イを使う場合には、
I don't have any brothers.
となります。これは、「私は1人も兄弟はいません」という意味になります。
I have no brothers.
は、「私は兄弟はいません」と、同じ意味になりますが（だいたい）、
「I have〜」形を使うと、後ろに「no brothers」をつけることで、感覚で考えて欲しいのですが、「私は持っている、いない兄弟を」となります。
なので、簡単にすると「私は兄弟はいません」となります。
語彙力がなくすみませんでした。わかりにくかったらごめんなさい。
追記：anyは否定文・疑問文のみで使われます。この場合は否定文でも疑問文でもないので、anyは使えません。なので、noを使います。
こちらの説明の方が簡単でした。