Naoさん。丁寧な回答で、大変よくわかりました！最後の部分忘れてました。気をつけます！ありがとうございました！！

なおきさん。そもそもの条件が違うから、解けないのですね。わかりました。有難うございます！！

2番の問題をあなたがやろうとした解法で進めると、x,y,s,tが混ざった式が出ますね。これは、あなたが考えている通り、1番の問題を一般化した時の、軌跡の方程式(円)-(式1)-だとは思います。

ここから2番の答えに近付きたいのであれば、点Rが線分PQ上に存在するということを利用して、直線PQの方程式-(式2)-をまず求め、式2をtについて整理して式1に代入すれば、tは理論上は消去出来ます。ただ、僕はある程度計算しましたが、あまりにも煩雑で中断しました。
2番の場合だと、一般化された円の方程式を求めてから線分PQとの交点に絞るよりも、初めから点Rが線分PQ上にあることを利用していく方が断然楽だということです。

さて、あなたが求めている"判断材料"ですが、以下のように捉えてみて下さい。
上の方が仰るように、1番は距離の比の問題で、2番は内分点の問題ですね。便宜上、1番で出てきたA(0,0)とB(3,0)で説明しますと、点Aと点Bからの距離の比が一定の点は、1番で求めた通り、円の軌跡になります。一方、線分ABの内分点は、何対何に内分するかが決まっていれば、唯1つに決まりますよね？
このように、距離の比という条件よりも、内分点という条件の方が、条件を満たす動点の"制約力"が強い(動点が動ける範囲がより狭くなる)と言えます。
「その"制約力"の強さを生かす解法を考えた方が、楽に解ける」というのは、2番を1番のやり方で解こうとするよりも、内分点の公式を使って立式する方が呆気なく片付けられることからも、実感できるはずです。
従って、どういう解法が最適なのかは、「問題文で与えられた条件(="制約力")をいかに上手に活用できるか」である程度推測可能だと思います。

あと1点だけ、質問内容外ですが、2番の解答を読んでいて僕が気になった箇所を指摘致します。
「tが全ての実数であるからx,yも全ての実数をとる」と解答に書かないと、減点されるはずですので^^;、注意して頂きたいです。

大変長文になり、失礼しましたm(__)m。

そもそも、2を1の解き方で解くことはできないと思いますよ。
1は、『距離の比』が条件なのに対して、2は、『内分点』が条件だからです。
だから、それぞれ立式の仕方が異なるわけです‼♪

わかりにくかったら、ごめんなさい…。