Question

ひきわり

編入数学徹底研究の不定積分からです。
(2)のLnを求めるときに、解答の黄色のマーカー部分の発想はどういう点から生まれるのでしょうか？
黄色のマーカー部分の解答をしようと思う根拠が知りたいです。
よろしくお願いします🙇

⑥ L.= ∫ (logx)" dx とする。
6
(1) Ln=x (10gx)"-nLn-1 (n≧1) を示せ。
(2) を求めよ。

(2) L=x(logx)"-nL-1 の両辺を (-1) "n!
で割ると,
Ln
(-1)"n!
x (logx)"
Ln-1
(-1)"n! (−1)n-¹(n-1)!
Ln
Ln-1
x(logx)"
.. (-1)"n! (-1)-¹(n-1)! (-1)"n!
Ln
(-1)"n!
+
これを1,2,…, nまで和をとると,
n x(logx) k
k=1 (−1)kk!
Lo=Σ

.. L=(-1)"n! Lo + x(logx)*
k=1 (-1)*k!
n
= (-1)ºn ! { x + x (logx)^
k=1 (-1)kk!
= (-1)^n ! x{1+
1)³n ! x{1.
1
" (logx)*
k=1 (-1)kk! J
=(-1)"n! x{1-(logx)+...
+-
+ Σ
(logx)"
(-1)^n!
+C
+ C
+C

数学 編入数学徹底研究

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

ひきわり様
たとえば、漸化式
　An+1=6An+3ⁿ⁺¹
であれば、両辺を÷3ⁿ⁺¹して
　An+1/3ⁿ⁺¹=2An/3ⁿ+1　←6An/3ⁿ⁺¹=(3・2An)/(3・3ⁿ)=2An/3ⁿ です
　∴Bn+1=2Bn+1　［2An/3ⁿ=Bn とおく］
と似た発想です。
例題をもうひとつ、漸化式
　An+1=(n+1)An + n
はどうでしょう。これはご質問の問題とかなり似ています。
両辺を÷(n+1)! して
　An+1/(n+1)!=An/n! + n/(n+1)!
　∴Bn+1=Bn + n/(n+1)!　［An/n!=Bn とおく］
で階差型の漸化式になります。
ご質問の問題も階差型にするために÷(-1)ⁿ n! しています。すなわち、
In/｛(-1)ⁿ n!｝
=x(logx)ⁿ/｛(-1)ⁿ n!｝-nIn-1/｛(-1)ⁿ n!｝
=x(logx)ⁿ/｛(-1)ⁿ n!｝+In-1/｛(-1)ⁿ⁻¹(n-1)!｝
∴An - An-1=x(logx)ⁿ/｛(-1)ⁿ n!｝　…①　［In/｛(-1)ⁿ n!｝=An とおく］
これで階差型です。
右辺は n の関数なので、x(logx)ⁿ/｛(-1)ⁿ n!｝=f(n) とおけば、①は
　An - An-1=f(n)
n に 1,2,3,…,n を代入すると
　n=1:　A1-A0=f(1)
　n=2:　A2-A1=f(2)
　n=3:　A3-A2=f(3)
　 …
　　 n:　An-An-1=f(n)
辺々を加えると左辺の A1 , A2 , A3 , … , An-1 が消えて
　An-A0=Σ(k=1～n) f(k)
あとは解答例のとおりです。
【補足】
漸化式で係数や指数に n が入ってごちゃごちゃしているときは
「添え字にそろえよ」が鉄則です。たとえば、次の漸化式
　n・An+1=(n+1)An + 1
はどうでしょう。たぶん、もう大丈夫ですね。

Take

送信して気づきました。
長文失礼しました。
さいごの漸化式は ÷n(n+1) です。

ひきわり

ありがとうございます！
よくわかりました！！