Question

ぺ

答えはop(pkcosk/n π 、pk sink/n π)というように表現していました。
自分のやり方で計算すると計算結果は1/72だけずれるという誤差にも近い感じになりました。
このやり方は間違っているのですか？
それとも近似したらほぼ等しいから正解と言ってもいいのですか？

[SL136]円上の点と原点の距離の平方の逆数和の李限[三町版クリアー下受 東北大]

1 PO 7      は     0
生円 4 に 9 三1 上に点 P。 (=1。 2。 ……, み) を POA= 2

る。ただし, 0 (0, 0), A(2, 0) とする。

SAU  1
このとき, 呈る( hl ) 9Rek。

 

 

 

 

  em
20o3 をし aw _

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

えだまめ🫛

表記が汚くなるので k/n = z とします

Pk の座標は ①と②の交点(ただしy>0)
x²/4 + y²/9 = 1 …①
y = tanzπ･x …②

これを解くと
9x² + 4y² = 36
⇔ (9+4tan²zπ)x² = 36
⇔ x² = 36cos²zπ/(9cos²zπ + 4sin²zπ)
⇔ x = 6coszπ/√(4+5cos²zπ)
※{x = -6coszπ/√(4+5cos²zπ) は不適}
※x座標の正負と角度zπが一致しないため
②より
y = 6sinzπ/√(4+5cos²zπ)

|OP|² = 36/(4+5cos²zπ)

極限は
lim { 1/n･Σ 1/|OP|² }
=lim { 1/n･Σ (4+5cos²zπ)/36 }

区分求積法より
= ∫[0→1] (4+5cos²xπ)/36 dx

三角関数の変換より
= 1/36･∫{4 +5(1+cos2πx)/2} dx
= 1/36･∫(13 + 5cos2πx)/2 dx
= 1/72･∫(13 + 5cos2πx) dx

積分すると
= 1/72･[13x +5/2π･sin2πx][0→1]
= 1/72･13
= 13/72

答えが合ってるかはわかりませんが
もし13/72が答えなら
1/72は無視できるか微妙な誤差です

画像のやり方では正解はもらえないかもしれません

ぺ

返信ありがとうございんます！
答えは13/72で合ってます！
解答のヒントを使って解いたら13/72は出てきました。
画像のやり方で解が合わない理由はどこにあるのでしょうか？

えだまめ🫛

点Pと点Qを次のように定義します。
点P (|OPk|coszπ , |OPk|sinzπ)
点Q ( 2coszπ , 3sinzπ)

kを1〜nまで変化させたとき
点Pと点Qの軌跡は確かに一致しました。
私も不思議に思ったので図を書いてみました。

ある角度(傾きが3/4)のときの話をします。

写真1枚目は
楕円 x²/4 + y²/9 = 1 …❶と単位円…❷と
直線 y =(3/4)x …❸のグラフです。

写真2枚目は
1枚目の拡大図です。

❷と❸は点(0.6,0.8)で交わっています。
また❶と❸の交点は点Pです。
しかし、点Qは定義に従うと(1.8,1.6)であり
点Pと点Qは一致していません。

つまり、点Pと点Qでは
変数kに対して進む速度が違うことがわかりました。

図を見ると
点Pより点Qの方が速く、
楕円がy方向に長いので
常に|OP| ≦ |OQ|が成り立つと予測できます。

これは私の予想ですが
級数和では、逆数を取っているので
ぺさんのやり方の答えは
おそらく13/72より小さいのではないですか？

結論としては
点Pと点Qは、変数kに対して進む速度が違うので
答えも違ってくるでしょう。
また、
点Qと原点とx軸が成す角度はkπ/nではないので
点Qの定義は、この問題で適切ではありません。

しかし、受験生が受験会場でこの違いに気づけるとは思えません。難問です。私自身も勉強になりました。

ぺ

とても丁寧に回答してくださって本当にありがとうございます！！
言われてみれば進む速度が違うということは納得です
2cosZとPkcosZのZの部分が数列になると若干ながら違うものとなるのですね。
これを解説している先生は別解の紹介などしてくれなかったので非常に助かりました
おっしゃる通り間違ったやり方で最後まで計算すると1/6で本来の答えより1/72小さい答えが出てきます。
おそらく角度の変数のスピードの差はほんとに小さな差なんでしょうね