Question

なず

フィボナッチ数列の問題をケーリーハミルトンの定理と数列で解いてみたんですが、間違ったようです。どこが間違ったんですか？解答が対角化で解くので結果があってないしかわかりません。

よろしくお願いします。

例89|

1 i) 対して 正の実数 。 5 をとり。 (0-ダ 旨 と定める. このと

き gc,ちの選び方によらずに極限値ル= jm 字 = が定まるこ   ととを示し, その値 を求めよ.

 

 

 

 

oo 6。

[新潟園]

 

 

【解】 和列4の回有値は3二YP であり. それぞれに属する固有ベクトルは (- る)

 
 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

である (複号同順)、 ここで, 簡単のために
和」      ーー ニー1二V5,、 ニー1一5
とおき。 正則行列 P (。 2 を用いて 4 を対角化すると 4P ニー 棒  >) となる
2
から,
4ルー (  2 (が   0  )    1      2 -2
_ eZ     0  (A5)"/ 2(8 一o) \-e 2
ー      1        28(A)" ー 2o(A5)“    ー4(Ai)“" 十 4(As)"
2(のeo) eg(An)" ー og(A5)" 2o(Ar)"十 27(25)"
直っつ,
の 218(A)" 一 e(A5)" jo 一 4人(An)” ー (25)")6
6。 ei(A1)7ー (5)7jo 一 2to(A1)7 ー (As)716
入ぅ  上             >
のe人かー季人放
> 吉          A
ch人
だとどで, 0<X> <丸より0 < <』だから。
は
jim Ge 29g一45 2 2 1+V5
zee6。 oo一2op we  -1+上V5 2

となり, g,5の選び方

 

によらずに極限値は ニ の <ぁs。              M

GPU +UC-3) 5

は(3 | Mw Wi と 貞 マリ"

ka    し
> Io mAュー
っAtいいtsボリ

ー テヶa 4シク

ニーニーーーーデーーデー

- >wそレ

数列 フィボナッチ 行列 対角化

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

マル

A^2 - B ＝ 3*( A - B ) までは正しいと思います。
次の行、一般のnに対しては成立しないと思うのですが、

なず

回答ありがとうございます！

自然数のnに対しては成立するんじゃないですか？

マル

うまく言葉で説明するの難しいんですけど、n＝3を代入してみて成り立ちますか？

A^2 - B ＝ 3*( A - B ) は n＝2 のとき成り立つことをいっているだけで、そこから一般に成り立つことは言えないと思うのですが、

(数列の問題でも第n項と第n+1項の関係性を仮定しているはずです。初項と第2項から一般項求めることはできないですよね)

なず

理解できました！確かに前にも犯したことがある間違いです。それではA^nを両辺にかけるとnについて一般的な式が作れるはずですよね。三項間漸化式になりそうです。試してみますね。

なず

計算が複雑過ぎてやめましたが、やり方はわかりました。