Question

ぺち

8-3-1. 1階線形非同次常微分方程式
1階線形非同次常微分方程式
dy
+ f(x)y=g(x)
dx
は両辺にeff(x)dx をかけると解けることが知られている。 eff (x)dx を積分因子 (あるいは積分因数) という。
両辺にeff(x)dx をかけると
dy
eff(x)dx + eff(x)dx f(x)y = eff(x)dx g(x)
dx
d
d
d
dy
(ef f(x)dx y) = a (el f(x)dx) .y + ef f(x) dx
dx
(fƒ (x) dx). .y + eff(x)dx
dx
dy
= eff(x)dx f(x)y + eff(x)dx.
dx
なので
d
(eff(x)dx
g(x)
dx
両辺をxで積分して
eff(x)dxy = f eff(x)dx g(x)dx + C
両辺にe-∫f(x)dx をかけると
y=e-ff(x)dx Se eff(x)dx
これが一般解である。
例題 3 下記の微分方程式を解きなさい。
(1)y'+y=x
解答
dy
-+y=x
dx
両辺にexをかけると
dy
ex +exy = exx
dx
d
(exy) = exy + ex なので,
dx
(exy) = exx
dx
両辺をxで積分して
ey = Sexdx
exy=
=exx-
r-fex
ex dx (部分積分)
= exx - ex + C
両辺をexで割って
y=x-1+ Ce-x
=Ce-x+x-1
(y) = = eff(x)dx
g(x)dx + Ce-ff(x)dx
dy
dx
8 微分方程式とその応用1
?
8 微分方程式とその応用1

Answer 1

哲治

何がわからないのですか？
書いてることそのままですけれど？
積分因子をかけてからの一連の流れはやり方を覚えるだけです。