Question

ゲスト

線形代数の問題なのですが難しくて解けません。
お願いします

演習問題 4. 複素数成分の 2 x 2 行列の場合最小多項式と固有多項式が異な

るのは, 対角行列 了 \) の場合, またその場合のみに限ることを示せ.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

gößt

まず、対角行列
　[ λ 0 ]
　[ 0 λ ]
について、固有多項式は (X-λ)², 最小多項式は X-λ なので条件を満たす

逆に、行列Aの固有多項式と最小多項式が一致しないとする
Aの固有多項式が重解を持たなければ最小多項式は固有多項式に一致するので、Aの固有多項式は重解をもつ
また、Aは2×2行列なので固有多項式は2次。以上より、Aの固有多項式は
　(X-λ)²
の形でなければならず、よってこのときAの最小多項式は X-λ
最小多項式の定義から、
　A-λE=O
　A=λE ◻︎