nについての帰納法で示せそうです
できれば、帰納法を使ってどのように証明すればよいのか教えてもらいたいです。苦手なりになんとか頑張って理解したいです
数学的帰納法は高校の数学Bの範囲ですが、高校のときに数学Bは習わなかったということですかね？だとすると自分で勉強するのも大変だと思います
帰納法を習っていないとなると以下の解答を読んでもよくわからないかもしれません…
(解)
nについての帰納法で示す
(i)n=1のとき
(左辺)=(右辺)=f₁'(x)
なので成り立つ
(ii)nのとき成り立つと仮定する。n+1 のとき
⎛n+1 ⎞'
⎜ Π fm(x)⎟
⎝m=1 ⎠
⎛ n ⎞'
＝⎜ Π fm(x) × f[n+1](x)⎟
⎝m=1 ⎠
⎛ n ⎞' n
＝⎜ Π fm(x)⎟f[n+1](x) + Π fm(x) × f[n+1]'(x)
⎝m=1 ⎠ m=1
(∵積の微分)
⎛ n ⎛m-1 n ⎞⎞
＝⎜ Σ ⎜ Π fe(x) × fm(x) × Π fk(x)⎟⎟×f[n-1](x)
⎝m=1⎝e=1 k=m+1 ⎠⎠
n
+ Π fm(x) × f[n+1]'(x)
m=1
(∵帰納法の仮定)
n ⎛m-1 n ⎞
＝ Σ ⎜ Π fe(x) × fm(x) × Π fk(x) × f[n+1](x)⎟
m=1⎝e=1 k=m+1 ⎠
n
+ Π fm(x) × f[n+1]'(x)
m=1
n ⎛m-1 n+1 ⎞
＝ Σ ⎜ Π fe(x) × fm(x) × Π fk(x)⎟
m=1⎝e=1 k=m+1 ⎠
n
+ Π fm(x) × f[n+1]'(x)
m=1
n+1 ⎛m-1 n+1 ⎞
＝ Σ ⎜ Π fe(x) × fm(x) × Π fk(x)⎟
m=1⎝e=1 k=m+1 ⎠
よってn+1のときも成り立つ
以上(i)(ii)より、全ての自然数nで成り立つ ◽︎
文字でわざわざ打ってくださってありがとうございます！！！！
おっしゃる通り高校のときは数学Bはとりませんでした。インターネットで帰納法についてのサイトをずっと読んでいたので仮定を2つ立てなければいけないことはわかったのですがやはり難しかったみたいです。
何度か読み返して理解出来るように頑張ります。
本当に助かりました。心から感謝しています。ありがとうございます！
この問題は慣れていない人だとなかなか難しいかと思います。頑張ってください
帰納法ですか？帰納法については講義でまだ解説されてなく、発展問題なのでサイトを使ったりして調べて解けって言われまして。。無知ですいません。