Question

うれしょんのみじろう

間違ってるところと方針を教えてください🙇‍♂️
特にBの部分が知りたいです。

問題 2.a€Qを定数として, ga(X,Y) =D X3 - (a+1)X? + aX - Y2 E Q[X,Y] とおく. この
とき,以下の問いに答えよ.
(A) Q上のアフィン3次曲線 E。:=V%(ga)/Qを考える。
(1)(z,0) e Ea(C) となるようなECを全て求めよ。
(2) E。(C)(= Vc(9a)) が特異点を持つようなaeQの値を全て求めよ.また, そのときの
E。(C) の特異点を全て求めよ。
(3) aが(A)(2) で求めた値のうち最大のものであるとき, E。(Q)の点を全て求めよ.
(B) ga(X, Y) を斉次化した3次式を G。(X,Y,Z) e Q[X, Y, Z]3 とおき, Q上の射影 3次曲線
E。:= V(Fa)/Qを考える。
(1) Ga(X, Y, Z) を求めよ。
(2) a=0として射影3次曲線 Eについて考える. 条件
(2:p:1) = (q:1:r) = (1:s:t)e Eo(C)
を満たす複素数の5つ組 (p,g,r,s,t) e C5 を全て求めよ。
(3) E。(C) n Vc(Z) の点 (すなわち, E。(C)z40 から見た無限遠点)を全て求め, 特異点か
どうかを判定せよ。

面解答.
{-0aとき 4=
(3)最大のaは1で
2=1のとき。
特景点は(10)
Ja(x-Y)= X- (at()x+aX-や
ga(xY) = x3-2x"+x-73.
Eal&)原理等数
3- 2a-2+a=O
(A)Ea:=
V.(ga/Q
1Q=1
~&のとき、
(1) (2.0)eEa(C)
CeC.
x3-2xtx-Y°no
a(X、o) = xパー (at1) 2+ax
3a-2(a+1)a+a=0
3a2-2a-2a+Q=0
Q^-a=0
{x41-(0-0}to)
を満たす(メ、Y)eQ .
ミ
= X(文-1)(X- a)
aca-1)=0.
Yx(X-1)
X=だ (大e区)
よって=0.1.Q、
a26、1.
(1-a)= (oc0)
(2) Ea(e) が特果点をもつ。
ka(x.Y) - 3x°-2(At1 )X +a.
(x-Y) = (だ,大(ポー))
ra X.Y)"--2Y
よって Q=0-1
13x2- 2(atlニ×4a=0
よがり特果点は
- 2と:0
(o.0)C1.0)
ミのをき Y=0 Tなわ与、
(Xと)= (文0)であり
(より x = 0.1,Qのいずれか。

(B) fa(x.r)→ Galxf、送)e QIxて、足3
存女化 3次式
8-81-r=o
-0
Eaこ V.(Fa/a
23
ト=
(8キi). 8=α となく
(1) Ga(X.Y.2)=
2でれ合)
(-大-『大 =0
(at1)
+ a
2
ニ
| - (は)大=0
X- (a+1)x2+ aX2- どz
大-(Sti) =fとおく
_1
「+S2
こ
0)
(P-8.1.3.大)
(2) Q-0
C。(x.Y.2) = と- Xマ-ドマ.
(= 0 に(i) cer
を番次方程式下=0 で
定義されたく上の帰影の収時集
3
(土2,X,
1t x-
/ 1十8-
コ
(x.@e e)(tただし αきi,@キi)
10-0
(3)E。(e) 0 ez)
3
E。 => G。= ○ x-x2-Yタ=o.
(2:アミ1) → 8-4-p=チーp-0 (P-エ2)
(8:1:- ) 今 -r-r
(1:8こ大) → 1 - 大-S大 =0
(P.8、r.8.大)e Eolc)
こ6

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

(A)ちょっとしたミス：t∊Q ですよね

(B)(2)
p=±2まではいいと思います。
問題文で(2:p:1)=(q:1:r)=(1:s:t)となっていますので、
(2:±2:1)=(±1:1:±1/2)=(1:±1:1/2)だと思います。

(3)gを斉次化したGの零点(α:β:γ)は斉次方程式(射影空間)だから適当に定数倍して
(α:β:γ)=(α/γ:β/γ:1)
とすれば、gの零点(α/γ,β/γ)になる。
よってgの零点はGの零点に"含まれる"が逆は成り立たない。
Gの(α,β,0)の形の零点は
(α:β:0)=(α/0:β/0:1)?
となって対応するgの零点は(α/0,β/0)?=(∞,∞)??
で対応するgの零点は存在しないが、無限遠にあるとかいう。
これはEaの無限遠点に対応する。

Ea~∩V~(Z)
はGaの零点かつZ(多項式Z)の零点
つまり(α:β:0)型のGaの零点ということで上述のgaの無限遠の零点を求めて特異か判定せよ、ってこと。
代入すれば簡単な計算で
(0:1:0)で特異点ではないことがわかる。

代数幾何 射影完備化

うれしょんのみじろう

やっと理解できました！ありがとうございます😭🙇‍♂️