Question

Terpene

xy平面上の曲線x=ye^yについてx=eにおける接線の傾きdy/dxを求めよという問題で　答えにx=eならばy=1となるのでと書いてあるのですがなぜy=1になるのですか。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

F

A.
x = ye^y …❶
1 = d(ye^y)/dx
= d(ye^y)/dy・dy/dx
= (e^y + ye^y)dy/dx
= e^y(1 + y)dy/dx
⇔ dy/dx = 1/(1 +y)e^(-y) (y ≠ -1) …❷
d^y/dx^2 = d/dx(dy/dx)
= d/dy(dy/dx)・dy/dx
= ｛-1/(1 +y)^2e^(-y) + 1/(1 +y)e^(-y)｝・｛1/(1 + y)e^(-y)｝
= ｛-1/(y + 1) + 1｝｛1/(1 + y)e^(-y)｝^2
= y/(y + 1) ｛1/(1 + y)e^(-y)｝^2 …❸

　導関数❷から、
　　lim(y→+(-1) : x) = +∞ ⇒ yは単調減少する
　　lim(y→-(-1) : x) = -∞ ⇒ yは単調増加する

　導関数❸から、
　　y < -1 ⇒ ❸は増加関数で、❷（❶の傾き）は大きくなる
　　-1 < y < 0 ⇒ ❸は減少関数で、❷（❶の傾き）は小さくなる
　　y = 0 ⇒ ❸は0なので、❶は変曲点(0,0)を迎える
　　0 < y ⇒ ❸は増加関数なので、❷（❶の傾き）は大きくなる

　このことから、関数❶はx > 0において、xとyの解が1対1で対応する。

　ここで、❶に x = e を代入すると、

　e = ye^y より

　これを満足するyは1のみ存在する（数値を代入して解を探しています）。

　よって、❷へy=1を代入して、

　dy/dx = 1/(1 + 1)e^(-1)
= 1/(2e)

Fin.