✨ 最佳解答 ✨
mkさま
本問は標本の大きさが n=150 であるから、日本人の新生児の母分散 σ² として標本分散 S² が使えます。
(n<30 のときは母分散の代わりに不偏分散を使います) ←また、この場合は t 分布を使って検定します
したがって、解答は次のようになります。
(解答)
日本人の新生児150人のデータについて、階級値を上から 45.5 , 48.5 , 51.5 , 54.5 とすれば、
標本平均｛X｝=49.28 , 標本分散 S²=8.2944 である。 ←「Xバー」が表示できないので標本平均を｛X｝で表すことにする
よって、日本人の新生児の身長の平均を μ とすると
①帰無仮説 H₀：μ=50.5
対立仮説 H₁：μ≠50.5
②H₀のもとで Z=(｛X｝-50.5)/√(8.2944/150) は N(0,1) に従う。
③有意水準1％より棄却域は (-∞ , -2.58) ∪ (2.58 , ∞)
④Zの実現値は z=(49.28-50.5)/√(8.2944/150)=-5.1882 ∴H₀：棄却
⑤よって、日本人の新生児の身長の平均はオーストラリア人の新生児の身長の平均と異なるといえる。■
となります。
mkさま
解説する前に訂正です。標本分散は S²=8.2944 ではなく、S²=9.2916 でした。(Excelの操作ミス)
先生の解答例を見ましたが、やはり U ではなく、S を使うべきだと思います。
もしも、U を使うのであれば、次のような解答になります。
(解答)
日本人の新生児150人のデータについて、階級値を上から 45.5 , 48.5 , 51.5 , 54.5 とすれば、
標本平均｛X｝=49.28 , 不偏分散 U²=9.3540 である。 ←不偏分散 U²=｛n/(n-1)｝＊S² で求めます
よって、日本人の新生児の身長の平均を μ とすると
①帰無仮説 H₀：μ=50.5
対立仮説 H₁：μ≠50.5
②H₀のもとで T=(｛X｝-50.5)/√(9.3540/150) は自由度 n-1=149 の t 分布に従う。
③有意水準1％より t149(0.005)=2.6092 であるから、棄却域は (-∞ , -2.61) ∪ (2.61 , ∞) ←棄却域がちがうのに注意
④Tの実現値は t=(49.28-50.5)/√(9.3540/150)=-4.885 ∴H₀：棄却
⑤よって、日本人の新生児の身長の平均はオーストラリア人の新生児の身長の平均と異なるといえる。■
となります。ちなみに S² を訂正した私の解答だと
(解答)
日本人の新生児の身長の平均を μ とすると
①帰無仮説 H₀：μ=50.5
対立仮説 H₁：μ≠50.5
②H₀のもとで Z=(｛X｝-50.5)/√(9.2916/150) は N(0,1) に従う。
③有意水準1％より棄却域は (-∞ , -2.58) ∪ (2.58 , ∞)
④Zの実現値は z=(49.28-50.5)/√(9.2916/150)=-4.9019 ∴H₀：棄却
⑤よって、日本人の新生児の身長の平均はオーストラリア人の新生児の身長の平均と異なるといえる。■
になります。
おそらくですが、授業で「母分散が分からないときは不偏分散を使うように」といった指導が
されているのではないでしょうか。であれば、先生の解答のとおりです。
また、どの解答でも実現値が明らかに棄却域に入るので、どれもありだと思います。
ただ、通常は n の値によって
n<30のとき 母分散未知のときは母分散を不偏分散で代替する ( t 分布で検定する)
n≧30のとき 母分散未知のときは母分散を標本分散で代替する ( N(0,1) で検定する)
です。
ご丁寧な解説ありがとうございます！🙇♀️
先生に不偏分散を使うようにと指導されましたが、標本分散でも解けるんですね！参考になります！！
答えがこれなんですが、不偏分散を使っているんですよね、、、🤔💭多分、母分散が未知なときは標本の大きさ関係なく不偏分散を代わりに使うのかなと思います！