ページ1:

Ex1. มันได้ไม่งั้นหนึ่งยาว 10 เมตร วางมดกำแพง ถ้าปลายบันไดเลื่อนลงด้วยอัตราเร็ว 2 เมตร ที่
จงหลังราวของบันไดด้านล่างที่เลื่อนออกจากภาพมาในขณะที่ปลาบันไดอยสูงจากพื้น 1 เมตร
x = ราย หากปลายมันได้ถึงการมง
- ระยะจากพื้นถึงปลายบันได
บันไดยาว 10 เมตร
y = 6
ว ทา
โจทย์มา dx, กำหนด dy = - 2 เมตร/นาที 1 = 5
411 ทบ.
dt
;
x+y = 10^
x = 100-36
* = 8
x+12=
= 10
2
d(x²+ y²) = d(10)
dt
dt
9xdx + 2dj = 0
d+t
dt
แทนค่ำ; 2 (8) dx + 2(6)(-2) = 0
dt
1bdx
dt
dx
2.2-
FIX
dt
=
51
24
= 24
16
dt
= 1.5 %
ดังนั้น อัตราเร็วของบันไดด้านส่วนที่เลื่อนออกจากกัน ยาว 1.5 เมตร

ページ2:

d
Ex. ท่อนไม้ท่อนหนึ่งมันนำตัวเป็นรูปวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 2 เซนตเมตร ต้องการเสียก่อนไม่ออก
คนที่มีหน้าตาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีด้านกว้าง 8 เซนต์เมตร และหนา 4 มม ใน 3 เป็นน้ำหน้า
สูงสุดที่ทานรับน้ำหนักได้ ถ้า 3 - kud เมื่อ K เป็นคราวหลังจะต้องเลื่อยให้ตามกามกว้างและหนาเท่าใ
จึงจะรับน้ำหน้า กวาด
a
W
S= kwd'
f(w) = kwd²
kw (a-w³)
f(w) -kaw-kw³
f'cm = ka²- skw'
f'cm = 0
ka²-3kw³=0
.
2
0 - 35 = 0
Q = 3N
2
2
a² = d² + W²
L
2
d = √a²-w
d =
NIM
a
20
a
-a
.
L
N = a
W =
3
N = a
13
2

ページ3:

fx af
ax
fys af
ay
fz=af
Az
=
fxy - 2, (27)
12
อ
fxx = 'f
fzyx = a³f
J
3
11
Ex. f(x,y,z)=x-x+x²
at
af
= (x-2x+xy²)
√x
= 2x4 -24 +42
xxx
ay
อ
อนุพันธ์ย่อย
xY
= (xy) a (exy ) + e^ ? +
ax
ax
+ye+by
= xxexy tyexx
= x× ² exx + 2ye *x + by
xy
= x²-2x+2x4
Ex. f(x, y, z) = xe sinz
ex
fyxz = a ( 2 (a (x²er sinz)))
123, azlaxlay
=
=
32(3x (xe' sinz))
= 2
az
ax
(2xe" sim2)
Y
2xe cos z
de"
dey
= e
U
dczy
= e
dy
2ey
COS Z
dsinv = cosu dy
dx
deos usin v du
e + by
Ex f(x,y) = ex+xy³
af
1734 27 fxxx
อ
17 af =2
ay ay
(exy
+ X
372
22
=exy 2 (xy) +3xx
ay
af = x*x +3x²
22
ม
JX
deanu = sec²y du
2
2> fxxx = (e*x+x7
12304
dx
- 2x (1√x (exx 2 (xy) + 3x +²))
ax
=2(3x(x*x*
ax
ด
+3x²y'))
=([xa (e*)
+exy
1 2 (x 1 ] + 6 × ×³)
ITXV
=
2x [xyexy + e*Y+6xy²)

ページ4:

{(x,y) = In(x+x+y); (-1,4)
ax
11
=
ax
x²+ xy+ y
(acx²+xy + y²)
**+*+ (2x+1+0)
2x+y
x+x+y
2
fx (-1,4)=2(-1)+4
=
2
(-1)²+(-1)(4)+(4)²
2
1-4416
**
2/10
13
y=2x³-3x²+4x-5
2 3
จงทา Y, Y, +
y' = dy_ d(2׳-3x²+4x-5)=6x+6x+4
dx dx
y" =dy' = d (6x²-6x+4)=12x-6
dx
dx
x = dy² = d (12x-6)
dx dx
= 12
y=dy"= d(12)
dx dx
y"
y' =
y = ✗
X-1
y"
Y'ady-(4)
=
dx dx x-1
==
(x-1)2
1
(x-1)dx-xdx-1)
Jx
(x-(x-1-x]
(x-172 = -(x-1)-2
y" =dy' = -(x-1)-2
dx
dx
= -1 (x-1)-2
dx
=-1(-2(x-1))) dex-1)
a
=2(x-1)-3
= .2
(x-1)
f(x,y) = 2x²+ 3x + y²
Tom fxx, fxy
fxx
= 2(2f
axax
24-2x+y)
ax
=
=
4x+3y
2x (34) = 2 (4x+3y)
= 4 *
2
f(x,y) = 2x² + 3xy+x² qom fxy
txy-3y (3)
=
3-3(x+x+4)
=
ax
4x+3y #
2 (3)-2(4x+3y)
3 #

ページ5:

-1-9
z= re+rcose -1 sine
22=
ar
2Y
sine
ericos sine)
= e² + 2rcos 6-(sine)
= e + 2rcos +1
+ esine
02-2
-sine
Cose
2 (Vetricose)-+sine))
Be SG
6
= re-r sine -+cos &
3 2
จิรพา Oz
ar
1
ar
14-=
ze
Be
Ex. f(x,y) = 4x³у²-4x+x+xy -8 2² + 2²+
e
24-(4)
=
=
x
3x3
2+3
1
*xe
- 2 (2 (421-4+21-8))
=2(121-16x+x1)
=
xe
2x²-48x2
2
2Y
1
0
10
kexe
3x
(×+ 15793)**=
= 24xy+1
Ex. fx cos(e)+ In (1+xy) m fx, ty
=
+x= 2 [cos (e***) + In (1+xy]]
--sin(e-*)(**) + + 3(x+x))
xe
= - since **) e-* 2 (+(x)
= ye*sin(e) + 1
-xy
Xx+1
fy-2 (cos (e) + In (1+xy)
=
M
=
he
L2
HXY
-sin (e-**) & (ex) + + 3y (1+xy)
he
-sin (e) e (-) + (x(x)
he
xexy sin (exy+✗
₤x|nu = +++
XP

ページ6:

บทที่ 3
อัตราสัมพัทธ์
การประยุกต์อนุพันธ์
Ex.1 บอลลูนลูกหนึ่งจะมีการขยายตัวเมื่อได้รับความร้อน ถ้ารักมันผสมเพิ่มขึ้นในอัตรา 2 นิ้ว 1นาที ตามว่าปริมาตรของบอลลูน
จะเพิ่มขึ้นเท่าไร เมื่อปอลลูนใส) 50 นิ้ว
A.
24กา
ขั้นที่ 1
ขั้นที่ 2
กาหนด
พื้นที่ 3
V = 4Tr *
3
" แทนรัก ของนอน ขณะเวลา + ใดๆ
" แทนปริมาตรของบอลลูน ขณะเวลา 4 ใดๆ
วันที่ 4 ทางนาน เรียบกับเหล่า
dv
=
dt d+ L 3
dv
4rdr
d+
ขั้นที่ 5 จากโจทย์ dr
แทนค่าใน
dt
ดังนั้น dy
d+
= 2
=
*
*
dt
4r²dr
d+
dv = 4 (50)³ (2)
dt
dv
dt
=
= ?, V = 50
20,000 ลบ. นิ้ว/นาที
Cor²) dr
3.
= 4׳dr
dt

ページ7:

Ex3. เราสังเกตการณ์เคลื่อนที่ตั้งอยู่ห่างจากฐานถึงจรวด 3 กิโลมา ตามมดิน จรวดลาหนึ่งถูกยิงขึ้นใน
แนวสั่ง ตามว่า ในขณะที่รายเทวา เรสท์ ทั้งจรวดข่าวกัน 5 กิโลเมry 18, 2012 กาลังเพิ่มขึ้นของรา
5,000 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ขณะนี้บรรดาเท่าไร
ng:
ว ทา
รวด
y = 4
ซั่นที่ 1
A
เรดาห
ทษจรวด
1
ขั้นที่ 2 ใน 1 แทนภาษาทางรากฐานจรวดตัวจรวด ขณะเวลา + ใด ๆ
2 แทนระยะทางจากเรา จรวด ของเวลา + ใดๆ
ชั้น 3 25
Z = Y +
วันที่ 4 ตอนุพันธ์ เทียบกับเวลา
dz d
dt
=
dt
Ab
a
c² = a+b²
C
0
MA
ezdz =
2ydy
d+
พื้นที่ 5 จากโจทย์ 25
แทนค่าใน
d+
J
dz = 5,000, dy = ?
dt
ดังนั้น2787 2481
d+
==
dt
dt
2(6) (5,000) = 2(4)
50,000
14
8 dy
d+
dt
:: dy
= $2.50
d4
ง ม จ า มจรวด ม ว
6,250
กิโลเมตร ชั่วโมง

ページ8:

V
h
Ex 2. เส้นผ่าศูนย์กลางและส่วนสูงของรูปทรงกระบอกกลม ณ เวลาหนึ่ง เป็น 10 นิ้ว 16, 20 นิ้ว ตามลำดับ ถ้าเส้นผ่าน
ศูนย์กลางเพิ่มขึ้นอัตรา 1 ต่อนาที ตามว่าในขณะเดียวกันส่วนถึงจะมีตราการเปลี่ยนแปลงเท่าใดจัดท่าให้
ประภา คงเต็ม
จนตอบที่ 1
ท
51
สา
8+
ชั้นที่ 2
" แทนรัศมีของทรง บอกเวลา + ใดๆ เส้นผ่านศูนย์กลาง = 2
" แทนปราบ ขณะ 11 +
ใดๆ
+ใดๆ
ขั้นที่ 3
v = Tr h
ชั้นที่ 4
มัน เทียบกับเวลา
d
dv = 1 [πrth]
2vdr
Jt
= π
hdr
+
d+
d+
dv
It
= πrdh + 2πh dv
d+
ส+
Jun 5 andlane er = 10, v=5, h = 20, dev = 1
dt
dr = // dh = ?, dv-0
dt
แทนต่ำใน
ตัวนั้น dy =
Ardh2rhdr
d4
d+
dt
0 = π(5) dh + (6) £201 (4)
0 = 25 1 dy
25πdh
d+
d4
+ 100 L
d+
= -100πL
dh
= -100
At
25 7
dh
= -4 กิ๊ป นาที
dt
นั้น คือส่วนสูงจะลดลงด้วยอัตรา 4 นิ้ว ในที

ページ9:

Ex 1. In f(x,y 7= 4x4 -3x²+xx+54-8
ทา จะได้ว่า
12x3
outdo
=
ax
4y-12x+y
J
[
อy ay[
12 12x1+x+5
Ex 2. In f(x, y, z) = x²+ y²+ exz² remouwu
x+1
daxy
dx
4y3dx
2
4y3
14x4 4x4
dy
=
=
dy
2
12x y²
ล คน
ท่า จงได้ of 2
3 24
11
2x2
+
ax
X+1 A
2
(x+1) 2 (y²+ y²)-(x + y) (x+1)
Əx
(x+1)²
S
(x+1)(2׳)-(xy²+ y²) + 2Z"
(x+1)²
Mach
ax
112
3
2. 3
2
-
29
(X+972
byx
21
+
+
2x2
1117 af
ay ay
2 2
= 3x1
X+1
x+1
+ 2y >
at a
23
22
x+1
[]
+
2XZ
2
= 10 XZ
#
+2Z
S
3y²

ページ10:

Ex 4 ในหมู่บ้านจัดสรรแห่งหนึ่ง หลังที่น่ารูปกราชการส่ว เมะ เส 2 เมตร ถ้าปล่อยน้ำใน3000
สายตรา 1 ลบ. บาท ตามว่า ระดับน้ำจะลดลงเราเท่าใดมือระดับน้ำในแท้งค์สูง ม
วิธีทำ
dv
J4
ขั้นที่ 1
E
n
He
1
ห
+
hir = b: 2
h
4A
11
67
b
2
→→ h = 3 r
h
3
= r
..r - h
3
ตา
วันที่ 2 กำหนดให้ 6 แทนรักของกรอกลม 1207 +
1 แทนส่วนสูงของรายกลม ขนาด 4 ใดๆ
+ใดๆ
Vz
วันที่ 3 สาวสม ; V =
- Th
z = r² h²
Y
V=
(h
·: V = 1 Th’
27
วันที่ 4 ธนพันธ์ เทียบกับเวลา
dv
=
d
d+ _ _ _ d+
dv
=3
S+ 9
*
Th*
dh
d +
ขั้นที่ 5 จากโจทย์ dv = 1, dh = 2, 1 - 3
J+
แทนค่าใบ -*
ดังนั้น dy
d+
4+
dt
1 = 176872h
*
dh. 1
dt π
dt
>sh²dh
นั้นคือ ระดับน่าจะลดควาย 1 เมตร
AF
=1÷
dt

ページ11:

sex. modo
f(x,y) = e* sin(2x)
Bilet 2.2 [e! sin ex]
[exy
ay
★Ex. Amondoco
วงท่า จะได้ว่า
a
ax
=
exy
xy²
12 sinex + sin 2x 2e x42
ax
ax
=2e cos 2x + sin 2x e***y 2
13
exy
[2005 (2x) + y *sin(2x)] *
= ['sin 2x] x
= sin (2x)e
2
xy?
2xY
2xye*** sin (2x) *
1
2
อนุพันธ์ย่อยงันดับสูง
2
dsin - cosudy
ax
V
de
dx
ze du
dx
f(x,y) = 4×1 -3x + 4 +54-8
= 2
2x ax
JX
12XY 2
4X42
=24×4-36x
=
by 24 (2)
ay
12X, +N
36x
2
3/2
8x34
334 [4x² +x+5]
24
=8x
= 2
axay xay
= 2
ax
52 4
[5]
24
+
2
13
24XY+1
3)
= 2
ay
ax
147Y
2
= 24×7 +1
×

ページ12:

32
x. In f(x, y, z, w) = xyz³N² um fyzzw
√ex 2.
Idriz ritään fy a
2
13
x
3
[****]
Z W
533 2
fyz
ax
5.3
[×4]
5322
= 12x y z N
fyzz z
[12x'y "z^w²]
ZN
=24x2N²
1
2
fyzzN 2 (24x'y' zw]
2N
5 3
ZN
= 48X Y ZW #
Ex 3. f(x,y) =xe**
af
11
XY
2
ax
e
ax
+
ax
de
X
ze dv
AMY N
ax
dx
242x
ay 2
1
= 2 × 2x + exy]
F
L
ax-
28
ว
+ ye
ay lax
ว
อง L
av
Xye **
2 (af)
ว
=
xsexy
4
Yexy
exy
te
+ Xe
+
ay
Xexy
axexy
ay
=
Jexy
ax =
ล
= xxxx(xy)
ay

ページ13:

N
ex
* (x²e**)
=
xy
ax
te
ax
Xyexy
+ 2xe *Y
Jochumslü
2
2
อนมัม d โดย n
Ex₁. x + y²+z² = 1
den 2 of (x,y) Toeulent am 22,
โดยปริยาย
- 10 . ราม
ท่า 10 22 มีจารณาเอน มันเยอะจากสมการ ทั้งเอวข้าว, X
ax
2x [**+*+*] = 21
ax
+2
2x+2022 20
ax
ax
22
ex ay
2ZJZ
= -2x
ax
...
22
=
-2x
ax
=
XIN
*
92
221
Jensen may subejowitwy
2
ay
24 +27 22
ay
Y
=
21
รร
วง
= 0
9282
= -2Y
ay
EY
82
ay
&

ページ14:

2 $
M
In xwe = 4- sin yz 272
MX
max
M.X
e
xe
de" cdv
xe
Jx
wz f(x, y, z)
2 [׳w³²-c³] = 2 × [ 4-sinyz]
ax
2
XON
xe
3
+
W
xe
= 0
xe
Me
M
22
BXN-e
+
xe
***
M
xe
Me 2-
xe
82
ze exe
OMC Me Me with sugge
ay
Me
xe
3
-2xN³
2x = -2x
-2xN
2 2
3
3X e
viny
e
W
+ (x³-e" ] = 2, [4-siny z]
ay
2 2
3X2 22
he
W
- 2N-Zcosy z
ke
d sinu z cosudu
dx
=
asiny z
11
ay
COSY2242
Jy
22COSYZ
= -2COS Y Z
-zcosy z
2-MXE
he
2
Ne
ww #
IN Arianow Hubdernier & Wiserin
27
22
ew) = 2 ( 4 -sin yz
ze
M
3x²№ 2 - Can = -y cosy z
25
az
(3)
z - Yeas y z
2
37
ze
Ne
=
-ycosyz
3x²²-w
W