【数1】二次不等式⑴

2次方程式・2次不等式

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.09.10 公開

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ノートテキスト

ページ1:

H高校1年数学Ⅰ 令和7年度2学期中間テスト対策練習問題①
1 すべての実数x について、 2次不等式
kx2 + (k + 1)x + k + 1 > 0
が成り立つような定数kの値の範囲を求
めよ.
2 縦と横の長さの和が16cmである長方
形の面積を、 48cm2以上60cm²以下にし
たい。 長方形の横の長さを縦の長さ以上と
するとき、縦の長さをどのような範囲にす
ればよいか .
3 2つの集合
A={x|x2-x-12≧0}
B = {x | x2-2(k+1)x+k(k+2)≦0}
がある.
(1) BCAが成り立つとき、 定数の値
の範囲を求めよ.
(2) A∩B = $が成り立つとき、 定数k
の値の範囲を求めよ.

ページ2:

1 絶対不等式
解答例&プチ解説
f(x) = kx²+(k + 1)x + k +1 > 0 ...... ①
とおく。 ①が成り立つには次の二つの条件を満たせばよさげ。
ア y=f(x)のグラフが下に凸の放物線になる。
イy=f(x)のグラフがx軸と共有点をもたない。
アより k > 0
2乗の係数が正
イより D <0
:.D=(k+1)2-4k(k + 1) < 0
... -3k2-2k +1 < 0
...3k2 + 2k-1> 0
...(k+1)(3k-1) > 0
1
.'.k <-1, ½ <k
x軸と交点をもたない
3
アとイをともに満たす範囲は - <k
3

ページ3:

解答例 & プチ解説
2② 2次不等式の文章題
xcm
◆x の範囲を求める
縦の長さをxcm とすると、横の長さは
(16-x)cmと表される。
辺の長さは正だから x>0･･･ア
(16-æ)cm
横の長さは縦の長さ以上だから x≦16-xx ≦ 8...
アとより、
0<x≦8
◆2次不等式をつくって解く
長方形の面積は x(16-x)cm²
これが 48cm2以上60cm²以下だから
48≦x(16-x)≦60
この連立 2次不等式を解くと
48≦x(16-x)
x 2 -16x + 48 ≦0
(x-4)(x-12)≦0
4≦x≦12
2
x(16-x)≦60
x 2 -16x + 60 ≧0
(x-6)(x-10)≧0
x≦6,10≦x ... 3
①と②と③を同時に満たすxの値の範囲を数直線にお絵かきして
確認すると・・・･･ 4≦x≦6
③3
答 4cm以上 6cm 以下
4
6
8
10
12
3-

ページ4:

3 不等式の解の集合
解答例&プチ解説
A={xlx²-x-12≧0}/B={x|x²-2(k+1)x+k(k+2) ≦ 0}
(準備)
x2-x-12≧0を解くと
(x+3)(x-4)≧0
∴x≦-3,4≦x
x 2 -2(k + 1) + k(k+2)≦0を解くと (x-k){x-(k+2)}≦0
1
. . k ≤ x ≤ k +2
②
これらより A={x|x≦-3, 4≦x}
B={x_k≦x≦k+2}
~あとはお絵かきするだけ~
(1) BCA(BがAにすっぽり入る)となるのは次の二通り。
k
k+2-3
2
4k
k+2
k + 2 ≦ -3 または 4≦k
したがって≦-5,4≦k
(2) A∩B=Φ(BがAの中にない)となるは次のとき。
1
-3
k
k+24
-3<k かつ k + 2 < 4
したがって -3 <k < 2