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大學
已解決
大学古典力学の2質点系の問題です。
この問題の（II）で重心Gに対する相対位置ベクトルとして、解答下線部のようにおいていますが、何故こうなるのですか？分かる方がいましたら教えて下さい。
演習問題 96
2質点系の運動 (I)
右図のように xyz 座標をとる。 長さ 3r
の質量の無視できる棒の両端に,それ
ぞれ質量 2mmの質点を取り付けたも
のが、その重心Gのまわりを一定の角
速度で回転している。 重力はy軸の負voy =
の向きに働くものとし、この2質点系の
y4
2m
cart
ro
Wo
m
Vo.
vosino-
Pox VoCose
ス
重心Gを, 原点から、時刻 t = 0 のときに
仰角6 (0<</2)初速度 Do = [Vox, Voy, 0].
(vo=||vo||) で投げ上げるものとする。
このとき、この回転しながら運動する 2質点系について、時刻におけ
る (i) 全運動量P, (ii) 全運動エネルギーK, () 全角運動量Lを
求めよ。 また, (iv) この2質点系の位置エネルギーを求め、力学的
ネルギーが保存されることを示せ。 ただし, 2質点系の回転はxy 平面
内で起こるものとし、 空気抵抗は無視する。
ヒント! (i) 全運動量P=PG, (ii) 全運動エネルギーK=KG+K',
(i) 全角運動量L=Lc+L' の公式通りに求める。 (iv) 位置エネルギーの基
準を zx平面にとる。
解答&解説
P=Pc=3mUG
(ii) 2質
K =
(KG
ここ
KG=
質量
重心
K質重Gがで対
G
が,
で
対
Vol
(速
V01
G
Toz
こ
Vo
さ
V02
-v=jo
=[var-gt+v
以
G
(3m)
(i) 2質点系の全運動量Pは,全質量 3m
が集中したと考えたときの重心Gの運動
量 Pc に等しい。 重心Gには,重力に
よる加速度g = [0,-g, 0] が生じるので,
その速度UGx成分は, Per PacOS (一定成分は,
Voy = - gt+ vosino となる。
t = 0 のとき Poy= Posin より
∴Uc=rc=[vocose, -gt + vasin0, 0] ……① より,
P=Pc=3mUc=3m [vocoso,
gt + vesin 0, 0] となる。
K
162
(i) 2貫点系の全運動エネルギーKは,
K=Ko+K'
......② となる。
質点系の力学
(Kc : 重心Gの運動によるもの, K': 重心Gに対する相対運動によるもの)
ここで、Ko=1/2.3m-vo2より、
||vol2 = (vocose)2+(-gt + vosin e)2 +02
=g212-2gvosin 0·t+v2
Ko=2m(g'v2-2gvosino.t+v.^)...③
質量2mmの2つの質点を結ぶ棒を,
重心Gはm:2m = 1:2に内分する。
G = 1922-2gvosin 8.t + vo2
G(3m)
12m
Gから質量2mの質点に向かう相対位置ベクトル Toi'
が, ra=[rocoswot, rosin wot 019④
で表されるものとすると, この質点のGに
対する相対速度 Vol' は, ④をt で微分して,
m
この問題では,初期
位相を0として解い
てもかまわない。
Un'=[-rowosin wot, rowcost, 0]...... ⑤ となり,この大きさ
速さ) V01 の2乗は,
Po1^2=||Vo1^||2=rowsin' wot+cos2wot) = row となる。
Gから質量mの質点に向かう相対位置ベクトル Po2' は,roz'=-2roi'より,
Po2′=-2ro′=[-2rocoswot, -2 rosinot, 0] ⑥
この質点のGに対する相対速度voz'は ⑥をtで微分して
2rowocoswot, 0]…………⑦となり,この大き
Ue=[2romosinot,
さ(速さ)vo2 の2乗は,
V02
Voz² = 4ro²wo² (sin² wot + cos²wot) = 4r,²wo²
2m
=2r
ro G
Voz
以上より, K'は,
= row
Ver
2ro-
m
=m.riwi+1/24.m
K'=12.2m.vo1^2+1/23m.Voz^2
m. .4rowo² = 3mro wo
2
③⑧を②に代入して,
K =
2m (g'r-2gvasin9.t+vo²)+3mr%2
=/2/2m(g?r2-2gvosino.t+vo'+2%)
(
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解答
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