Question

数学を取ってしまった経済学部生

大学 幾何学
専門の方からすると基本問題と伺ったのですが、私が文系大学生ということもあり、何も解答を出せません。
解答を出していただけますと幸いです。
3題のうち１題だけでもとても嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

1. S2 = {(x,y,z) ∈ R3 | x2 + 42 + 22 = 1} を単位球面とし, R3 のry平面を自然に R2 と同一
視する:
{(x, y,0) | (x, y) = R²} ↔ R², (x, y,0) ↔ (x, y).
“北極” (0,0,1) 以外の各点 p∈ S2 に対し, p と (0,0,1) を結ぶ直線と xy平面との交点を
n(p) とすることで 写像
ゆN: S2\{(0,0,1)} → R2
が定まる. これを北極からの立体射影とよぶ.同様に,p∈ S2\{(0,0,-1)} と “南極” (0,0,-1)
を結ぶ直線を考えることで, 南極からの立体射影
$s: S2 \{(0,0,-1)} → R?
ができる.これらにより与えられる球面の二つの“地図”(局所座標)の間の変換 son²を
考えよう.この座標変換の定義域 (すなわち ♀N の行き先の R2 の中の適当な開集合) 上の
座標軸に平行な直線たち
Lk={(x,k)|n∈R}, L'k={(k,y)|y∈R}(k= -2,-1,0,1,2)
(下の図を参照) を pson でうつしてできる曲線の絵を描け.
L2
L1
Lo
L_1
L-2
I'_2I'_L' LL'2
son の式を計算して求めても、 作図によって求めても良い. 答えだけではなく, 理由も
(読み手が理解できるように) 説明すること.

2. 球面三角形の内角の和は
180°x 1+
4(球面三角形の面積)
(球の面積)
となることを示せ .
ヒント. 例えば、下の図の角度はどの部分の面積と関係しているかを考える.
3. 単位円板 D = {(x,y) ∈R2|x2+y^ < 1} に Poincaré 計量
4
(1 − x² − y2)2 (dx² + dy²)
を入れたものを Poincaré 円板とよぶ.0 <p < 1 を満たす実数 p をとり,
Cp = {(x,y) ∈ D\x2+y^²=p2}={(pcos 0, psin 0) | 0≤0 <2ｶ}
+ỷ
g=
とおく.
(1) 原点 (00) と C, 上の点 (pcos0, psin0) を結ぶ線分(t)=(tcos0,tsin0) (0 ≤t ≤p)
の (Poincaré 計量に関する) 長さ R を求めよ.
(2) 上の ~(t) は原点と(pcos 0, psin0) を結ぶ最短線である.すなわち, (1) で求めた ^(t)
の長さはこの2点間の距離である (この事実は認めて良い) 従って (1) の結果から, C
は原点からの距離が一定の値 R の点全体の集合, つまり Poincaré 円板内の半径 R の
円となる. この円周の長さを R を用いて表せ.

幾何学 内角の和

Answer 1

Take

数学を取ってしまった経済学部生さま

解答してみました。
基本問題かもしれませんが、かなり大変でした。
参考になれば幸いです。

球面幾何 双曲幾何