Question

ゲスト

教えて下さい！

、 を集合とし, :エを写像とする. 4:, 4 で の任意の部分集合を, お でY の任意の
部分集合を表すとき, 次の主張 (命題) のそれぞれについて, 正しければ証明をし, 正しくなければ

反例を挙げよ.

⑪
7(4』U45) = (41)U7(45),

②
(4n45) (4)nロ7(45),

⑬
7(4n/(⑧) =④n.

ここで 7/(4) は 4 の による像を, /-!() は の 了 による逆像を表す:
7(④= (79lee 4)。 た"(8お) = (zeえ|7く) e

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ねけう

(1)正しい
y∈f(A_1∪A_2)とする。このとき、あるx∈A_1∪A_2が存在して、y=f(x)となる。x∈A_1またはx∈A_2なので、y∈f(A_1)∪f(A_2)となる。
逆に、y∈f(A_1)∪f(A_2)とする。つまり、y∈f(A_1)またはy∈f(A_2)である。このとき、あるxが存在してy=f(x)となり、x∈A_1∪A_2となる。∴y∈ f(A_1∪A_2)

(2)正しくない
f:R → R , f(x)=sin(x)
A_1=[0,π/2] A_2=[π/2,π]
が反例である。実際、A_1∩A_2={π/2}なので
f(A_1∩A_2)={1}だが、f(A_1)=[0,1], f(A_2)=[0,1]より
f(A_1)∩f(A_2)=[0,1]となる。

(3)正しい
y∈f(A∩f^(-1)(B))とする。このとき、ある
x∈A∩f^(-1)(B)が存在してy=f(x)となっている。x∈Aなので、y∈f(A)である。また、x∈f^(-1)(B)より
y=f(B)∈Bとなる。
逆にy∈f(A)∩Bとする。y∈f(A)より、y=f(x)となるx∈Aが存在している。また、y∈Bよりf(x)∈Bでもある。よって、x∈f^(-1)(B)となる。x∈ A∩f^(-1)(B)より
y∈f(A∩f^(-1)(B))となる

ねけう

間違えてたらすみません

ゲスト

ありがとうございます！

(3)のy=f(B)∈B ではなくて、無理矢理書くと、 y=B∈B ですよね？

ねけう

y=f(x)∈Bです
ミスってました