Question

ゆう

この複素積分の答えが-2πiなのですが、わかりません。
大学数学が得意な方がいらっしゃれば、教えて頂ければ幸いです。

補足
cは|z|=1です

dz
C (exp(z) — 1)²
(2) Sc

複素積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

結論としては単なる留数定理です。特異点はz=0です。
したがって被積分関数をローラン展開することを考える。
(1/e^z-1)のローラン展開をまず考える。
そしてその２乗を考える。
ローラン展開では一般項は全く不要。
最終的に1/zの項の係数(留数)が欲しいだけなので。
すると結論としては(-1)×(1/z)となり、留数-1
すると留数定理より2πi×(-1)=-2πi

ゆう

できました！！
ありがとうございます！!
大変助かりました。
出典は大阪大学院入試の過去問でした。

哲治

分子のz²を分母に入れ込むの上手いですね！！
僕はその変形を思いつかなかったからローラン展開してゴリゴリに計算しました。笑

ゆう

光栄です✨
教えて頂いたローラン展開から発展できました！
本当にありがとうございました！