Question

ひきわり

重積分についてです。
解答では初めにzのみの積分をして、そこからxとyの二重積分を行っていますが、よく意味が分かりません。単純に3枚目のような積分範囲で(図から判断)行う問題点は何なのでしょうか？
よろしくお願いします🙇

5 重積分に関する以下の問いに答えよ。
x,y,z≧0, x+y+z≦
} を図示せよ。
={(x,y,z) x,
(1) 領域 D = (x, y,
(2) 次の不定積分を求めよ。 ただし, a は定数である。
(13)
Sxsin (a+x)dx
(3)D を積分領域として,次の3重積分の値を求めよ。
02
_zsin(x+y+z) dxdydz
<千葉大学工学部〉

とおくと,
5
cos 0d0=
64
4 曲線C を図示すると次のようになる。
2
3
x
x=3rcoso, y=2rsin0 とおくと,
DはE:0≦x≦1,0≦0≦2 に移る。
よって,
E={(x, y)|x. 20, x+ys-
==
z sin(x+y+z)dxdydz
= {1-sin(x+y)} dxdy
=S² (S* (1-sin(x + y)) dy)dx
=* [y+cos(x + y)]* dx
Jy=0
a(x, y)
3 cos 0
-3rsin 0
また,
=6r
===
a(r, 0)
2 sin 0
2rcos
=(
-x-cosx dx=
2
sinx
2 2
1
8
: y+1)dxdy
=(3rcos 0·2rsin 0+1) 6rdrdə
= (6r2 sin cos 0+1)-6rdrdə
=6
6 SS
(6r3 sin cos 0+r) drde
=6√2 (S' (6r³ sin o cos 0+r)dr) de
rsin cos 0+.
.27r=1
第8章 微分方程式
類題8-1
(1)(1+xy+(1+y) = 0 より,
dy
(1+x) -=-(1+y)
C2 3
dx
=6
de
10 2
2
r=0
1 dy
1
..
23
1+y dx
1+x
=6
sin cos 0+
de
2
両辺をxで積分すると,
-0 =67
72
=63 sin²0+ 10*"*
5部
2
(1) Dは四面体 OABC の境界および内
Zπ
C 2
Sydy=(1+x)dx
..log|y+1]=-log(x+1)+C
=log ec-
1
1+x
π
O
22
A
(2) fxsin (a+x)dx
72B
1
y+1=±e-
1+x
1
y
よって,y=A-
-1
1+x
(2) y'+2xy=x
dy
dx
1 dy
=-2xy より,
2x
y dx
両辺をxで積分すると,
=x-cos(a+x)}-{-cos(a+x)} dx
=-x cos(a+x)+sin(a+x) +C
(Cは積分定数)
(3)(2)において,a=x+y, x=z とすると,
-x-y
z sin(x+y+z) dz
=[-zcos(x+y+2)+sin(x+y+2)
=1-sin(x+y)
z=0
まず, y'+2xy=0 を考える。
Sdy = f (-2x)dx
log|y|= x²+C
y= ±ee-x²
よって, y=Aex2
次に関数y=A(x) e-x2を考える。
(注: どんな関数でもこのような形に表せる。)

0
0
Z· sin(x + y + zldz
FIN
FIN
EIN
D

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

それだと積分領域が立方体となり三角錐にはならないですね。

ひきわり

私の答案だとどういう図形になりますか？

哲治

どういう図形とは何をさしてますか？

ひきわり

すみません💦
立方体と書いてありました💦

それにしても、初めにzのみの積分で行っているのはなぜでしょうか？

哲治

３重積分なんでどちらにせよx,y,zで積分なんですけれども、最初に変数zで積分してx,yを定数扱いすれば(2)の誘導の形が使えるからです。

ひきわり

了解です🫡
ありがとうございます！