ページ1:

斷 PROJECT NOTES
*單利與複利
一.名詞介紹:
健 DATE
A MEMBER
麵 PLACE
1. 本金:原來存入(或貸出)的錢數。
2. 利息:向金融機構存錢(或告貸),於固定期間,領取(或付給)
額外的報酬。
3.
本利和:本金+利息。
4.
期數:計算利息期間的次數。
5. 利率:在一期間內,利息和本金的比值。
(1)年利率:每一年為一期。年利一分=10%
(2) 月利率:每月為一期。
月利一分=1%
(3)
季利率:每三個月為一期。
二、單利:
1. 定義:不論多少期,每期皆以原來的本金計算利息。
2.推導公式:
例:小明月初將10000元存入銀行,約定月利率3%,每月單利一次,
求3個月後小明可得多少錢?
8
。
10
11
13
→ 10300
Sol.
第1個月
一個月後
1個月後
第2個月
第3個月
1個月後
本金
↓
本利和
↓
↓
本利和
本利和
↓
↓
ō
10000
10600
↓
10900
=
利息
利息
利息
= 10000×3%
=10000×3%
= 300
小明可拿
= 300
10900元#
=10000×3%
= 300
key:單利時,每期錢數成等差數列!
公式:設本金為P
利率為r
期數為n
利息為I
本利和為 Sn
(1)本利和=本金+几個利息
=本金+(本金×利率)xn
= P+(Prn)=P(1+nr)
(2)n個利息= Phr
I
15
16
17
12
19
20
21
22
◎ MING-HUANG 20

ページ2:

M PROJECT NOTES
= DATE
#MEMBER
M PLACE
三、複利:
1.定義:當存款到期不領取本利和,將此做為下一期的本金。
2.推導公式:
例:小明年初將10000元存入銀行,約定年利率4%,每年複利一次,
求4年後小明 可得多少$?(整存整付)
Sol.
本金
↓
10000
1年後
↓
第1年
1年後
第2年
第3年
1年後
本利和
↓
本利和
本利和
↓
↓
利息
=10000×4%
10400
→ 10816
利息
利息
:400
=10400x40
= 416
↓
→11248.64
=10816x4%
=432.64
1年後
第4年
↓
本利和
↓
利息
11698.5856
·小明可拿11699元#
=11248.64x4% key:複利時,每期錢數成等比數列!
=449.9456
公式:設本金為P (1) Sn= (P+Pxr)+(P+Pxr)xr
利率為r
期數為n
利息為I
本利和為Sn
第1期
2
期
+[(P+Pxr)+(P+pxr)xr]xr
第
3
期
5
= px(1+r)n
(2)n個利息 = P(1+r)^-P=P[(1+r)^-1]
I
3. 若年利率為r,則月利率卡,季利率本
22
23
6
9
2
2
1327

ページ3:

讀 PROJECT NOTES
e
N DATE
M MEMBER
M PLACE
4. 每期固定存款問題:(零存整付)
例:小明從1月1日起,每個月的第一天存10000元於銀行,約定月
利率1%,每月複利一次,求小明4月30日可領回多少錢?
Sol.
本金 1個月後
↓
2月1日之
本利和
存10000
1個月後
元
3月1日之
本利和
↓
↓
↓
↓
↓
10000
利息
1月1日存
=10000×1%
10100
→20100
利息
→20301
=20100×1%
= 100
=201
4月1日之
存10000元
1個月後
本利和存10000元
4月30之
1個月後
本利和
↓
→30301
→30604.01
→40604.01
利息
↓
利息
→41010.0501
=30301x1%
=303.01
=40604.01x1% 小明可拿
=406.0401
41010元#
公式:若固定每期N元存入銀行,約定每期複利利率為r,則n期後共
可領N(1+r)^+N(1+r)^+++
+ ---- +N(1+r)²+N(1+r)
=
:N-
(1+r)[(1+r)^-1]
(1+r)-1
ex: 某人計劃每個月月初存入銀行3000元,以月利率0.3%複利計息,則
3年後可領回多少錢?
[3000(1+0.3%)+3000)x(1+0.3%)
Sol. 本金=3000
利率 = 0.3%
=
:3000(1+0.3%)36+
2+3000(1+0.3%)35+
2+....+3000(1+0.3%)
期數:36
=3000[(1+0.3%)36+(1+0.3%)35+...+(1+0.3%)]
=3000x
-106
=3000x
(1+0.3%)[(1+0.3%)36-1]
(1+0.3%)-1
1.00337-1.003
2003,
可領回114209元#
3
≈114209.2473
22
© MING-HUANG N-

ページ4:

四題型演練:
鐵 DATE
回 MEMBER
讀 PLACE
ex1. 某廠商向甲、乙兩銀行各借得50萬元,借期一年,已知甲銀行年
利率12.5%,以單利計算;乙銀行年利率12%,每月複利一次。
(1) 求一年到期後,該廠商應分別償還給甲、乙兩銀行的本利和為多少?
(2)哪一家銀行的借款對廠商較有利?
Sol. (1)甲銀行:50×(1+12.5%)=56.25萬元#
月利率:1%,乙銀行:50×(1+1%)12≈563413元
(2)甲銀行#
#
滿固
8
ex2. 設本金10000元,年利率8%,每半年複利一次,求3年後的本利和。
Sol.
本金:10000
半年利率=80=4%
期數:30=6
10000×(1+4%)6
≈12653(元) #
ex3 某人於每年年初存入銀行10000元,年利率1分,以複利計算,則
第10年年終共可得本利和多少?
10000(1+10%)+10000(1+10%)9+.
Sol.
本金:10000
年利率:10%
一
期數: 10
= 10000x
(1+10%)[(1+10%)1-1]
2
10000(1+10%)1
105
(1+10%)-+
≈175312(元) #
22
223
LI
1-
D-
2
3
5
MITATIONING w

ページ5:

DATE
話 MEMBER
回 PLACE
ex4. [91學測]某甲自89年7月起,每月1日均存入銀行1000元,以月利
率0.5%按月複利計息,到90年7月1日提出。某乙則於89年7月起
每單月(1月~3月、5月、....)1日均存入銀行2000元,亦以月利率0.5%
按月複利計息,到90年7月1日提出。一整年中,兩人都存入本金12000
元。提出時,甲得本利和A元,乙得本利和B元,問下列選項何者為
真?
-2
13
|7
-
11
12
13
14
Sol.
(A)B>A
(B)A=1000
000[
K=1
(1005)*] (D) A<12000 (1005) 12
(c) B = 2000 [ (1005) 2
K=1
12k
(E) B < 12000 (1005112
(B)TA= 1000 (1+0.5%)12+1000(1+0.5%)"+1000(1+0.5%)1+
(C)T
1000(1+0.5%)2+1000(1+0.5%)'
=
1000[(1.005)×7
-
+
B=2000(1+0.5%)12+2000(1+0.5%)10+-----+2000(1+0.5%)4+
2000 (1+0.5%)=2000[(1.005)5]
<key1>
12
(A)TA= 1000 [(1.005)*] B=1000[2.2(1005)*]
K=1
12
6
因此需比較 (1.005)K&2x2(1005)的大小即可
K=1
K=1
号(1005)-2x2(1005)
(1.005) * - 2 x Σ (1.005) ²K = = (1.005)¹² + (1.005)" - (1.005)'°+
-
2K
SE
K=1
K=1
(1.005)9+....(1.005)2+1.005 = [1005+(1005)+(1.005)5+...+(1005)"] =
-[(1.005)²+(1005)++----+(1005)²] =1.005+1.005[(1.005)2+(1005)...
+(1.005)8+(1.005)10]-[(1.005)2+(1005)++----+(1.005)10]-(1.005)2 < 0
∴B>A
<keyz>
20
2
OMING-HUANG --

ページ6:

W DATE
額 MEMBER
酒 PLACE
5
二
a
13
B= [1000(1.005)12+1000(1.005)12]+[1000(1005)10+1000(1.005)10]
+
+[1000(1.005)2+1000(1.005)2]
A= [1000(1.005)12+1000(1005)]+[1000(1.005)10+1000(1.005)9]+
----+ [1000(1.005)2+1000(1.005)']
∴B>A
(D)T key:一次全部存入複利計息之本利和>分次存入複利計息
(E) T
之本利和⇒整存整付>零存整付
ex5.小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業資金,其年利率為3%,
約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利
(每年複利一次)計息還款,但給小華創業優惠改以單利計息還
款。試問在此優惠下,小華在三年期滿還款時可以比一般複利
計息少繳多少元?
[104學測]
Sol.
單利:300万×(1+3×3%)=327万元
複利:300万×(1+3%)3=3278181元
所求:3278181-3270000=8181(元)#
ex6. 小明參加老人儲蓄存款專案,年利率為5%,每年複利一次。若小
明於每年年初均存入10000元,則第10年年底結算時的本利和為多少
Sol.
元?
10000(1+5%)10+10000(1+5%)+...+10000(1+5%)'
200000
= 10000;
x
(1+5%)[(1+5%)1-1]≈132068(元)#
(1+5%)-7
3

ページ7:

7
話 MEMBER
謝 PLACE
ex7. 小粱於民國100年初,在甲、乙、丙三家銀行各存入十萬元,於存滿
一年後分別提出。已知該年這三家銀行之月利率如下表,且全年12個
月皆依此利率按月以複利計息,存滿一年後,小粱在甲、乙、丙三家
銀行存款的本利和分別為a、b、c元,則下列選項哪些是正確的?
甲銀行 乙銀行丙銀行
1~4月
0.3%
0.3%
0.2%
5~8月
0.3%
0.4%
0.3%
19~12月
0.3%
0.2%
0.4%
(E)a>b=C
(A)a>b (B)a>c(c)b>C_(D)a=b=C
Sol.
12
甲銀行:100000(1+0.3%)≈103659.99
S
乙銀行: [100000(1+0.3%)+](1+0.4%)+(1+0.2%)4~103659.58
丙銀行: {[100000(1+0.2%)4](1+0.3%)4](1+0.4%)4=乙銀行
所求:(A)(B)(E)#
ex 8. 某乙向銀行辦理儲蓄存款,若年初存入10000元,以複利計息,
年底結算得本利和11000元。試問若每年年初均存入10000元,則第三
年年底結算得本利和多少元?
(Sol. 令利率r,期數九
10000(1+r)^= 11000
{[10000(1+r)"+10000](1+r)"+10000}(1+r)m
= 10000(1+r)3+10000(1+r)2n+10000(1+r)^
= 10000×1.13 + 10000×1.12+10000 x 1.1
=36410(元) #
11
96
8-
© MING-HUANG
5
6

ページ8:

M MEMBER
H PLACE
ex9. 某人年初將10萬元存入銀行,年利率2.4%,每3個月複利一次,
3年屆滿時可得利息多少元?
N
Sol.
-3
本金=100000
2.4%
100000(1+0.6%)12-100000
利率= : 0.6%
4
期數:3/2=12
5
=100000 [(1+0.6%)12-1]
~7442(元)#
6