ページ3:

− 2
軸: x=-1
(3)(2)より, a=4のとき f(x)=2(x+1)^ -
g(x) = -(x-2)^+4 軸:x=2
▷ −2≦x≦tにおける f(x) の最小値 m を求める。
ア軸が定義域よりも右
-2<t<-1 のとき m =f(t)=2t2+4t
イ 軸が定義域の中
-1≦t
のとき m= = f(-1)=-2
▷−2≦x≦tにおけるg(x) の最大値 M を求める。
ウ 軸が定義域よりも右
-2<t<2 のとき M=g(t)= -12 + 4t
2≦t
のとき M=g(2)=4
エ軸が定義域の中
これらを同時に考えるために,次の三つに分けて考える。
(i)
-2<t<-1
(ii)
・2
-1
-1≦t< 2 (iii) 2≤t
i
ii
iii

ページ4:

(3) つづき
(i) -2<t<−1 のとき M =-12 +4t, m=212 + 4t より
(-12 + 4t) + (2t2 +4t) > -2t
.. t(t+10)>0
∴t < -10,0<t
これは条件を満たさないから不適。
(ii) -1≦t< 2 のとき M = -2 + 4t, m = -2 より
(-t2 + 4t) + (-2) -2t
∴.f2-6t-2< 0
3-√7 <t<3+√7
これと条件より 3-√<t<2
(ii) 2≦t
のとき M=4, m=-2 より
4+(-2)>-21
:.t> -1
これと条件より 2≦t
(i),(ii),(Ⅲ)より, 3-√7 <t圏

ページ5:

【2023年】
2つの2次関数 f(x) = 2x2 +2kx+k, g(x)=x^-x-k2+k
がある。 ただし, には定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をkを用いて表せ。
(2)2次不等式g(x) < 0 を解け。
(3) k < <一とする。g(x)=0を満たすkの範囲において, y=f(x)
2
のグラフがx軸と異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ。

ページ6:

k
【2023年】 自学 ©Akagi
k
2
k k²
2
+k
2
ſƒ(x)=2(x+1)² -² + k ( -½ - ½+)
(1)
(2) g(x) <0 より
2
2
x²-x-k² + k < 0
.. (x−k)(x+ k −1)<0
2
,
(i) k < -k +1 すなわち k <- のとき k < x < -k + 1
(ii)k = -k +1 すなわち k
g(x) = (x-
1
2
2
2
1/12のとき
=-
≧0だからg(x)>0を満たすxは存在しない。
*1/2のとき
(道)k > -k + 1 すなわち k > - のとき -k+1 <x<k
(i), (ii), (Ⅲ)より
2
k< 1/2 のときk<x<-k+1
k>―のとき-k+1<x<k 圏
2

ページ7:

(3)k<
<より
より k < x <-k + 1
y=f(x)のグラフがx軸と異なる2点で交わるためには次の四つの
条件を満たせばよさげ。
③f(k)>0
②軸がと
-k+1 の間
④f(k+1)>0
k
/_k+1x
-k
①頂点の
y 座標が負
+k<0 より k(k-2)>0 だから k < 0,2 <k
k2
①:
2
1
②: k <
2
-k < -k +1 より k < 0
③: f(k) = 2k2+2k2 +k > 0 より k(4k + 1) > 0 だから
1
k
<
0 < k
4
f(-k+1)=2(-k+1)+2k(k+1)+k> 0 より k <2
①,②、③、④とん<より
k <
<1/2より
4
劄

ページ8:

〖2022年〗
2次関数 f(x) = ax²-4ax +5a +1がある。 ただし, a は 0 でない
定数とする。
(1) a>0とする。 f(x)の最小値が6a2であるとき,αの値を求めよ。
(2) a<0とする。 y=f(x)のグラフがx軸の0≦x≦4の部分と
共有点をもたないようなαの値の範囲を求めよ。
(3) a<4とする。 0≦x≦4におけるf(x)の最大値をM,最小値
を m とするとき,M-mをαを用いて表せ。

ページ9:

【2022年】自学©Akagi
(1) f(x)=ax2 -4ax+5a+1=a(x-2)2+α+1 頂点(2,a+1)
a>0のとき,y=f(x)は下に凸の放物線だから, f(x)の最小値は
a +1で, これが6αと等しいので
6a² = a +1
(2a-1)(3a+1)=0
a>0より
a ==
劄
2
(2) a<0のとき,y=f(x)は上に凸の放物線。
(i)0≦x≦4の範囲で f(x)>0のとき
f(0)=f(4)=5a+1 > 0
1
<a<0
5
(ii) 0≦x≦4の範囲で f(x) < 0 のとき →
f(2)=a+1<0
∴.a <-1
1
(i), (ii)より a <-1,
<a<0
5
2 4
x

ページ10:

(3) (i) a<0のとき
よって
(ii) 0 <a< 2 のとき
よって
(道) 2≦a<4のとき
よって
M = f(2) = a+1
|m = f(a)= a³ −4a² +5a+1
3
M-m=-a³ + 4a² - 4a
==
(M = f(4) = 5a +1
m
1 = f(2) = a+1
M-m = 4a
(M = f(4) = 5a+1
m = ƒ(a)= a³ − 4a² +5a+1
3
M-m=−a³ +4a²
(i), (ii), (Ⅲ) より
a<0
3
M-m= −a³ + 4a² − 4a
0<a<2 のとき M-m=4a
2≤a<4
y
* M-m=-a³ +4a²
3
2
2
4
24
x