Question

Terpene

ψ(x,y)=1/2ln(x^2+y^2)(x^2+y^2≠0), w(x,y)=∂^aψ/∂x^2+∂^2/dy^2とするときw(1,2)を求めよという問題なのですがψの偏微分が良く分かりません。答えとともに教えていただけるとありがたいです。
ちなみに答えは0になるようです

Answer 1

F

A.
ψ(x,y) = 1/2ln(x^2 + y^2) …❶
w(x,y) = ∂^2ψ/∂x^2 + ∂^2ψ/∂y^2 …❷

　答えが合わないのでどこかにミスがありますが、ご参考下さい。

❶について、

　x^2 + y^2 = t
　ψ(x,y) = 1/2lnt
　∂ψ/∂t = 1/2t
　∂t/∂x = 2x
∂t/∂y = 2y
　∂ψ/∂x = ∂ψ/∂t・∂t/∂x = 1/2t・2x = x/(x^2 + y^2)
∂^2ψ/∂x^2 = (1/2t・2x)' = -x/t^2 + 1/t
　　　　　　　　　　　　= (x^2 + y^2 - x)/(x^2 + y^2)^2 …❸
　∂ψ/∂y = ∂ψ/∂t・∂t/∂y = y/(x^2 + y^2)
　∂^2ψ/∂y^2 = (1/2t・2y)' = -y/t^2 + 1/t
　　　　　　　　　　　　= (x^2 + y^2 - y)/(x^2 + y^2)^2 …❹

❸,❹、❷へ代入して、

　w(x,y) = ｛(x^2 + y^2 - x) + (x^2 + y^2 - y)｝/(x^2 + y^2)^2
= ｛2(x^2 + y^2) - x - y｝/(x^2 + y^2)^2

　よって、
　w(1,2) = (2(1^2 + 2^2) - 1 - 2)/(1^2 + 2^2)^2
= 7/25

Fin.

Answer 2

F

w(x,y)=∂^aψ/∂x^2+∂^2/dy^2
w(1,2)
のそれぞれに間違いはないでしょうか？