ページ1:

関数
問1 f(x) = 2x2-2のとき, f (0),f(1), f(-2), f(a+1)を求めよ。
f(0) =2.02-2=-2
f (1)=2.12-2= 0
f(-2)=2(-2)^-2=6
f(a+1)=2(a+1)^ -2 = 2a² + 4a
問2 次の点はどの事象にあるか。
(1) A(3, -2)
(2)B(6,5) (3) C(-5, -1)
(4)D(-3, 1)
(1)第4象限 (2)第1象限
(3)第3象限
(4)第2象限
問3 関数 f(x)=-x^のグラフをかいて,地域を求めよ。
値域
X
グラフより, f(x)=-x2の値域はy≦0
問4 次の関数のグラフをかいて, 値域を求めよ。
(1) f(x)=2x-1 (-1≦x≦2)
(2) f(x)=-3x+11 (1≦x≦3)
グラフ略
(1) f(-1)=-3
(2)
f(1) =8
f(2) =3
f(3) = 2
したがって, 値域は
したがって, 値域は
-3≦y≦3
2≦y≦8

ページ2:

問5 次の関数のグラフをかいて, 最大値と最小値を求めよ。
(2)y=-x+4(-1≦x≦3)
(1)y=2x (2≦x≦4)
(3) y=x+1 (x≦4)
グラフ略
(1)関数 y = 2x(2≦x≦4) の値域を求めると, 4≦y≦8である。
よって, x=4 のとき最大値 y=8
x=2のとき最小値 y = 4
(2)関数 y=-x+4(-1≦x≦3) の値域を求めると, 1≦y ≦ 5である。
よって, x=-1 のとき最大値 y=5
x=3のとき最小値 y=1
(3)関数 y= x +1 (x≦4) の値域を求めると, y≦5である。
よって, x=4
y=5
のとき最大値
最小値はない

ページ3:

2
2次関数とそのグラフ
問6 次の2次関数のグラフをかけ。
(1)
(1) y = 3x2
(2) y=-3x²
(3) y=-1/28
3
(3)
-3
-2
-2-
y = -(1/3)x2
-2-
y = 3x^
2
2
(2)
-2
-2-
2
-3 x
2

ページ4:

問7 次の2次関数のグラフをかけ。
(1) y=x^-4
(1) y=x^-4のグラフは,
y=x2のグラフを
y軸方向に-4
(2)y=3x2+3
だけ平行移動したグラフである。
(2)y=-3x2+3 のグラフは,
y=-3x2のグラフを
y軸方向に3
だけ平行移動したグラフである。
-4
-3
0
-3
0

ページ5:

問8 次の2次関数のグラフの軸と頂点を求め, そのグラフをかけ。
(1) y=(x-4)2
(2)y==(x+3)2
(1) y=-(x-4)²
のグラフは
y=-x
のグラフをx軸方向に4
だけ平行移動した放物線。
グラフの軸はx=4
グラフの頂点は (4,0)
(2)y=1/2(x+3)2
のグラフは
-2 0
4
8-
2
のグラフをx軸方向に-3
だけ平行移動した放物線。
-2
0
2
グラフの軸はx=-3
グラフの頂点は (-3, 0)

ページ6:

問9 次の2次関数のグラフの軸と頂点を求め,そのグラフをかけ。
(1) y=(x-2)^+1
(1) y=(x-2)^+1
のグラフは
y = x²
のグラフを
x軸方向に2,y軸方向に1
だけ平行移動した放物線。
(2) y=-1/2(x+3)' +2
4
-2
軸は直線x=2
頂点は点(21)
・2 0
?
6
(2) y=-1/2(x+3)' + 2
のグラフは
1
y=--
+2
2
のグラフを
x軸方向に-3,y軸方向に2
だけ平行移動した放物線。
軸は直線x=-3
頂点は点(-3,2)
-8
-6
0
-2
-6

ページ7:

問10 2次関数 y = 2x2 のグラフを平行移動して, 頂点を次の点に移した
とき,それをグラフとする2次関数を求めよ。
(1)(-3, 4)
(2) (2, -5)
(3)(-1, -6)
y=a(x-p)2 +q
y=ax2のグラフをx軸方向にp,y軸方向に」だけ平行移動したもの
軸は直線x=p 頂点は点(p,q)
(1) y = 2(x + 3)2 + 4 (2)y=2(x-2)2-5 (3) y = 2(x+1)^ -6
問11
次の2次関数y=a(x-p)2 +qの形に変形せよ。
(1) y = x2 + 4x + 3
(2) y = 3x²-6x + 2
(3) y=-1282-
x+4x-9
(4)y=-2x²-2x+3
平方完成: y=ax2+bx+c を y = a(x-)
- p)²+q
+αの形に変形すること
(1) y = x2 + 4x + 3
=(x²+4x+4)-4+3
=(x+2)2-1
(2)y=
=3x2-6x+2
=3(x²-2x)+2
=3(x²-2x+1)-3+2
=3(x-1)^-1
1
(3)
x'+4x-9
(4)y=-2x²-2x+3
2
-8x)-9
2
=-1/(x²-8
-8x+16)+8-9
=-1/2(x-42-1
=-2(x²+x) +3
1
=-2(x²+x+-)+=+3
4 2
7
=-2x+21232+1/2

ページ8:

問 12 次の2次関数のグラフの軸と頂点を求め, そのグラフをかけ。
(1) y = 2x2 +12.x + 8
(3)y=-2x+3
(2)y=
-2x-1
(4)y=-x^-x+1
まずは平方完成しましょう。
1
(1) y = 2x2 +12.x +8
-x²-2x-1
2
= 2(x² +6.x) +8
1
(x-4x)-1
=2(x+3)2-10
2
軸: x = -3
頂点: (-3, -10)
頂点: (2,3)
=1/2x-
軸: x=2
-2)2-3
・6
.3.
8
-8
6
-6
-4-
02
2
2
-20
-2
-3
-4-
-6
-8
--10

ページ9:

(3) y:
x+3x
2
1
---(x²-6x)
--+6x-3+
·(x-
2
軸: x = 3
頂点: (3,
9-2
・2
(4) y=-x^-x+1
=-(x²+ x)+1
=-(x+
5
)² +
4
-20
2
3
6
8
1.00
-6
-8-
軸: x
頂点:
12-12
54
2-
-6-
問13 2次関数 y=x²-8.x + 13のグラフをどのように平行移動すると,
2次関数 y=x2-4x+2のグラフになるか。
※頂点がどのように平行移動したか考えよう。
y=x28x+13
y = x2 -4x+2
1
とする。 ①,②をそれぞれ平方完成し, 頂点を求めると
y=x2-8x+13=(x-4)2-3 頂点(4, -3)…①'
y=x2-4x+2=(x-2)2-2 頂点(2, -2)…②'
①' をx軸方向にa,y軸方向にだけ平行移動して②' になるとすると
[4+a=2 |a=-2
→>
|-3+b=-2 |b=1
よって, ①' をx軸方向に-2,y軸方向に+1だけ平行移動すると,
②' と一致することがわかる。
したがって, y = x²-8x + 13のグラフを
x軸方向に-2, y軸方向に
だけ平行移動するとy=x²-4x+2のグラフになる。

ページ10:

3
2次関数の最大・最小
問14 次の2次関数の最大値または最小値を求めよ。 また、 そのときのxの
値を求めよ。
(1) y=x^-6x+13
(2)y=-2x+3x
(1) y=x^2-6x+13
=(x-3)2 +4
軸: x=3 頂点: (3,4)
下に凸の放物線なので,
x=3のとき最小値4をとる。
最大値はない。
(2)y=-2x2+3x
=-2(x2
=-2(x-- +
3
✓✓)
2
3. 9
4 8
3
3
軸:x
頂点:(一,
4
4
8
3
上に凸の放物線なので, x=-のとき
4
9
最大値をとる。 最小値はない。
8

ページ11:

問15 次の2次関数について,( )に示した定義域における最大値と最小値
を求めよ。また,そのときのxの値を求めよ。
(1) y=x^-9
(2) y=x^+4x+3
(−2≦x≦5)
(-1≦x≦3)
(3)y=-2x^ +4.x+3(−2≦x≦2)
(1) y=x^-9
軸: x = 0, 頂点:(0, -9)
下に凸の放物線
x=2のときy=-5
x=5のときy=16
図より, x=5のとき最大値16
x=0のとき最小値-9
(2) y=x2+4x+3
=(x+2)2-1
軸:x=-2, 頂点(-2,-1)
下に凸の放物線
x=-1のときy=0
x=3のときy=24
図より, x=3のとき最大値 24
x=-1 のとき最小値0
(3)y=-2x^ +4.x+3
=-2(x-1)^+5
軸: x=1, 頂点(1,5)
上に凸の放物線
x=2のときy=-13
x=2のときy=3
図より, x=1 のとき最大値5
x=-2 のとき最小値-13
2
YA
16
5.
10
5
X
y4
24
x
01
2
-13

ページ12:

問16a>0のとき, 2次関数 y=-x2 +6.x +1 (0≦x≦a)の最大値を
求めよ。
y=-x²+6x+1=-(x-3)2 +10
のグラフは,
頂点が(3,10), 軸が直線x=3
の上に凸の放物線である。
(ア) aが軸より左側、つまり
0<a<3のとき
0≦x≦aにおけるこの関数の
グラフは,右の図の放物線の実
線部分である。
したがって,
10!
-a²+6a+1
1
x=aのとき最大, 最大値-a² +6a +1
(イ) aが軸を含む, または軸より右側,
つまり
3≦aのとき
0≦x≦aにおけるこの関数の
グラフは, 右の図の放物線の実
0a 3
y4
10
線部分である。
したがって,
x=3のとき最大, 最大値10
(ア), (イ)より
0<a<3のとき
x=aで最大値-a' + 6a +1
3≦aのとき
x=3で最大値10
3
x

ページ13:

問18 a>-1のとき, 2次関数y=-x+2ax-a² +3 (-1≦x≦1) の
最大値を求めよ。
このパターンの問題とき,通常では
(i) 軸が定義域の左側の外にある場合
(ii) 軸が定義域の中にある場合
(道) 軸が定義域の右側の外にある場合
の3つに場合分けして考えます。(これ以上の場合分けもあるのかなあ?)
この問題ではa>1とあるので, 上記 (ii)と(道)の場合を考えます。
y=-x2 +2ax-a²+3=-(x-a)^+3のグラフは,
頂点が点 (a, 3), 軸が直線x=a
の上に凸の放物線である。
(ア) -1<a ≦1のとき
-1≦x≦1におけるこの関数の
3
グラフは, 右の図の放物線の
実線部分である。
したがって,
x=aのとき最大値3
(イ) 1 <a のとき
-1≦x≦1におけるこの関数の
グラフは, 右の図の放物線の
実線部分である。
-a²+2a+2
したがって,
x=1のとき最大値-α² +2a+2
(ア), (イ)より,-1<a≦1のとき x=aで最大値3
0
a
1<aのとき
x=1で最大値-a² +2a+2
a 1
X

ページ14:

問19 長さ12cmの針金を2つに切り、 そのおのおのを折り曲げて2つの
正方形をつくる。 2つの正方形の面積の和が最小となるのは, 針金を
どのように切ったときか。 また, そのときの最小値を求めよ。
長さ 12cm の針金を2つに切ったときの1つの長さを4xcm とすると,
もう1つの長さは12-4.xcmと表せる。
それぞれの針金を折り曲げて作られる正方形の面積は
x², (3-x)²
と表せるので, これらの和をyとすると
y=x2+(3-x)2
=2x2-6x+9
=2(x-
(x-2)² + 2/2
9
3. 9
①
'
という頂点が点 (1232323) .), 軸が直線x=-である下に凸の放物線となる。
3
2
ここで, 0<4x<12,つまり0<x<3であるので,この範囲において①は
3
9
x=-(4x=6)のとき最小, 最小値一をとる。
2
2
以上より,2つの正方形の面積の和が最小となるのは, 針金を 6cm ずつ
9
に切ったときであり,そのときの最小値はcm²である。

ページ15:

4 2次関数の決定
問20 グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。
(1)頂点が点(-1, 2), 点 (1-6)を通る。
頂点のx座標が2, 2点 (07), (6, 13)を通る。
(1)頂点が点(-12)であるから, 求める2次関数は
y=a(x+1)^+2
と表される。このグラフが点(1, -6)を通るから, ① に x=1, y=-6 を代入
して計算すると
-6=a(1+1)^+2
a=-2
よって, 求める 2次関数は y=-2(x + 1)2 + 2
(2)頂点のx座標が2であるから, 求める2次関数は
y=a(x-2)2+q... ①
と表される。このグラフが2点 ( 0, 7), (6, 13)を通るから, それぞれを①に
代入して整理すると
7=a(0-2)^2+q
13=a(6-2)^+q
4a+q=7
16a+q=13
この連立方程式を解いて, a =-
9=5
よって, 求める2次関数は y=- (x-2)^+5
2

ページ16:

問21 グラフが次の3点 A, B, C を通るような2次関数を求めよ。
(1) A(-1, -7), B(2, -1), C(3, -7)
(2)A(-2,-3),B(0, -1), C(1,3)
y=ax²+bx+cとおいて座標を代入し, 連立3元1次方程式を解けばいい
(1)A,B,C それぞれの座標の値を代入して整理すると
a-b+c=-7
4a+2b+c = -1
9a+3b+c=-7
.....
②-①より 3a+3b=6
・・・・・4
③②より Sa+b=-6
・・・・・5
⑤×3-④ より a=-2
⑥を⑤へ代入して計算すると
b=4
⑥と⑦を①へ代入して計算するとc=-1
以上より, 求める 2次関数は
y=-2x2+4x-1
(2)A, B, Cそれぞれの座標の値を代入して整理すると
4a-2b+c=-3
c=-1
a+b+c=3
②を①と③へ代入して整理すると
2a-b=-1
a+b=4
④ + ⑤より a=1
⑥を⑤へ代入してb=3
以上より, 求める 2次関数は
y=x2+3x-1

ページ17:

2次方程式の解法
問1 次の2次方程式を解け。
(1) x2 +13x +36=0
(2)x2-2.x-48=0
(3)2x2-5x+2 = 0
(4)6x²+x-15=0
因数分解による解法 AB=0⇔A=0またはB=0
(1)左辺を因数分解して(x+4)(x+9)=0
ゆえに x=-4, -9
(2)左辺を因数分解して(x+6)(x-8)=0
ゆえに x=-6 8
(3)左辺を因数分解して(2x-1)(x-2)=0
1
ゆえに x=- 2
* たすき掛け
(4)左辺を因数分解して(2x-3)(3x+5)=0 たすき掛け
3
5
ゆえに x=-,
2 3
問2 解の公式を利用して, 次の2次方程式を解け。
(1) 2x2 +9x+5= 0
(3)x2+6x-4=0
(2)3x2-7x+1= 0
(4) 4.x-8x-3=0
-b±√b²-4ac
解の公式: x=
2a
(1)a=2,b=9,c=5より
-9±√92-4.2.5
x=
2.2
-9±√41
4
X=
(2)a=3,b=-7,c=1より
-(-7)±√(-7)²-4.3.1
2.3
7±√37
6
(3)a=1,b=6,c=-4より
-6±√62-4.1.(-4) -6±2√13
x=
=-3±√13
2.1
2
(4)a=4,b=-8, c = -3 より
x=
__(-8) (8)-4.4(-3)_8±√112_8±4√7 2±√7
2.4
8
8
2

ページ18:

問3 解の公式 ①を利用して,次の2次方程式を解け。
(1) 3x²+4x-1=0
(2) 6x14x+5=0
-b'±√b²-ac
解の公式 ①:ax²+26′x+c=0の解はx=-
a
(1) a=3, b'=2, c=-1)
-2±√22-3. (-1) -2±√√7
x=
3
(2) a=6, b'=-7, c=5
=
3
-(-7)±√(-7)-6.5
7±√19
x=
6
6

ページ19:

2 2次方程式の実数解の個数
問4 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。
(1) 7x²+4x-1=0
(3) x2 +x+1=0
(2)4x2 +12.x+9=0
2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると
① D>0
異なる2つの実数解をもつ
(2) D=0>>> 1つの実数解 (重解)をもつ
③ D<0 実数解をもたない
(1)2次方程式7x2+4x-1=0の判別式をDとすると
D=42-4.7(-1)=44>0
よって、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。
(2)2次方程式4x2+12x+9=0の判別式をDとすると
D=122-4.4.9=144-144=0
よって、この2次方程式は1つの実数解 (重解) をもつ。
(3)2次方程式 x²+x+1=0の判別式をDとすると
D=12-4・1・1=-3< 0
よって、この2次方程式は実数解をもたない。
問5 2次方程式3x²-8x+k=0が実数解をもつような定数kの値の範囲を
求めよ。
2次方程式 3x²-8x+k=0の判別式をDとすると, この2次方程式が
実数解をもつにはD> 0 またはD=0,つまりD≧0であればよい。
D=(-8)2-4.3.k≧0
64-12k≧0
16
k≦
3

ページ20:

3 2次関数のグラフとx軸の共有点
問6 次の2次関数のグラフと x軸の共有点のx座標を求めよ。
(1) y=x2-3x-10
(3) y=-9x2+6.x-1
(2)y=2x2+3x-2
(4) y=x^-x-1
2次関数y=ax2+bx+cのグラフとx軸の共有点のx座標は
2次方程式 ax2+bx+c=0の実数解だよ
(1) y=x^-3x-10=0としてこの2次方程式を解くと
(x-5)(x+2)=0
x=5, -2
(2)y=2x²+3x-2=0としてこの2次方程式を解くと
(2x-1)(x+2)=0
1
x=- -2
2'
(3)y=-9x2+6x-1=0としてこの2次方程式を解くと
(3x-1)20
1
X=- (重解)
3
(4) y=x^-x-1=0としてこの2次方程式を解くと
X=
1±√5
2

ページ21:

問7 次の2次関数のグラフと x 軸の共有点の個数を求めよ。
(2) y=x^-4x+4
(1) y=x2+4x+3
(3)y=-2x2+2x-1 (4) y=-x^- -x+
1
2
2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると
D>0のとき,グラフと x 軸の共有点の個数は2個
D=0のとき,グラフと x 軸の共有点の個数は1個
D<0 のとき, グラフと x軸の共有点の個数は0個
(1)2 次関数 y=x²+4.x +3について
2次方程式 x2+4x+3=0の判別式をDとすると
D=42-4.1.3=4> 0
であるから,この2次関数のグラフとx軸との共有点は2個ある。
(2)2次関数 y=x²-4x+4について
2次方程式 x-4x+4=0の判別式をDとすると
D=(-4)^-4・1・4=0
であるから,この2次関数のグラフと x軸との共有点は1個ある。
(3)2次関数y=-2x2+2x-1について
2次方程式-2x2+2x-1=0の判別式をDとすると
D=22-4.(-2)(-1)=-4<0
であるから,この2次関数のグラフと x 軸との共有点はないので0個。
1
について
(4)2 次関数 y=-x²-x+=について
1
2次方程式-x^-x+==0の判別式をDとすると
2
D=(-1)^2-4(-1)/2=3> 0
であるから,この2次関数のグラフとx軸との共有点は2個ある

ページ22:

問8 2次関数y=-x2+6x+kのグラフとx軸の共有点の個数は,定数k
の値によってどのように変わるか。
2次方程式-x2+6x+k=0の判別式をDとすると
D=62-4(-1)k=4(9+k)
D > 0 となるのはk>-9のとき
D=0となるのはk=-9のとき
D<0となるのは k <-9のとき
である。ゆえに、共有点の個数は
k>-9 のとき2個
k=-9のとき1個
k<-9のとき 0 個
発展 放物線と直線の共有点
問1 放物線y=-3x²+4と直線y=12x+16の共有点の座標を求めよ。
問2 放物線y=x2 +3 と直線 y=-2x+k が共有点をもつような定数kの
値の範囲を求めよ。
問1 放物線y=-3x2 +4
直線
y=12x+16
(2)
①,②より,yを消去して
-3x2+4=12x + 16
x2+4x+4=0
この2次方程式を解くと
②に代入して
x=-2 (重解) ←解が1つなので①と②は接する
y=-8
ゆえに, 共有点の座標は (-2, -8)
問2 放物線 y=x2+3 ・・・①
直線 y=-2x+k
・・・②
①,②より,yを消去して整理すると
x2 +2x+3-k=0 ...3
③の判別式をDとする。 ①と②が共有点をもつためにはD≧0であれば
よい。
D=22-4・1・(3-k)≧0
接するか異なる2点
4k ≧8
で交わる
k≧2

ページ23:

問題
1
f(x)=x²-2x+3において, 次の値を求めよ。
(1)f(3)
(2) f(a-1)
(3) f(2-a)
2
次の2次関数のグラフをかけ。
(1) y=-x^+6x-5
(2)y=2(x-1)(x-3)
3
次の2次関数の値域を求めよ。
(1)y=-2x2-8x+3
(-3≦x≦2)
(2)y=
x-2x+1
(−2≦x≦4)
4
2次関数 y=x^-2ax+1 (0≦x≦1) の最小値を求めよ。
5 グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。
(1)頂点が点(1, 2)で,点(4,-7)を通る。
(2)3点(-1, 5),(-2,-3), (1,9)を通る。
(3)y=1/2のグラフを平行移動したもので,頂点がx軸上にあり,
点(3, 8)を通る。
(4)x軸と点(-2,0),(3,0)で交わり, y軸と点(0, -6)で交わる。
6 x=1のとき最大値5をとり, x=-1のときy=1となるような2次関数
を求めよ。
7
2次関数y=ax2+bx+cのグラフが
図の①,②であるとき, それぞれについて
a,b,cの値の符号を答えよ。
x

ページ24:

1 (1) f(3)=32-2・3+3= 6
(2) f(a-1)=(a-1)^-2(a-1)+3=a²-4a+6
(3) f(2-a)=(2-a)2-2(2-a)+3=a² -2a+3
2(1) y=-x^+6x-5
=-(x-3)2 +4
頂点:(3,4)
軸: x = 3
上に凸の放物線
-5.
(2)y=2(x-1)(x-3)
=2x2-8x+6
6
=2(x-2)2-2
頂点: (2,-2)
軸: x = 2
下に凸の放物線
3 (1) y=-2x2-8.x+3
=-2(x+2)^+11
頂点: (-2,11)
(2)
1
1
y=-x²-2x+1
=(x-2)²
-1
頂点: (2,-1)
軸: x=2
軸: x=-2
上に凸の放物線
x=-3のときy=9
x=2のときy=-21
グラフをかいて確認すると･･･
-21≦x≦11
下に凸の放物線
x=-2のときy=7
x=4のときy=1
グラフをかいて確認すると…
-1≦y≦7

ページ25:

4 y=x^-2ax+1 (0≦x≦1)
=(x-a)²-a²+1
i.0より小さいとき
軸:x=aがii.0 以上1未満のときで場合分けします。
道.1以上のとき
i) a < 0 のとき
x =0で最小, 最小値1
をとる。
ii) 0≦a<1のとき
x = αで最小 最小値-α +1
をとる。
道) 1≦a のとき
x=1で最小 最小値-2a+2
をとる。
y=1
10
x=a
y = -a² +1
1
x=a
y=-2a+2 -
x=a

ページ26:

5 (1) 求める2次関数を
y=ax-p)2+q
とする。頂点が点(1, 2)なので
y=a(x-1)^+2
と表せる。さらにグラフが点 (4,-7)を通るので,
-7=a(4-1)^+2
a=-1
よって、求める 2次関数は y=(x-1)^ +2
(2) 求める2次関数を
y=ax2+bx+c
とする。このグラフが3点 (-1, 5),(-2,-3), (1, 9)を通るので,
5=a-b+c
-3=4a-2b+c
9=a+b+c
この連立3元1次方程式を解くと
a=-2, b=2,c=9
よって、 求める 2次関数は y=-2x^2 + 2x +9
(3)求める2次関数を
y=a(x-p)+q
1
とする。このグラフはy=-xのグラフを平行移動したものなので,
1
a=-
2
頂点がx軸上にあるので
9=0
1
ここまででy=
2
(x-p) と表せ,このグラフが点(3, 8)を通るので
8=
8 ==— -(3-p)²
2
p=7, -1
よって、 求める 2次関数は y=-
y=(xとy=(x+1の2つ。

ページ27:

(4) 求める 2次関数はx軸と点(-2,0),(3,0)で交わるので
y=a(x+2)(x-3) ...*
と表せる。このグラフが点 ( 0, -6)を通るので
-6=a(0+2)(0-3)
a=1
よって, 求める 2次関数は y=(x+2)(x-3)
<別解> 求める2次関数を y=ax2+bx+cとし,このグラフが
3点(-2,0),(3,0), (0, -6)を通るので
0=4a-2b+c
0=9a +3b+c
-6=c
この連立3元1次方程式を解くとy=(x+2)(x-3)
* x軸と2点α, β で交わる 2次関数は
y=a(x-a)(x-β)
と表せる。
x軸との交点はy=0なので
a(x-a)(x-β)=0
⇔x=0, x=β
であり, x軸との交点は (α, 0), (β,0)となる。
6 求める 2次関数を
y=a(x-p)2+q
とする。x=1のとき最大値5をとることから頂点が(1,5)とわかるので
y=a(x-1)^+5
この関数がx=-1のとき y=1となるので
1=a(-1-1)^+5
y=5.
a=-1
よって, 求める 2次関数は y=-(x-1)2 +5
x=1

ページ28:

b
b
7 ①y=ax2+bx+c=a(x²+-x)+c=a(x+-
a
2a
b²-4ac
4a
とする。
上に凸のグラフだから
a<0
グラフとy軸との切片が負だから c<0
x=0
b
軸がx=0より右にあるから
-
>0
2a
両辺に2a をかけると -b<0 ←a<0だから向きがかわる
よって b0
以上より, a < 0,b>0,c<0
② 下に凸のグラフだから
a>0
グラフとy軸との切片が正だから, x=0のときy>0
y=a・02+b.0+c > 0
c>0
軸が負だから
b
2a
<0⇔-b<0⇔b>0
以上より, a > 0,b>0,c > 0

ページ29:

問題
9
次の2次方程式を解け。
(1)5x2+x=0
(3)x2-9x+6=0
(2)9x2-12x+4=0
(4)3x²-7√2x+4= 0
2次方程式x^-8x+k=0の1つの解が4-√3であるとき, 定数kの
値を求めよ。また, 他の解を求めよ。
10 2次関数y = x2 - 6x + 2k +1のグラフと x 軸が異なる2点で交わるよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
11 次の2次不等式を解け。
(1)x2+4.x-7≧0
(2)3x-2.x2 <6
(3) x2 -12.x + 36≦0
(4)3x²-6x+1 < 2x2 -17
12 2次方程式 x 2 + (k +1)x+k+2=0について,次の問に答えよ。
(1)重解をもつときの定数の値を求めよ。
(2)実数解をもたないような定数kの値の範囲を求めよ。
13 次の2次不等式の解がすべての実数であるような定数にの値の範囲を
求めよ。
(1) 2x2-kx+ k + 1 > 0
(2)x2 - (k + 3)x + 4k ≧ 0
14 次の不等式を解け。
(3x-9≦0
fx 2-9x +18 > 0
(1)
(2)
[x2-3x-4≦0
- 8x +7 < 0
(3)-20≦2x²-13.x < 15
15 2次方程式3x²-12x+12-k2=0が正の解と負の解を1つずつもつよ
うな定数kの値の範囲を求めよ。
参考 絶対値を含む関数のグラフ
問1 次の関数のグラフをかけ。
y=x²+x-2|
問2 関数 y=x-1|+|x-2| のグラフを
(i) x <1 (ii) 1≦x< 2 (iii) 2x
の3つの場合に分けて考えることによってかけ。
(お・ま・け)|x2+x - 2|=kが異なる4つの実数解をもつような
定数 kの値の範囲を求めよ.

ページ30:

8 (1) 5x2+x= 0 の左辺を因数分解すると
x(5x+1)=0
9
x=0, x=-
11
5
(2)9x²-12x+4=0の左辺を因数分解すると
4
(3x-2)^=0
x= (重解)
3
4
-9x+6=0の両辺にーをかけると
-12x+8=0
解の公式より
x =
12 ±√11212 ± 4~7
2
2
=6±2√7
(4)3x²-7√2x+4=0を解の公式で解くと
7√2±√98-48 7√2±5√2
x =
6
6
X= =2√2,
X=
3
2次方程式x?-8x+k=0の1つの解が4-√3なので,x=4-V3を
2次方程式に代入して計算すると
(4-√3)-8(4-√3)+k = 0
16-8√3+3-32+8√3+k = 0
k=13
また, x2 -8x +13=0を解くと
8±√64-52
X=
2
4±√3
よって、 もう1つの解は4+√3

ページ31:

10 2次関数y=x2-6x+2k+1のグラフと x 軸が異なる2点で交わる
には,この関数は下に凸のグラフなので, 頂点のy座標が負であれば
よさげ。
y = x? - 6x + 2k +1を平方完成して頂点の座標を求めると
=(x-3)2-9+2k + 1
=(x-3)+2k-8
頂点: (3,2k-8)
よって, k < 4
|2k-8< 0
<別解> 放物線がx軸と異なる2点で交わるには,
2次方程式 x2-6x+2k+1=0が異なる2つの実数解を
もてばいいので,この2次方程式の判別式をDとすると,
D=36-4(2k + 1) > 0
- 8k > -32
k<4

ページ32:

11 次の2次不等式を解け。
(1)
x2+4x-7≧0
2次方程式 x+4x-7=0を解くと
x=-2±√11
したがって, 求める解はx-2-√11,-2+√II ≦ x
3.x-2x26
整理すると
2x2-3x+6>0
左辺を変形すると
3. 3
2(x-1)+
(x- 2≧0,
2
> 0 ...①
->0なので,①の左辺はかならず 0 より大きくなる
したがって,解はすべての実数
(3)
x2-12x +36 ≦0
左辺を因数分解すると
(4)
(x-6)²≤0 ...①
①の左辺はかならず0以上なので, 求める解は
x-60 ∴x=6
3x2 -6x +1 < 2x? -17
整理すると
x2-6x +18 < 0
左辺を変形すると
(x-3)^+9<0…①
①の左辺はかならず0より大きくなるので, ①を満たす解はない
ので,解なし!

ページ33:

12
x 2 + (k +1)x + k +2=0
(1) ①が重解をもつ⇔ ①の判別式が 0
①の判別式をDとするとD=(k+1)^-4(k + 2) = 0
整理すると
k2-2k-7=0
これを解くと k = 1±√2
(2)① 実数解をもたない ⇔ ① の判別式が負
①の判別式をDとするとD=(k+1)^-4(k + 2) < 0
整理すると
k2-2k-70
これを解くと1-√2 <k <1+√2
13 (1) 2x²-kx+k + 1>0の左辺を変形すると
k
2(x--)
4'
20
2
k2
8
- + k + 1 > 0
k-
2
①の解がすべての実数であるには,
+k+1>0であればよさげ
8
k2
-
+k+1>0⇔k?-8k-8 < 0
8
2次方程式k-8k-8=0を解くと
8±4√6
k=
=4±2√6
2
したがって, 求める解は4-2√6 <k<4+2√6
(2) 2次関数 y=x^ - (k + 3)x + 4k の頂点のy座標を求めると
y=(x--
k+3,2
k2 +6k + 9
+ 4k
2
4
k+3.
k
5
9
=(x-
+-k
2
4 2 4
ここが0以上になればよさげ
k2
5
9
k
≧0よりk'-10k +9 ≦ 0
4
2
4
(k-1)(k-9) ≦0
1≤ k ≤9
<別解> 判別式でふつうに考えた方が楽かも・・・

ページ34:

章末 A 問題
1 次の2次関数のグラフをかけ
(1)y=-2x^-4x + 6
(3) y=-2(x+1)(x-3)
(1)平方完成すると
y=-2(x2+2x)+6
= -2(x + 1) + 2 +6
=-2(x+1)^ +8
軸:x=-1 頂点(-1, 8)
(2)平方完成すると
1
y =
-x+2x-6
(2)y=
y=1/2x+2x-6
(4) y=x(3x-2)
(x+4.x)-6
=1/2(x+2)-8
軸: x=-2 頂点(-2, -8)
(3)展開してから平方完成すると
y=-2x2+4x+6
=-2(x²-2x)+6
=-2(x-1)^+8
軸: x=1 頂点(1,8)
(4)展開してから平方完成すると
y=3x²-2x
= 3(x² - x)
=3(x-12-
x=
3
3
頂点(13
3
y
2
y
X
y
-6
-8
-13
x
03
13
X

ページ35:

2 2次関数y=kx²-2kx+k^-k-3について, 次の問いに答えよ。
(1)この関数の最小値が5のとき, 定数 kの値を求めよ。
(2)この関数の最大値が12のとき, 定数 kの値を求めよ。
2 次関数 y=kx²-2kx+k2-k-3を平方完成すると
y=kx2-2kx+k2-k-3
=k(x²-2x)+k2-k-3
= k(x²-1)^+k^-2k-3
よって、軸がx=1, 頂点が(1, k'-2k-3)
(1) 最小値がある下に凸のグラフk>0 :①
・①
最小値が 5 頂点のy座標が 5
k2-2k-3=5
この2次方程式を解くとk-2k-8= 0
(k-4)(k+2)=0
①より
|k=4
(2)最大値がある上に凸のグラフ k < 0 ②
最大値が 12 頂点のy座標が 12
→k2-2k-3=12
この2次方程式を解くとk^2k-15=0
②より
(k-5)(k+3)=0
|k=-3

ページ36:

14 (1) 3x-9≦0
を解くとx3
x2-3x-4≦0 を解くと (x-4)(x+1)≦0
..-1≤ x ≤4
・・・②
①と②を同時に満たすx を考えると
-1≦x≦3
(2) x²-9x +18>0
x²-8x +7 < 0 ・・・2
①を解くと
②を解くと
(x-6)(x-3)>0
(x-1)(x-7) <0.
x < 3,6 <x
(3)
1 <x<7 …④
③と④を同時に満たすx を考えると
1<x<3, 6<x<7
...
(3) -20≦2x2-13 ･･･ ①
2x2-13x<15
①を解くと
2.x2-13x + 20≧0
(2x-5)(x-4)≧0
5
x ≤
4≦x
...
･③
2
②を解くと
2x2 -13.x-15 < 0
(2x-15)(x+1) < 0
15
-1<x<-
...4
2
③と④を同時に満たすx を考えると
-1<x≦
15
4≦x<
2

ページ37:

3 ある商品1個を原価100円で仕入れて120円で売ると1日に600 個
売れる。 商品1個につき1円値上げするごとに1日の売上個数は20個
ずつ減るという。1日の利益を最大にするには1個いくらで売ればよいか。
20 円値上げすると 600 個売れる
120円から20円値下げすると400 個増える
100円で売ると1000個売れる
ある商品1個の売値をx円値上げしたときの1日の利益をy円とすると
y=x(1000-20x)
整理すると
y=-20x2+1000x
=-20(x²-50x)
=-20(x-25)+12500
この関数は上に凸のグラフなので、x=25のとき最大, 最大値y=12500
をとる。
したがって, 1個 25円値上げすればよいので, 1個 125円で売ればよい
4 2次不等式x²-ax < 0 を、a>0,a=0,a<0の3通りの場合に分
けて解け。ただし、aは定数とする。
x2- ax=0の左辺を因数分解すると x(x-a) <0･･･ ①
[i]a>0 のとき, 0<x<a
[ii] a=0のとき, x2 <0を満たすx は存在しないので 解なし
[] a< 0 のとき, a < x < 0

ページ38:

15 2次方程式 3x²-12x+12-k=0が正解と負の解を1つずつもつ
条件を考えよう.
〔1〕x軸と異なる2点で交わる
[2]y軸との交点が負
[1]
[2]
〔3〕頂点のy座標が負
2次方程式 3x²-12x+12-k?=0の判別式をDとすると
D=36-3(12-k²) > 0
この2次不等式を解くと
k2 >0⇔k < 0,0 <k ・①
2次関数y=f(x)=3x²-12x+12-k',f(0) <0より
12-k_0⇔k^-12>0
この2次不等式を解くと
k<-2√3, 2√3<k
〔3〕 2次関数y=3x²-12x+12-k' を平方完成して頂点の
座標を求めると
y=2(x²-2)^+4-k2 頂点 (2,4-k²)
よって, 4-k^<0⇔k-4>0
この2次不等式を解くと
k<-2, 2 <k
①と②と③を同時に満たすk を考えると
k<-2√3, 2√3<k

ページ39:

(2)x2-2√5x+5≧0
5 次の2次不等式を解け。
1
1
1
(1) x² x- <0
12
(1) 両辺に 12 をかけて
6x2-4x-1<0
2次方程式 6x2-4x-1=0を解いて
4±√40
x =
12
4±2√10
12
2±√10
6
2-10
2+√10
6
図より, 2 次関数 y=6x2-4x-1が0より小さくなるのは
2-√10
2 + V10
<x<
6
(2)左辺を変形すると
6
x²-2√5x+5=(x-√5)2
となり、xにどんな数を入れても常に0以上なので求める解は
すべての実数
6 2次不等式 ax²+6x+c>0の解が-2<x<4であるとき, 定数a,c
この値を求めよ。
-2<x<4が解となる2次不等式は
(x+2)(x-4) < 0
①の左辺を展開すると
x²-2x-8<0
②の両辺に-3をかけると
-3x2 + 6x + 24 > 0 ...(3)
ax2+6x+c>0
③と④の係数を比較するとa=-3,c=24

ページ40:

問1 y=x'+x-2|のグラフ
x²+x-2 ≧0 すなわち x ≦ - 2,1≦x のとき
1
9
(1
4
y=| x² + x−2 |= x² + x− 2 = (x+1)²
x²+x-2 < 0 すなわち -2<x<1のとき
1
y=x'+x-2|=-x^-x+2= -(x+
+
4
したがって, y = x'+x-2|のグラフは図のようになる。
9-4
W
1-2
|y=|x²+x-2|
1
X
2
問2 y=x-1|+|x-2|
(i) x <1
のときy=-(x-1)-(x-2)=-2x + 3
(ii) 1≦x< 2 のとき y = +(x-1)-(x-2)=1
(iii) 2≤ x のときy=+(x-1)+(x-2)=2x-3
したがって, y=x-1|+|x-2|のグラフは図ようになる
y=x-1|+|x+2|
0
2
X

ページ41:

72次方程式x²-(k-1)x+k^-2=0が異なる2つの実数解をもつよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
2次方程式x'-(k-1)x+k^2=0･･･ ①の判別式をDとすると, ①が
異なる2つの実数解をもつためにはD>0であればよい。
D=(k-1)^-4(k^-2) > 0
∴.k2-2k +1-4k^+8 > 0
∴. -3k^-2k + 9> 0
∴.3k2 + 2k-9 < 0
ここで、2次方程式3k2+2k-9=0を解くと, k=-
-1±2√7
3
-1-2√7
-1+2√√7
したがって,
< k <·
3
3
8 2次関数y=x2 + 2x+αについて, 次の問いに答えよ。
(1)定義域を-3≦x≦0としたときの最小値が2になるような定数α
この値を求めよ。
(2)定義域を-4 ≦ x ≦ -2 としたときの最大値が3になるような定数a
の値を求めよ。
2次関数を平方完成すると
y=(x+1)^+α-1 軸: x=-1 頂点(-1,a-1)
(1)-3≦x≦0におけるグラフは
図のようになる。
x=-1のとき最小で最小値は
a-1なので
a-1=2
10
la-1
la=3
(2)-4≦x≦-2において, x = -4のとき最大となり, 最大値はα+8なので
a+8=3
la=-5

ページ42:

(お・ま・け)|x²+x-2 = k が異なる4つの実数解をもつような
定数 kの値の範囲
y=|x²+x-2|
...
・①
y=k
②
として, ①と②が4つの点で交わるようなkの値の範囲を
考えればよさげ
問1より, グラフをかいてみると
y
|y=|x²+x-2|
9-4
y=k
y=k
y = k
-2
10/1
X
2
9-4
0k
図より, 0< k <-
この範囲だと
4つの点で交
わる