【数列】共通テスト対策

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.12.17 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数学Ⅱ・数学B |第3問~第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。
第3問 (選択問題) (配点 20 )
初項が3, 公比が4の等比数列の初項から第n項までの和を S” とする。 ま
た,数列{T} は,初項が-1であり,{T}の階差数列が数列{S}であるような
数列とする。
(1) S2= アイ T2 =
=
ウ である。
(2){S}と{T} の一般項は,それぞれ
|オ
カ
Sn
=
エ
ク
コ
キ
- n
Tn
=
ケ
サ
である。 ただし, オ と ク |については,当てはまるものを,次の
⑩~④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
n. -1 ①n
②n+1
③ n +2 ④ n +3
(数学Ⅱ・数学B第3問は次ページに続く。)

ページ2:

(3)数列{a} は,初項が-3であり,漸化式
nan+1=4(n+1)an +8T
(n=1,2,3,･･･)
を満たすとする。 {a} の一般項を求めよう。
an+2Tn
そのために, bn
=
により定められる数列{bn} を考える。 {bm}の
n
初項はシスである。
{T} は漸化式
Tn+1= セ Tn + ソ
n+
タ
(n=1,2,3,…)
を満たすから, {b} は漸化式
bn+1= チ bn+ ツ
(n=1,2,3,･･･)
を満たすことがわかる。 よって, {b,} の一般項は
bn
=
テト
チ
ナ
-
である。 ただし, ナ については,当てはまるものを,次の①~④のうち
から一つ選べ。
◎n-1 ①
n
② n +1 ③n +2 ④n +3
したがって, {T}, {b} の一般項から{az}の一般項を求めると
ナ
ヌ
ネ
n+
チ
+
an
ヒ
である。

ページ3:

自学
~ 数列~
確認 初項3/公比4の等比数列の和 S.
n
○ 数列{T}: 初項-1 / 階差数列{ S„ }
n
(1)S, = 3 +3×4=15
▷T2 =T, + S, =(-1)+3= 2
3·(4"-1)
(2) ► S
=
=
4"-1
n
4-1
▷n≧2 のとき、 階差数列の公式により
n-1
T = T₁+S = −1+
n
k=1
4.(4"-' -1)
4"
4
-(n-1)
=
n
4-1
3
3
※n=1でも成り立つ

ページ4:

(3) つづき
▷ bの定義より
b. =
'n+1
+27
n+1
n+1
n+1
② : T., = 4T+3n+3を代入して
n+1
=
n
an+1+2(47 +3n+3)
An+1
+
=
n+1
n
n+1
8T
n
n+1
+6
aの定義より
④ ③に代入して
b,
=
n+1
よって
ただの式変形
An+1
=
4a
8T
n
n
+
n+1 n
=
=
n(n+1)
4a, 8T
n
+
8T
n
n
+
+6
n n(n+1) n+1
4(n+1)a +8T +8nT
n
n
n(n+1)
4(n+1)a„ +8(n+1)T„
n(n+1)
n
+6
+6
= 4.
an +27
n
+6
n+1
= 4bn
=
n
+6
b.

ページ5:

: a₁
(3)確認数列{a}: a = -3/nan+1=4(n+1)a,+ 8T
▷ b₂
n
=
a
n
b₁
=
+2T
n
(b
a₁ + 2T₁
n+1
=
a +27
'n+1
n+1
n+1
①)
-3+2x(-1)
=
n
1
4"+1
1
4"
➡ T = 41 - (n+1)-4 = 4 (4 / -n- +3+3
T
n+1
=
3
4T+3n+3
n
3
3
5
4.
3
T
n

ページ6:

(3) さらにつづき
▷b1+1=46 +6 特殊解型の漸化式
n
α = 4α + 6よりα = -2だから b.
bm+1 + 2 = 4(b +2)
b + 2 = c とおくと
n
n
n
Cn+1=4cm/c, = b, + 2 = -3
数列{c}は、初項-3、公比4の等比数列だから
n
Cn =-3.4"-1
元に戻して
すなわち
b +2 = -3.4"-1
n
b=-3.4"-1-2
n
▷ b
n
=
a
n
+2Tn
より
an=nbm-2Tm
n
これにb,とT,を代入すると=m(-3.4" '-2)-2(
.4"
n
-n
3
3
-9n・4"-1-6n-2・4・4"-1 + 6n + 8
-(9n+8)4"-1 +8
3
3