ページ1:

*分點公式
從中點坐標到分點公式:
A
P
B
ˇˋ
-
2
AP:PB =
A
+
47
12
A、B為數線上兩點,分別為2和12,
→ 若要求中點P,只需將A、B相加除以2就行,
P
B
+
→
:
2
x=8
12
AP:PB=3:2
N
即P=A+B,也就是P=A+B=2+12+7
若P在A、B中間,但不是中點,已知AP:PB=3:2.
設P為x,可列式12-x:x-2=2:3
P靠近誰,誰就分得多
Z 3
P=A+B+ X=
2A+3B
3+2
2 2 (x-2) = 3 (12-x)
先不來開,
⇒ 2X-2.2 = 3.12-3x
觀察分點公式
x
=
8
的樣子
#X = 2.2+3.12
5
設A(a)、B(b)為數線上兩點,點P(x)在丽上,且丽:B=m: n.
則P點坐標為x=ha+mb
m:
n
m+n
,
EP PE
n
A+
B
m+n m+n
m
A
P
B

ページ2:

Ex:設A(-5)、B(11). P(x)為數線上三點,且P:PB=5:3,
(1)P在上時,求x之值
(2)P在ĀB外時,求x之值
Sol: (1)
A
5 P
3
B
-5
x 11
(2)
A
2
3
P
這樣P在外
t
+
→
丽丽也是5:3
-5
11.
x
P=A+B(靠近誰
B
=
誰分得多
2
x=
(-5)+ · · 11 = 5
Ex:設a、b是實數,且axb,比較x=
3
-A+EP
5
+11= 1/2(-5)+31 13× 23/7x=14 # x = 35
4a+b
3
= za+b, y=
39+b
4
'
5
Z: fate三數的大小。
Tip: x,y,z為數線上a、b間的點,用分點公式判斷x,y,z的位置。
Sol:
za+b
x=
y=
2
Z =
3
3a+b
4
4a+b
5
=
=
=
=a+b
1:2
+
a
x
b
從左圖可知: X247z.
& a+ ½ b
:
4
+
+
+
EP za+b
3a+b
4a+b
7
b
3
4
5
1:
+
az
4
a+b
ay

ページ3:

*絕對值
以符號丨al來表示a到原點的距離,讀作a的絕對值。
例如:12x1=4代表x到原點的距離為4,即xo4or-4
|x-21=3代表x到2的距離為3,即x=5 or -1
→ X-2=3 or X-2=-3 ⇒ x=5or-1
|x+4=2代表x到-4的距離為2,即x=-2or -6
4
X+4=2or X+4=-2 ⇒ x=-2_or
Ex:解絕對值方程式13x+11=2。
1-6
1x1 1x1
4
个
-4
4
3
3.
*
2x=5
→
x=-1
x=-6
13x+11=2>1x+1=号,
2
2
-4x=-2
个
直接解
Sol: 13x+11=2
2
7 3x+1=2 = 3x = 1 7 × = 3
畫圖想
代表x到一方的距離為
3x+1=-2 7 3x=-37x=-
(推薦)
>> 因此x=3or-1
-1
3 3
Ex:解絕對值方程式|x-11+1x+31=6.
Sol: 分成三部分討論
③
② ①
+ →
以幾何意義思考,
1
DX71 = (x-1)+(x+3)= 6 = x = 2
1-3≤x≤1⇒-(x-1)+(x+3)=6⇒無解
|x-11+1x+31=6代表x到1和X到-3的
+1
1 距離相加為6,
+1 已有4 +1.
×<-3-(x-1)-(x+3)=6 ⇒ x=-4
-3到1的距離是4,
-4-3
1 2
還差了2,故往左、右多1單位

ページ4:

*不等式的表示法
例如:某個閉區間a≤x≤b,可用符號[a,b]表示,
若是開區間axxxb,則用符號(a,b)表示。
中括號表示有包含端點,
小括號表示沒有包含端點。
也有a≤x≤b這種只包含一邊的情形,以(a,b]表示。
若只有一邊x≤2,則以(~00,2]表示.00 無限並非實數,用小括號
EX:解絕對值不等式:(1)1x134
(2)1×-21<3
4
50l:(1)1x134的意義:X到原點的距離大於等於4, -4 ° 4
←
0
由右圖可知,解為x=4或x≤-4,也可用(~00,-4]U[4,00)表示。
→聯集符號,表示「或」。
(2)
[x-21<3的意義:X到2的距離小於3,
。
→
|-
2
3
由右圖可知,解為-1<x<5,也可用(-1,5)表示。

ページ5:

Ex:設a,b為實數,若lax+41≥b的解為x25或x=-1,試求a,b之值。
Tip: 先畫解的圖,再找端點的中點回推回去。
解,也就是x
3.
Sol: 1 x 5 x ≤ -1
3
Y
-125
-1和5中點是2,各往左右了到1和5
Ex: 解絕對值不等式丨x+3|+|x-21≤9.
:
回推:2到1和5的距離大於等於3,
即1x-2133,又因題目要1ax+41b,
m
|X-21731-2x+41 7, 6, 52 α=-2,
③
Sel
②
①
3
个
2
分三段討論,
①x22⇒ (x+3)+(x-2)≤9
b=6
左右同乘1-21
畫圖想(推薦!)
代數解
以幾何意義思考1x+31+1x-21=9
即到-3和到2的距離相加小於等於9
(3)
x<-3 > -(x+3>(x-2)=9
~
> 2x+1≤9x≤4
mm
2<x≤4
②-3≤x≤2⇒ (x+3)-(x-2)≤9
\ci)
7559-3=x≤ 2- (ii)
7 -2x-1397 x7-5
+2
+2
已有5轻
→
-5-3
(iii)
-5≤x<-3
24
-3到2的距離是5,因此再往左、右
多2單位,使-3到土加2到4的距離為9
一到法加工到点
綜合(i)、(ii)、(ii),可得解-5≤x≤4
得解-5≤x≤44 要小於等於9,
只能在-5≤x≤4裡

ページ6:

高一上
數與式 4
指數與常用對數
数

ページ7:

*指數
→上面的千是指數
n個實數入相乘可記為a”,例如:3×3×3×3=3
4
下面的3是底數
指數律與指數定義
說明
mn
m+n
設a.b是正實數,min是實數,則:
2
3
5
3x3 = (3x3)x(3×3×3) = 3
m-n
am,
n
m+n
m
2
xa
- a
若mm是整數, 2.33=3=(3×3×3×3×3)÷(3x3)=3
2. am=a^= a"
3. (am) = a"
4. am.bm = (ab)”
n
m-n
a、b可以是負數,
m n
mxn
3.(32)) = (3x3)x(3x3)x(3x3)=3
6
mn
例如:
(-2)x(-2)x(-2)
5. a° = 1
3
=(-2)³
=(2x3)x(2x3)x(2×3)
=6
axb
5.3°=3
4-4
4
4
=3÷3
= 1
4.2.3°=(2x2x2)x(3x3x3)
3 3
a b
6. a
m
=
am
m
6.3-2= 34-6=34÷3= (注意57-9!!)
7. an² = Ja, a = = (a") = "Jam 7.
=
=camın =
32
=
=
5132
3²

ページ8:

熟悉指數的運算:
Ex:下列哪些選項是正確的?
sol:
(D)
2 3 4
5×5×5=5
9
(B)
(52)
-2
(E)(-8)
--
(5-3)+= (54)53 = 5
-3
-12
(-5)² = 25±13 (6) (-8) 3 = -2(F) (51) = (55)² = 5 = √53
Ex:試求下列各式的值:
Soli
(1)
(4)
8
8
2.3
[(-6)²]³
(2.3) 8 68
(-676
(17')
310
= (75)3
=7²-49
=
62
指數是有理數,應數需正數
(2) (53 +1)" ( 53-1)³
=
=
36
=
(5)
(53+1)(53+1)³ (53-1)³
(53+1)[(13+1)(53-1)]³
= (53+1)=23 = 853+8
25
1+53
2
1+53
x5
=(52)2x5-5
=5
=
5
1+J3
x5
(1+3)+(-3) 1
(3)
2
-0.4 -0.8
8
x
4-0.9
tion
= 2 × 2
= 2
(6)
-2.4
2-18
800 € (23) 0.8
409
-0.4+(-2.4)-(-1.8)
81
后 8
÷9
= (34)5=(32)
= 3457
2528
=
20.8 -2.4
= 2
0.9 4.8
=(2350
2 = 2
= 2
2528=2.25斤=457
4斤
= 5 = 5
=3°
= 1

ページ9:

來看兩題指數常見的問題
2
Ex:若23*=4, 184=8,則文一号的值為何?
仰:題目問ㄨ一言,因此盡量在指數部分找出文和
2
Sol: 23* = 4 # 23* = 2
⇒ 23 = 2
1847-8184
184 = 8 ⇒ 184=2⇒ 184=2
XIN
3/37
y
①
@
用①②可得到
23
184
=
2
NIX
☑
÷2
= 2
3
= 2
因此
,
3
指數同×文及可
184
=
=-3
Ex:某實驗中,細菌數量1日後增加為a倍,已知2日後,31日後細菌數量分別
為200000,1600000,求
:
(1)a的值及一開始細菌的數量
(2)6日後的細菌數量
50l:(1)設一開始的細菌數量為N,
可依題意列式(2日後,3日後):
→注意「增加為a倍」和「增加入倍」不同
(3) 細菌數量為800000時所需的日數
(2) 已知一開始的細菌數量=12500,
且1日後增加為4倍,
Na² =200000
①
6日後:12500.4°
6
=
51200000
N.Q2=1600000
②,
(3)
用②:①可得:
數量為800000時
2
a=a
=1600000-200000
7 a² = 8 = a = 8³ = 4,
12500.4K=800000 (k為所需日數)
= =
N=12500
→ 4K=64 ⇒ K=3

ページ10:

* 常用對數(配合計算機)
我們知道10'=1,102=100,但10:50?10的多少次方等於50呢?
未知指數的值可以用對數log來表示,
134 40: 10 - 10, log 10 = 1
10,log
10² - 100, log 100 = 2;
-2
10
[= 0,01, log 0,01 = −2
10% = 50, log 50 = x
L
↳ EP 10 μg 50 = 50 (log 50 ≈ 1.7)
若10a,則x可用對數x=loga表示。常出現的對數值:
(loga是一個數,會使10ga=a)
log2=0.301,log3=0.4771
因10°=1,故log1=0喔!
Ex:求下列各數的值:
(1)
10 109 30
(2)
log0.05
(3)
10
(3)
Sol: (1)(2)根據定義
10.
logo
=30,10
M
logoos
=
:0.05
Log5=0.699,logy=0.8451
log 10000 (4) log0.001
log 10000
(5)
<X
(+) logo,001 = x
⇒ 10=10000=104
⇒ log10000 = 4
⇒
10=0.001=103
logo001=-3
103.log3
(5)
103-1093
=(100g3)3
3
= 3 = 27

ページ11:

Ex:已知dog2x0.301,Leg30.4771,用指數運算求出logs Blog 6 的值
Tip: // logz ≈ 0.301 10 log 3 ≈ 0.477) J10 10
Sol: (1) log 5:
To
logs
=
5:
=
~
10
10
2
Fit logs ≈ 0.699
100.301
0.301
≈2, 10
(2) 求log6.
0.4771
用這點進行運算。
100g2.100g3=6
~100.699
已知10
log z
將①x②:
=2
①
10': 10°
0,301
Ex:已知log220,301,問2.0是幾位數?
Sol:
log 2 ≈ 0.301 J*0 2 = 10°
由Log2=0.301可知2010092
2100 = (10 log2) 100 = 10"
(10 log2,100
log 3
10 =3 ②
#legz+logs = 6
+ logb = log2+hg3=0.7781
△.目前著重在使用指數運算,
對數運算在高二才會學到。
1000g2
30.1
≈ 10
又 1030 ~ 10
30.1
31
<10
10
因此2100是31位數。
030.1是31位數,
31
"ex: 10' < a <10² ; 1030 <1030.1 <103
2位數2位數3位數 31位數 31位數 32位數

ページ12:

再看一題常見的對數問題
Ex:PH值是衡量溶液酸鹼程度的標準,其定義為:PH值:-log[],其中的[H+]
為氫離子的濃度。
↓
例如叫值=525=-bug [+] ⇒ log [H+]=-5 → [+]
(1)將一瓶PH值為3的鹽酸10ml及一瓶PH值為4的鹽酸20ml混合在一起,
則混合溶液的PH值為多少?
(2)將兩種硝酸混合在一起,想獲得PH值為5的溶液,已知一瓶硝酸的PH值是4,
體積是30ml,則另一瓶PH值為6的硝酸需要多少毫升?
50l:(1)題意(pH=3,10ml)+(pH=4,20ml)=(pH?)混合: 10x103+20×10-4
-3
pH=3=3=-dog [H+]→[]=103
PH = 3 ⇒ 3 = - log [H³] → [H+] = [0]
PH=434 =-log [H+] → [H+]=10
-4
(2) 題意(pH=4,30ml)+(pH=6, xml)=(pH=5)
=4x10
10+20
-4
-
4
120x10
=
30
PH = -log (4×10") = -log 0.0004 3.4
[*]=1064設需要x毫开
[H+]=10%
可列式: 30x104+Xx100
= 10
30+x
5
按計算機得出即可
300-10-0.1X-105-105
30+x
-5
=10
10-5 (300+0.1x)
30+x
⇒300+0.1x=30+x
⇒x=300,需300ml