ページ3:

(2) お絵かきしづらいから簡易図で･･･
X OP: ==a+-b
i.点 Hは直線 CP 上にあるので, 共線条件により
OH = OC+kCP
OC+k(OP-OC)
5
3-5
=
1
→
3
=
5
ka+-kb+(1-k)c
5
OH⊥CP だから, ベクトルの垂直条件
によりOH・CP=0。
よって
H
+ ( 1 − k ) c) · ( —-—a + ³½³ b − c ) = 0
{½±ka+±³kb+(1−k)c } •
5
k | a |² + — — ²k | b |² + (k − 1) | c
|²
25
6
3-6k
1-2k-
→
+— -ka·b+
-b⋅c+
c.a=0
25
5
5
0
727775
25
|a| = |b| = |c| =1,
ab=b.c=ca=1x1x cos 602
2
9
- k×1² + (k − 1)×1²
-k×1² + k
25
1 3-6k 1 1-2k 1
+ -kx-+
X-+
-x=0
25
2
5
2
5
2
5(3-6k)
5(1-2k)
.. k +9k + 25(k − 1) + 3k+·
+
0
2
5
k
これを1に代入して OH = ==a+b+−c
6 2 6

ページ4:

(2) う~ん･･･
ii. 正四面体 OABCの体積をV, 四面体 HABCの体積をV, 四面体
OQBCの体積を Vとする。
底面積(△ABC)が等しいので,高さの比が体積の比になる。
直線 OH と底面 ABC の交点を R とすると, 共線条件により
1
OR =mOH=-ma+-mb+ mc
6
→>
1
1
2
6
R は平面 ABC上の点だから, 共面条件により
OR = OA + αAB + βAC=(1-α-β)a + ab + βc
a,b,cは一次独立だから, ③と④の係数をみくらべて
1/1m=1-a-B,12m=0,
-m= B
▷VはVの何倍??
315
1-5
||
これらを連立方程式として解くと m
-- a =
これを③に代入すると OR
= OH
5
よって,高さの比が1:6 だから V,:V
=
1:6
すなわち

ページ5:

▷ V2はVの何倍??
△OBC を底面とすると, OQ: OAが体積の比になる。
i より
よって
球面と OA の交点が Q だから, OQ=OH (半径)により
OH の長さがわかればよさげ。 (やりたくない)
1
OH =-a+ b+ =(a+3b+c)
|OH|2
6 2
1
C=
6
| OH |² = ±± ( a f² +9 | b |² + |c|² +6a+b+6b+c+2c⋅a)
36
36
(1 + 9 + 1 + 3 + 3 + 1
-
=
-1216 (1+2+1+3+3 +0=1/2
√2
|OH|>0}} |OH| = OQ=
よって
V₂
2
以上より
四面体 HABC:四面体 OQBC = V1:V2
1 √√√2
=-
6 2
=1:3√2