寧にステップを踏んで考えることが大事である。
(2)は P。は難しくないが, q,はやや難しい。 n回目の操作ですべての
カードが取り除かれるのは, n--1回目の操作で2枚目のカードが取り
除かれる場合であることがわかるかどうかがポイントである。また,
P。を用いて9。を求める式を立てた後, Σでまとめ,複雑な計算を最後
までやり遂げるにはかなりの力が必要である。
Sぼ
全
S
V3
V3
(区
また,同=V+
ここで,Vs+? =k とおくと, s?+!?=° (k20)。 この方称
はA>0のとき,st平面における原点中心, 半径kの円を表す。
点(s, )が③かつのを満たす領域(下図の斜線部で境界線も含む)
の点であるとき、s?+t°>0 つまりん>0である。
よって,円s?+=?がこの領域と共有点をもつときの,kの
りうる値の範囲を求めればよい。
くメー
2-
くアペリティフ>
0 =a-a
のG+=G+) G+)%3D+24·方+ 8-X ()
+0かっあキ0かっaXōのとき,任意のベクトル×は
x= sa+i5(s,tは実数) ご合
と,ただ1通りに表される。
の 点(xo, Yo) と直線 ax+by+c=0 の距離をdとすると
メ
し
合 ーズ()
つよ
こ
トサ の ea
率さ
「x!ト
X
ルチ A )
1axo+byo+c|
t2
d=
Va?+b?
6 点(x),y)と点(x2, ya) の距離をdとすると
d=V(x2-x+(y2-y
=-1
3=1
る。
この円が,直線t=-
V3
=s
V3
+と接するときんは最小値をとる。
このとき,kは原点とこの直線の距離に等しいから,その値は
2
2
さ A a
くメ
V3
<メインディッシュ>
(1) |=1d=1 であるから
|pa+ q}=1
が+2pa-6+q=1
が-加+q°=1 …①
また, a-c=a-(pa+qb= かd+qa.5=p-3ィ=0より
V3
|2
V3
=1 である。 200
3+1
1
また,「この円が点(1, を通るとき, kは最大値をとり, その
5
V3
る
値は,原点と点(1,
5
の距離に等しいから
V3
ある
こ
25
「28
2/2T
3
も一
カー
p=
の
である。
b-
の
よって, 1SAS すなわち 1s国<22
2、2T
0, 2を連立して
1
1
くデザート>
p>0であるから②より q>0
(1)は基本レベルの問題であるから絶対に落とせない。しかし、(2は
がどのようなペクトルなのかがわからず,手がつけにくい。そこで、
が誘導になっていないかどうかを考えることとなる。(1)のでがaと
直な単位ベクトルであることに着目する。また, 4も単位ベクトル
2
よって, q=
V3
つ
また, ②より カ=
1 -
(2) (1)のペクトルcについて c=ga-
2
+
V3
ある。そこで, aととを基本ペクトルとしてまを表すという考えが生
まれる。ところがそこに気づいたとしても, 最後に不等式の表す領算
の最大および最小を求める問題が待っているので, 完答するにはかは
aキ0かつこキ0かつなc%3D0 より, aLでである。
さらに,同=|=1 であるから, aとcを基本ペクトルとして の力が必要であろう。
*はただ1通りに表せる。
ズ= sa+tc( s,tは実数)とおくと,
す
件
aズ=a(sa+ic)=s{a°+ ta·c=sであるから,
が
-1sa.xs1 よりー1Sss1 …®
1
2
2
V3
また,5=万+ =ス3
V だから
V3
V3
-26-
なるほど！分かりました！
ありがとうございます🙇♀️