Question

a.

(1)でなぜ2つの部分に分けて考える必要があるのでしょうか。

例題3 一 4 (広義積分③ : 収束・発散の判定)
次の広義積分の収束・発散を調べよ。

1                    31 。
⑪ ォ* gy       ② ) 7 9

  

    
 

 広半分は李限に関する内容であるから, 当然収束・ 散の問題識
じる。 草間 ee

 

比較が基本である。                 32 の
(禁殆】 (1) HimのツーHimた @ "=Hm 壇=imテ=0

まで, 土分大きなヶに対して, zo"く<1 すなわち,eく計

そこで, ァ>c のぬき “<王 であるとする。

5
が< ーーテニ が。 2ァ十 の"2 を2つの部分に分けて考える。

第 1 項は普通の定積分で明らかに収束である。第 2 項が収未すること を示す。
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よって, 広義積分 | "gz uc eo

Answer 1

Crystal Clear

グラフを描けばわかるが、収束or発散で問題になっているのはe^(-x^2)の"右端"での振る舞いで、x>cの部分の面積が収束すればいい。
xが0付近の面積は有限になることはグラフから明らかなので示す必要はないが、x=0付近でも1/x^2での評価を行のはまずい。∫[0→c]1/x^2dx が発散してしまう。
1/x^2のグラフはx→∞では面積が収束するくらい速くx軸に漸近する一方で、x→+0では面積が発散するくらい遅くy軸に漸近する。
(参考)1/xのグラフはx→∞でもx→0でも面積が発散するくらい遅く漸近し、収束発散のボーダーとなっている。