数学
高校生

(3)の問題です。なぜa=25/4を境に場合分けをするのかが解説を読んでもわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか。

完答への 道のり AB 正三角形AQR ができる条件を場合に分けて © E が点 Q, C が点Rとなる確率を求めることができた。 正三角形AQR ができる確率を求めることができた。 白玉だけを取り出して正三角形AQR ができる条件をもれなく考えることができた。 F 白玉だけを取り出して正三角形AQRができる確率を求めることができた。 条件付き確率を求めることができた。 B4 図形と方程式 (40点) 座標平面上に円 C:x2+y2 = 25 と直線l: x+2y=10 があり、連立不等式x+2y10 fx2+y2 S25 A の表す領域をDとする。 (y≥0 (1)円Cと直線lの共有点の座標を求めよ。 また, 領域Dを図示せよ。 (2) (6,0)を通る直線の中で,円Cと y>0の範囲で接するような直線の方程式を求めよ。 (3)aは 6≦a≦10 を満たす実数とする。 点(x, y)が領域D内を動くときの最小 値を とする。 αの値で場合分けをして, mをαを用いて表せ。 x-a 配点 (1) 10点 (2) 12点 (3) 18点 解答 (1) C:x+y2 = 25 ① l VA l: x+2y=10 C ②より x=-2y+10 ②' ②'を①に代入して (10-2y) +y2=25 2-8y+15=0 (y-3)(y-5)=0 y=3,5 44 - 15 (4, 3) 0 5 x -5 円Cと直線lの共有点の座標は、 連立方程式①、②の実数解である。 解答ではxを消去して yの2次 方程式を導き、それを解いて共有点 のy座標から求めたが,yを消去し てx座標から求めてもよい。
25 A ☐ (3) y=k とおくと y=k(x-a) 直線⑧は点 (α, 0) を通る傾きkの直線を表す。 この直線⑧が領域Dと共 有点をもつときの傾きkの最小値を考える。 ここで,領域Dの境界線上の2点(5,0), (4,3) をそれぞれA,Bとす ると,点B(4,3) における円 Cの接線の方程式は を含む式の最大・最小を考えると その式をとおいて,y=f(x) の形に変形する。これが表す図形と Dが共有点をもちながら,kが変化 するときの最大・最小を考える。 ( 2 as 10 のとき 4 領域における最大・最小の問題 領域D内の点(x, y) に対して,よ G ■ 直線 ⑧がDの境界線上の点B (4.3) を通るときは最小と なる。 3 このときk= 4-a よってm= 3 4-a 4x+3y=25 これがx軸と交わる点のx座標 (i), (i)より は,y=0 より 4x=25 x= 25 kは領域D内の点(x, y) と点 (α, 0) を通る直線の傾きより, k よく B (4, 3) al 25 mas 2 のときm=-- NO 25 ・<a ≦10 のときm= 4 4- 5 25 10 x N が最小となる場合を次の2つの場 合に分けて考える。 CO (i) has 2 のとき 5 C 直線⑧がDの境界線の弧 ABに接 B (4, 3) するときは最小となる。 D ⑧を①に代入して aの値が 6≦a≦10 の範囲で変 化するとき =2を境に、が 最小となるような直線と領域D の共有点の取り方が異なる。 6a のとき V 完答への 道のり 最小値を考える式 B場合分けの境目と 25 αのときについては, (i), (6) のどちらに含めてもよい。 25のときが最小となる直 CF αの値によって、 DG それぞれの場合 EH それぞれの場合 a= 25 線 ⑧の方程式は4x+3y=25 である。 4 56 x a ⑧ 円と直線の方程式からyを消去し て得られるxの2次方程式を x+k (x-a)=25 (k^2+1)x2-2kax+ka"-25=0 このxの2次方程式の判別式をD とすると D₁ -=(-k²a)-(k²+1) (k² a²-25) -ka-(ka-25k²+k² a²-25) = (25-a²) k²+25 直線 ⑧がCに接する条件は, D10 であるから (25-a)k+25=0 (a²-25) k² = 25 =2のとき-250 であり、 直線⑧が弧ABで接するとき 6≤a≤ k < 0 であるから 25 k² = より a²-25 5 k=. € よって √a-25 m = - 5 √√a-25 -46- ax+bx+c=0 とし、その判別式をDとすると D=64ac であり 円と直線が接するD=0 また、26' のときは = =b^2-ac を用いてもよい。 [6≦a≦ 2 のときの最小値を求める ⑧ より kx-y-ka=0 直線⑧が円Cと接するとき、円 Cの半径5に等しいから |k.0+(-1)0-kal=5 √√k+(-1) kal=5√√k+1 両辺とも0以上であるから2乗! ka² = 25 (k+1) (a2-25) k=25 (F. * B5 数列 (40点) 等差数列{a. あり、61=2,bati (1) 数列 (a.) の一般 (2) 数列 (b.)の一般 (3) S.-(arb
図形と方程式 進研模試

回答

a=25/4のとき、この(25/4, 0)を通りDと接して傾きkが最小になるように引いた直線は、点Bを通ります

それよりaが小さいと、直線が円の弧の部分に接する方が傾きkがよりマイナスになります
それよりaが大きい時は、点Bを通る直線になります
なので25/4が場合分けの境界になります

ちょっと拙い説明ですが、いかがでしょうか?

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