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2次関数の決定
●頂点や軸が与えられたとき
POINT
頂点(軸)が分かっている2次関数の求め方
方程式をy=a(x-p)2+g とおく
グラフの頂点の座標や軸の方程式が分かっているときは、
求める2次関数y=a(x-p)2+gの形に設定し、
分かっている条件を当てはめていく。
例 頂点が(11-3)で、点(-1,5)を通る放物線をグラフとする
2次関数を求めよ。
頂点が点(1,-3)であるから、
求める2次関数は
y=a(x-1)2-3と表せれる。
グラフが点(-1,5)を通ることから、
x=-1のときy=5である。
ゆえに 5=a(-1-1)2-3
よって、5=4a-3より a=2
したがって、求める2次関数は
y=2(x-1)2-3
すなわち、y=2x2-40-1
上
5
→
10
-11

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軸がx=1で、2点(0,5),(3,-1)を通る放物線をグラフとする
例
2次関数を求めよ。
軸が直線x=1だから、求める2次関数
は、 y=a(x-1)^2+g と表される。
グラフが点(0.5)を通ることから
クト
5=a(0-1)2+g
①
D
グラフが点(3,-1)を通ることから
-1=a(3-1)2+g…②
①②より
atg=5
4a+g=-1
これを解いて
a=2,g=7
したがって、求める2次関数は
すなわち、
y=-2(x-1)2+7
y=-2x+4x+5
7x
-1

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●3点が与えられたとき
-POINT 3点を通る2次関数の求め方
方程式を y=ax2+bx+cとおく
放物線上の3点の座標が分かっているときは、求める2次方程式を
y=ax²+x+cとおく。この式に3点の座標を代入し、3元一次方程式を作る。
例3点(0.2) (1,1)(2,6)を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。
↓
グラフが
を通ることから、
526
①
...②
1 = a + b + c
6=4a+2a+C③
①よりC=2
これを②、③に代入して整理すると
sath = -1
22a+b=2
これを解いて
2
a=3,b=-4
よって求める2次関数は
→
y=3x²-4x+2
0
2
なお例において、3つの文字を含む1次方程式を3つ組み
合わせた方程式を連立3元一次方程式という。

ページ4:

Ca
*
問1 グラフが3点A(-1,-3)B(0,1)C(2,3)を通る2次関数を求めよ。
求める2次関数を
y=ax+bx+c・・・・①
とおくと①のグラフが3点
A(-1,-3)
B(0,1)
C(2,3)を通るから。
<①に代入
1-3=a-btc・・・・②
1 = C
3=4a+2b+C④
③②④に代入して整理すると
a-b=4
2a+b=1
これを解いて
a =-1,b=3
0-4=-4
+)20+h: 1
30:3
y=-x2+3x+1
a=-1
b=at4=3
STUDY-3点を通る場合、2次関数の方程式の形に注意
求める方程式をy=a(x-p)2+g とおくと
~3=a(-1-p)2+g
1=ap2tg
3=a(2-p)2+g
となり、解くのが大変になる。

ページ5:

Cate
○x軸と2点で交わる2次関数
POINT
軸と2点で交わる2次関数の求め方
x=XBでx軸と交わるときはy=a(xa)(x)とおく
x軸との交点のx座標が分かっているとき、求める2次関数を
g-a(x-a)(x-3)とおく。この式に軸との交点以外の点の座標
を代入し、のの値を求める。
2次関数y=ax2+bx+Cのグラフ
が3点(-1,6)(2,0)(3,2)を通る
とき、この2次関数は?
Ab
グラフが3点A,B,Cを通るから
ca-b+c=6.0
140+2b+c=0... ②
19a+3+C=2… ③
この31次方程式は次のように解けばよい。
IC
12
B
-1 10
3
1①②③の3つの式のうち①と②、①と③からそれぞれ、
まずを消去して、aとの式を2つつくる。
③-9
4a+2a+c=0
a+b=-2-a-b+c=0
3a+3b=-6
1つの式を
固定!!
20+h = -1
-0
89+49=-4
④、⑤よりのとの値を
求めると、⑤-④=a=1
~3a+3=-6.
qa+30+6=2
--) a-b+c=6
Bu+40=4
→x
□ 連立1次方程式
Cを消去
2abの連立方程式
解く
13 a,bの値が決まる
ka人の値を①の式に代入
④しの値が決まる
a=1,b=-3,(=2
y=x^2-3x+2
a=lを④に代入すると↓=-3→よって
a=1,b=-3を①に代入して、
Cの値を求めるとC=2
PE

ページ6:

*
0
② 2次関数の決定 問1 次の条件を満たす放物線をグラフとする」次関数を求めよ。
(1) 頂点(2,1)で、点(1,3)を通る放物線
y=a(x-2)+1とおける。点(1,3)を通るから
3=a(1-2)2+1
a:2
⇒ y=2(x-2)+1
頂点が点(回図)である2次関数は
=
2x2-870+9
y=ax2+
(2)軸が直線x=4で、グラフが2点(2,12)(517)を通る放物線
y=a(x-4)2+gとおける。グラフが
(2,2)を通るので-2=4a+g
(5,7)を通るので7=a+g
これを解いて a=-3,g=10
4軸が直線xである2次関数は
y=ax2+g.
⇒ y=-3(x-4)2+10
=-3x+24x38
(3) 頂点(1,3)で点(0,6)を通る放物線
y=a(x-1)+3
6=a(0-1)2+3
a=3
⇒ y=3(x-1)2+3=
27-67+6
(4)軸が直線x=2で、グラフが(1,3)(5,-5)を通る放物線
y=a(x-2)+g
3=a+g
-5=qatg
a=-1
g=4
⇒ y=(x-2)2+4=x+4

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⑤) 頂点が点(2,8)で、原点を通る放物線
y=a(x-2)2+8
4a+8=0
ゆえにa=-2
⇒y=-2(x-2)2+8
=
-22+8k
(6)頂点が(-2,-3)で、点(2,5)を通る放物線
y=a(x+2)2-3
5=a(2+2)2-3
ゆえにa=1/2
⇒ y=1/2(x+2)-3=1/2x+2x-1
(7)軸が直線x=-1で、2点(0,7),(3,2)を通る放物線
y=a(x+1)2+g
7:a+g
2=16a+g
a =
g=32
(問)次の連立方程式を聞け。
y=(x+1)+
a-b+2C=5…①
①②より2a+3C=13.④
a+b+c=8
・②
2×②-③よりa-c=-1.5
④ ⑤を解いて a=2,b=3
a+2h+3C=173
連立3元1次方程式の解法
1つの文字を消去して、2連立
方程式を作り、それを解く。
残りの文字の値を求める。
①おり&=3
ゆえに a=,b=,c=3

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C
*
*
D
問2 次の3点を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。
(1)3点(1,0)(2,0)(012)を通る放物線
y=ax+ax+c
coath+c
③よりC=2,①②に代入すると
10=4a+2h+C…②
12=C
③
sa+b=-2
22ath=/
a=,b=-3
※1つ文字を消して、
2変数に!
(2)3点(0,-1)(2,13)(-1,-2)を通る放物線
○
13:40-2b+②
-1=C
-2=ab+c
・・・③
52a+b=7
a-h=-1
y=2x+3x1
a=2,b=3
#
(3) 3点(0.3)(1,5)(-2,-13)を通る放物線
3=C
5:a+b+c…②
-134a-2h+C G
①
a+b=2
⇒
{29-4=8
y=-2x+4+
a=-2,b=4
(4)3点(0,-2)(1,3)(-2,-6)を通る放物線
(-2=0
33=a+b+c
・・・①
={a
a+b=5
②
2a-l=-2
a=1,h=4
y=x+42
-6=4a-2atc
(5)3点(1,6)(2,5)(3,2)を通る放物線
6=a+b+c
①
②①より3a+b=-1④
5=4a+2&tc②②②よりsath=3⑤
2=qa+3htc.
①-④より a=-1④より&=2
y=-x+2x+5
H
①より C=5