【複素数平面】共通テスト対策

205

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.12.04 公開

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ノートテキスト

ページ1:

数II, 数学 B. 数学 C
第 7 問
iは虚数単位とする。
α = 2 + iとすると
|a|=√【ア】
である。
0を原点とする複素数平面上で, αが表す点をAとし, Aを中心
√√5
とする半径 の円をCとする。 複素数 z が表す点をPとし,Pが
2
円C上を動くとき
|z-α|= 【イ】
が成り立つ。
イ】の解答群
16
5|15|2
√5
①
5-4
⑤√5
② 5
54
(数学 II, 数学 B, 数学 C 第7問は次ページに続く。)

ページ2:

【ウ】【エ】
I
このとき, | z|の最大値は
であり,∠AOP の大きさの最
【オ】
大値は 【カ】である。
【カ】の解答群
πT
①
12
πT
④
⑤
3
-83-8
π
π
②
⑥
65122
|4
π
円Cを,原点Oを中心として (0≦)だけ回転させた円を
C'とする。 二つの円C, C' が外接するとき,円 C' の中心を表す複素
数は
【キ】-【ク】 【コ】+【サ】【シ】
【ス】
【ケ】
+
i
である。

ページ3:

自学
◎a = 2+i とすると, 複素数αの絶対値は
a = √22 +12
=
√5
α=2+1i
◎ P(z)が円C上を動くとき, 点 z 全体の集合は点A(a)を中心
√√√5
とする半径 の円だから|z-α|=
2
2
|z-α| =r
このとき|z|の最大値は点P(z)が直線 OAと円 C の交点のうち原点から
遠い方、つまり3点 O, A,Pが一直線上にあるときだから
z | = OA + AP =
√5+
√√√5
3
15
=
2 2
P(z)
A
0

ページ4:

自学
∠AOP の大きさが最大となるのは
直線 OP が円Cと接するとき。
ここで直角三角形 OAP で,
OA = √5,AP= (円の半径)
√√√5
2
より
OA:AP= v5. V5
√5 =2:1
2
よって, △OAPは1:2:√3 の直角三角形だから
πT
∠AOP=30°
=
6
P(z)

ページ5:

自学
◎ 二つの円C, C' が外接するときをお絵描きしてみると
A'
C'
A
60°
C
√5
5
OA=√5, OA'=√5,AA' =
√5
2
2
兀
でOAAは正三角形だから0=60°=1
°
3
よって、円C'の中心を表す複素数は,αを原点を中心としていただけ
回転した点だから
π
a'
=
(cos + i sin ) x a
3
13
= 1/2+1/2×(2+1)
1
·i)x(2+i)
= 1 + − i + √3i+
-i²
13
=1+2
2
+
i 答
2
2
2-√3 1+2√3