Question

yinyue

(1)をやってみたんですけど、解答・解説の前半部分を書いてませんでした。というか思いつきませんでした。この部分って絶対必要ですか？あと、自分の解答だと✖︎でしょうか？

16
2
★★☆
x, y, zを自然数とし, p=x°+y? +z とする。 このとき, 次の(1), (2)を証明
せよ。
(1) x, y, zがいずれも3の倍数でないならば, pは3の倍数である。
(2) x, y, 2, pがすべて素数ならば, x, y, zのうち少なくとも1つは3である。
く大阪府 大阪市〉

|2,(1)スミ3at1し 34+1,2:3C+1 (a.d.C円整数)とすると,
P:X+ダ+2こ(3a+)+(3んさ)+(3C+)
=3(30+20+3ム+2ん+3c+2C+)
3a'+20+3び2んt3ど+2C+1は整数なので
3(30+2a+3んナんけ3C+2(+1)は3の倍数
よって,次畑、足がいずれもの数でないならは, Pは初危数である
1

習問題 解答·解
AS0
解説
99 =
2
(1) nを3の倍数でない自然数とすると, k
9910
を整数として
n=3k±1
と表すことができ, このとき
n?= 9k?±6k +1
=3(3k°+2k)+1
となるので, n' を3で割ったときの余り
は1である。よって,
(Aは整
x, y, zがいずれも3の倍数でないなら
ば,x°, y°, 2?をそれぞれ3で割ったとき
の余りはすべて1である。
したがって、
責だか
は6の
4
n月
= 3a+1,y°= 36+1,z?= 3c+1
(a, b, cは0以上の整数)と表されるので,
して
につ
p=x°+y? +z? =3(a+b+c+1)
であり,ここでa+b+c+1は整数なの
で, pは3の倍数であることがいえる。
だか
(2) 背理法を用いる。
(証明終わり)

数学 教員採用試験 数と式 証明

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

まる

飛電或人さんの解答だと、x,y,zは3で割り切れない整数ではなく3で割ったら1余る整数になってしまい、2とか5とかいう3で割ったら2余る数のことが考えられていないので不十分になってしまいます。

ただ、3で割って1余る数、3で割って2余る数を両方考えてゴリ押しすると場合分けが8通りにもなってしまい大変なので、解答の考え方が一番スマートです。

「3で割りきれない数の2乗を3で割ると必ず1余る」っていうのはいろいろ使うことがあるので覚えておくと便利ですよ！

yinyue

丁寧な説明ありがとうございます😭
覚えておきます！