Question

こももん

解説の黄色マーカーの部分

四角錐の体積が最大となるのは、点Oが線分A H上にあるときである。

のはなぜですか？

271 半径1の球面上の5点 A,B1,B2, B3, B4 は,正方形B,B2B3B4 を底面
とする四角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき,四角錐 AB,B2B3B4
[19 京都大〕
の体積の最大値を求めよ。

271 球面の中心を0とし
点 0から正方形 B1 B2B 3B [4
に垂線 OH を引く。
四角錐 ABB2BB」の体積
が最大となるのは, 点Oが B1
線分 AH 上にあるときである。
OH=hとすると<-3a
(*)
O
h
H
B3
E BH=√1-h2,0≦x<1(x)=
.833
四角錐 AB,B2B3B4の体積をVとすると国の
=(√2B,H)2(1+h) Jei
||
(1-h²)(1+h)
あ
(-h³-h²+h+1)(x)=8
(S)

よってV'=123-32-2h+1
2 (3h²+2h-1) + En
=-(h+1x3h-1) 0-4-8
0≦ん<1において, V' = 0 とすると h=
=13
0≦ん<1におけるVの増減表は次のようになる。
【
***
1
h
0
V'
+ 0
-
V 極大 \
*30024-8 [8]
ゆえに,Vはん= 1/3で極大かつ最大である。
したがって, 最大値は
64 0
81

最大、最小 微分 積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

AZ

図を描いてみると分かりやすいです。底面積B1B2B3B4をある値に固定した場合、
線分AHがOを通れば、体積が最大になることが分かると思います。

AZ

一般には画像のように線分AHがOを通らない場合が考えられるわけです。
ところが、この図を見ればAHがOを通る時、四面体の高さAHが最大になり、結果として体積も最大になることが分かると思います。

こももん

理解しました！！！
ありがとうございます✨