ページ3:

X = ช
function-
3.
O O
ช
ช ห้ามหลายใจ
5
5. ฟังก์ชัน
ช จับคู่กับญ ได้แค่ 1 ตัว
9
f = {(1, 4), ( 2 9 5 ) q ( 3, 5 1}; Dr=\in
L F เป็น function /
f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นความสัมพันธ์ ซึ่งมีเงื่อนไขว่า ถ้า (x, y,) € f และ (x, y,) Ef
แล้ว y1 = Y2
© 6
X
5 No function
f= {1-2,619 (-3
ane 5), (-2,4))
same
No
ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใดๆ เหมือนกัน
แล้วสมาชิกตัวหลังต้องเหมือนกันด้วย
จึงจะถือว่าเป็น “ฟังก์ชัน”
95)}; Dr=ไม่ซ้ำ
D, ไม่ซ้ำกัน : function
Dr of Rr magos = function
.
ตัวอย่าง จงทำเครื่องหมาย หน้าข้อที่เป็นฟังก์ชัน และทำเครื่องหมาย * หน้าข้อที่ไม่เป็นฟังก์ชัน
วิธีสังเกตกราฟ
ปี ลากเส้นตรงแนวตั้ง
ขนานแกน Y
0 นา
นับจุดตัด
- จุดตัด 1 = function
เล
✗ 1) f₁ = { (-2,6), (-3,5), (-2,4) }
✓ 2) f₂ = { (3,7), (-3,7), (4,7), (-4,7) }
______ 3) f, = { (1,1), (2,2), (3,3) }
.y
✓ 4)
- จุดตัด 1 = No function
6. การแทนค่าฟังก์ชัน
+x
X_ 5)
6)
โยง
ไม่นับ
X
ตัดจุดเดียว = function
1) ถ้าโจทย์กำหนด f(x) มาให้ แล้วต้องการหา f ของตัวเลขหรือพหุนาม ให้แทนค่าที่ x ได้เลย
ตัวอย่าง กำหนด f(x) = 2x + 3 จงหา
1. f(2) = 2 ( 2 ) + 3
= 7
ตอบ
f (2) = 7
7
2. f(x+3) : 2( x + 3) + 3
:
2x + 6 + 3
=
2x + 9
ตอบ fx = 2x +9

ページ4:

2) ถ้าโจทย์กำหนด f ของพหุนาม แล้วต้องการหา f(x) หรือ f ของตัวเลข หรือ f ของพหุนาม
ตัวอย่าง กำหนด f(x + 3) = 4x +5 จงหา
1. f(x)
จาก f( x + 3 ) = 4x + 5
ให้
x + 3
= A
x
= A - 3
F(A)
แทน A =x
3. f(x + 5)
จาก
f(x)
= 4 (A-3)+5
: 4A-12+5
= 4A-7
= 4x-7
ตอบ fix = 4x-7
f(x) = 4x - 7
f(x+5) 4(x+5)-7
= 4x+20-7
f(x+5)=4x+13
ตอบ f(x + 5) = 4x +13
2. f(5)
7. กราฟของฟังก์ชัน (กำหนดให้ a, b และ C เป็นจำนวนจริง)
1. ฟังก์ชันเชิงเส้น รูปสมการทั่วไป คือ y = ax + b
จาก f(x) = 4x - 7
f(s) = 4(5)-7
fis) : 13
ตอบ f(s) : 13
การหา f(x)เมอโจทย์กำหนดให้
f(พหุนาม) มาให้
9
1. จับพหุนามโนวงเล็บ = A
2. จับให้อยู่ในรูป x · เทอม A.
3. นา 4 แทนพขุนามในวงเล็บ-fin
และนำเทอม A แทนที่ X
4. จัดรูป แล้วนำ X แทนที่ A → f(x)
(n)
ถ้า a = 0 จะได้ ฟังก์ชันอยู่ในรูป
y = b เรียกว่า “ฟังก์ชันคงตัว”
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรงเสมอ เช่น y = 2x + 3 , y = 2
1) y = 2x + 3 จะมีกราฟดังนี้
หาจุดตัดบนแกนX |หาจุดตัดบนแกน y
ใช้
y = 0
0 = 2x + 3
x= -
X = - 3
= -1
… (-1,0) X
*
ให้ x = 0
Y = 2 ( 0 ) + 3
y = 3
.. (0,3) *
y = 2x + 3
2) y = 2 จะมีกราฟดังนี้
2
-y=2
X
X

ページ5:

2. ฟังก์ชันกำลังสอง รูปสมการทั่วไป คือ y = ax + bx + c โดยที่ a ≠ 0
=
กราฟของฟังก์ชันกำลัง 2 จะเป็นเส้นโค้งเสมอ เช่น
=
1) y = x -
- 2x + 4 จะมีกราฟดังนี้
Q = 1 >0 Y
4 แกน สมมาตร X - 1
1
7
(-1.7)
1 (3, 7)
6
2) y = = 2x – 12x – 16 จะมีกราฟดังนี้
9=-2<0
-
a
จดอ กลบ (สงสด)
(-3√2)
-2
0 9
คาสงสด k=2
(–2, o
3
2
(0, 1)
(2.4)
- คาตาสด
k = 3 9
-2-10
จดวกกลับ
บ
(ตาสด)
| 23
9
- X
(−4, 0)
-3
0
แกนสมมาตร
X = - 3
→X
ถ้า a > 0 กราฟจะ หงาย
>
ถ้า a < 0 กราฟจะ ควา
กราฟคว่ำ (a<0)
จุดวกกลับ (h,k) ของกราฟเป็นจุดสูงสุด
กราฟหงาย (a>0)
จุดวกกลับ (h,k) ของกราฟเป็นจุดต่ำสุด
2
b4ac-b
b 4ac
-
หาได้จากสูตร
หาได้จากสูตร
2a 4a
2a
4a
ค่าต่ำสุด คือ ค่า k (y)
มานจดวกกลบเสม
แกนสมมาตรของกราฟคือ x = h
แบ่งเส้นออกเป็นสมมาตร
ค่าสูงสุด คือ ค่า k_ty)
แกนสมมาตรของกราฟคือ x = h
3. ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล รูปสมการทั่วไป คือ y = a เมื่อ a > 0 และ a#1
กราฟของฟังก์ชัน Expo จะมี 2 ลักษณะ แบ่งตามกรณีดังนี้
กรณี a > 1 เช่น V = 2*
Y
-2,
ใกล้× เว๊อย
6
4
2
-1,
แต่ไม่=x
-2
-1
(2, 4)
(1, 2)
(0, 1) ผ่านเสมอ (x = 1)
+
1
2
3
X
·b'
2

ページ6:

กรณี 0< a < 1
เช่น
y = (?)*
y
(−2, 4)
4-
ข้อสังเกต
1. ทั้ง2กรณี กราฟจะผ่านจุด (0,1) เสมอ
2. กราฟจะไม่สัมผัสหรือตัดแกน X ทั้ง 2 กรณี
2.
(-1, 2)
(0, 1)
X
0
-2
1
2
3
4. ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ในที่นี้จะกล่าวเฉพาะ y = x − al + c
เช่น y = |x − 2 + 3 และ y = |x| เขียนกราฟบนระนาบเดียวกันได้ดังนี้
Y
8
(-3, 8)
y = |x−2|+3
7+
(-2, 7)
6
(-1, 6)
(5, 6)
(0, 5)
5
(4, 5)
(1, 4)
4
(3, 4)
3
y = |x|
(2, 3)
2
X
3 -2
O
1
2
3
4 5
5. ฟังก์ชันขั้นบันได มีค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงตัวเป็นช่วงๆ กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะคล้ายขั้นบันได
เช่น กราฟอัตราค่าส่งจดหมายในประเทศแบบส่งธรรมดา กำหนดไว้ดังนี้
น้ำหนักของจดหมาย
ไม่เกิน 20 กรัม
อัตราค่าส่งจดหมาย (บาท)
3
4
เกิน 100 กรัม แต่ไม่เกิน 250 กรัม
7
เกิน 20 กรัม แต่ไม่เกิน 100 กรัม
เกิน 250 กรัม แต่ไม่เกิน 500 กรัม
X
10
y หรือ f(x)

ページ7:

เขียนสมการของฟังก์ชันในรูป f(x) เมื่อ x เป็นน้ำหนักของจดหมาย และ f(x) เป็นอัตราค่าส่งจดหมาย
ได้ดังนี้
3
; 0 ≤ x ≤ 20
4
; 20 ≤ x ≤ 100
f(x) =
7
; 100 ≤ x
≤ 250
10 ; 250 ≤ x
≤ 500
และเขียนกราฟของฟังก์ชัน f ได้ดังนี้
คาลง
09816
7
4
3
2
→→→→≥ X นน.ของจดหมาย
0
20
100
250
500

ページ8:

ข้อสอบ O-NET เรื่อง ฟังก์ชัน
ตอนที่ 1 : แบบปรนัย 5 ตัวเลือก (เลือก 1 คำตอบที่ถูกที่สุด)
1. ฟังก์ชันแสดงความสูงของต้นไม้ต้นหนึ่ง (มีหน่วยเป็นเมตร) ในช่วงอายุตั้งแต่ 5 ปี ถึง 10 ปี เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
ถ้าต้นไม้นี้เมื่ออายุ 10 ปี สูงกว่าเมื่ออายุ 5 ปี อยู่ 7.5 เมตร แล้วต้นไม้นี้เมื่ออายุ 9 ปี สูงกว่าเมื่ออายุ 6 ปี อยู่กี่เมตร
(O-NET 64)
1. 2.25 เมตร
4. 5.5 เมตร
ค.สงเม.
= ax
ผ่านไป 5 ปี
อายุ Tree (ปี) เมื่ออายุ
x + b
2. 3 เมตร
5. 6 เมตร
function เชิงเส้น :
9 ปี:
y =
2010) +6 -0
เมื่ออายุ 5 ปี: y, : 215) + b ®
เมื่ออายุ
เปี:
Yu
เมื่ออายุ 10 ปี : y, ·
ผ่านไป 3 ปี
X 4.5 เมตร
A
3
; Y, -, = 100 - 50
7.5
= 50
A = 1.5
.. y = 1.5 x + b
43
=
= 1.5 (9) + b
: 13.5 + b
= 1.5 ( 6 ) + b
Y, = 9 +6
• 43-44 = (13.5-9)+(b-b)
9 ปี
= 4.5 ม.
2. นักสถิติคาดการณ์จำนวนประชากรของชุมชนแห่งหนึ่งว่า
000
วธลด
สูงขึ้นปีละ 735 = 1.5 ม.
ผ่านไป 3 ปีสูงขึ้น
0.2
= 3 x 1. S
=4.5 ม.
-2
=
= 0.002
100 1000
“เมื่อถึงวันที่ 31 ธันวาคม 2571 ชุมชนแห่งนี้จะมีจำนวนประชากร 7,000 คน
หลังจากนั้นไปจนถึงวันที่ 31 ธันวาคม 2583 จำนวนประชากรจะลดลงในอัตราร้อยละ 0.2 ต่อปี”
ถ้าข้อคาดการณ์นี้เป็นจริง แล้ววันที่ 31 ธันวาคม 2583 ชุมชนแห่งนี้จะมีประชากรอยู่กี่คน
(O-NET 64)
1. 7,000 (0.2)12 คน
X 7,000 (1 – 0.002)12 คน
5. 7,000 (1 – 0.002)13 คน
ะะ
อนาคต = ปัจจุบัน(1+1)”
2. 7,000 (1 – 0.2)12 คน
4. 7,000 (1 – 0.2)13 คน
นอตราลด
-7000 x (1-0.002)
12

ページ9:

3. กราฟแสดงความสัมพันธ์ ” เป็นบริเวณที่แรเงา ดังนี้
r
<4
x=1
5
4
3+
X>2
x+y<5
Y<1
2+
x + = 5
(O-NET 63)
ความสัมพันธ์ r คือเซตในข้อใด
1. r = {(x, y) | x+y<5, x>1 bâ y>2 }
× r = { (x, y) | x+y<5, x>2 by > 1 }
3. r = {(x, y) | x+y<5, x<4 y<3 }
{(x, y) | x+y>5, x>2bby > 1 }
4. r =
5. r = {(x, y) | x+y>5, x<4 â y<3 }
4. กำหนดให้ 4 เป็นจำนวนจริง และ f เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f(x) = (x + a) – 4 เมื่อ 4 เป็นจำนวนจริง
a
ถ้า f(−2) = f(4) แล้ว 4 มีค่าเท่ากับเท่าใด
1. -3
2. -2
=
a
a
(O-NET 63)
4. 1
5. 2
f-2 = f(4)
(-2+ a)² -α= (4+a)² = á
2
(-2)² + 2 ( 2 ) ( a ) + a² = 4² + 2(4)(a)+, a
(-2)²+2(-2)(0)+03
4-49 = 16 +8A
-12
= 12A
a
=

ページ10:

0
function กำลังสอง
Q > 0 → หงาย
(x,y) คาสูงสุด
VLA
(x,y)
ค่าต่ำ สด
9
5. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f (x) = −x2 + 4x – 6 แล้วข้อใดถูกต้อง (O-NET 62)
=
1. ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f คือ -6
3. ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f คือ 2
5. ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f คือ 2 X
( จุดวกกลับ (X,y)
X =
24
=-4
2(-1)
= 2
- ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f คือ −2
4. ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f คือ − 2
y = - 2 + + (2) - 6
=-
=-2
4+ 8-6
วธ
②y = 4ac-b²
4a
=4(1)(-6)-42
4(-1)
ค่าสูงสุด = − 2
*
=-2
Same
6. กราฟของ J1 = f(x) และกราฟของ y2 = g(x) ตัดกันที่จุด (2, −2) และจุด (4, −2) ดังรูป
Y
หาค่า X
3-
(-2,2)
2
1+
0
-2
4 5 6
1+
(29-2)
(49-2)
2
-3-
(8,2),
y = I9 ( x ) l
y = f (x)
+ X
7 8
V2 = g (x)
9 ( x ) = 2
|90× 1 = (-− 2 ) = 2
91x1|=1
=(-2)=2
เซตคำตอบของสมการ f(x)
X {-2, 8}
4. {2, 4}
lg(x) คือเซตในข้อใด
2. {-2, 2}
5. {2, 8}
(O-NET 62)
3. {0, 6}

ページ11:

7. ถังใบหนึ่งมีน้ำอยู่ 100 ลิตร ต้องการตักน้ำออกจากถัง
โดย ครั้งที่หนึ่ง ตักน้ำออก 10% ของปริมาตรน้ำที่มีอยู่
ครั้งที่สอง ตักน้ำออก 10% ของปริมาตรน้ำที่เหลืออยู่ในถัง หลังจากการตักน้ำออกครั้งที่หนึ่ง
ครั้งที่สาม ตักน้ำออก 10% ของปริมาตรน้ำที่เหลืออยู่ในถัง หลังจากการตักน้ำออกครั้งที่สอง
และตักน้ำออกในทำนองนี้ไปเรื่อยๆ
ถ้าให้ f (t) แทน ปริมาตรของน้ำที่เหลืออยู่ในถังเมื่อตักน้ำออกไป 1 ครั้ง แล้วข้อใดถูกต้อง (O-NET 62)
=
2. f (t) = 100(0.30)
=
1. f(t) = 100(0.10)
X f(t) = 100(0.90)
5. f(t)
=
==
100(1.10)′
t
3. f(t) = 100(0.70)
ตักน้ำออก
หลังจากซักครั้งที่ 1
หลังจากตึกครั้งที่
10 /
10 / เหลือน้า 90/
เหลือน้า 100
90
100
หลงจากตกครงท 2 เหลือนำ 100 | 20
หลังจากตึกครั้งที่ 3 เหลือน้ำ
100
100
90
100
หลังจากถูกครั้งที่ 1 เหลือน้ำ 100 (16)
|
100
)(
3
t
90
90
100
= 100 | 90
(100)
#
2

ページ12:

8. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ a ≠ 1 และ b ≠ 1
ถ้า f(x) = (1)* และ g(x) = b* เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่มีลักษณะกราฟดังรูป
=
= 9>0x
=b>o
Y
g
- 1
X
กราฟของฟังก์ชัน / พุ่งขึ้นสูงกว่า
เงื่อนไขในข้อใดที่ทำให้กราฟของ f และ g สอดคล้องกับรูปข้างต้น
X 0 < a < 1 และ 0 < ab < 1
3. 0 < a < 1 และ >1
5.
a > 1 และ 0 < ab < 1 X
1.
1>1
a
1> ,0
1-a
a
1 - Q > 0
คูณทั้งสองข้าง
a-1
a
ได้จุดวิกฤต
2.
กราฟของฟังก์ชัน g
(PAT1 ปี64)
0 < a < 1 และ ab > 1
4. a > 1 และ ab > 1 X
จากกราฟ f นุ่งขึ้นสูงกว่า 9
0
ะ
ดงนน
X
ฐานของ f > ฐานของ g
A
1 > b
a
1 > ab ; ab>o
O<ab<1
*
0
1
+

ページ13:

9. ร้านเบเกอรี่แห่งหนึ่งขายคุกกี้บรรจุเป็นกล่องขนาดเดียวกัน พบว่า กำไรต่อกล่องเป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสองของ
จำนวนกล่องที่ขายได้ต่อวัน โดยที่
.
.
ในวันที่ร้านขายคุกกี้ได้ 20 กล่อง ร้านจะได้กำไร 20 บาทต่อกล่อง
0 กลอน
ในวันที่ร้านขายคุกกี้ได้ 10 กล่อง ร้านจะมีรายได้จากการขายคุกกี้เท่ากับต้นทุน - กำไร 0 บาท/กล่อง
ในวันที่ร้านขายคุกกี้ไม่ได้เลย ร้านจะขาดทุน 40 บาทต่อกล่อง- กำไร - 40 บาท/กล่อง
ร้านเบเกอรี่จะขายคุกกี้ได้วันละกี่กล่อง จึงจะมีกำไรต่อกล่องมากที่สุด
1.
15
2. 20
X 25
(PAT1 ปี64)
4. 30
5. 35
9
function: y = ax² + bx+c; x = aw. naag, y = nibs
020 กล่อง กำไร 20 บาท/กล่อง
20a (20)² + b (20)+C
20 400 a+ 20b +c.
20400a20b - 40
60400a20b
นา 20 หารตลอด
3 = 20 a + b —3
2 10 กล่อง กำไร 0 บ./กล่อง | 9 0 กล่อง กำไร -40 บ./กล่อง
0 = a(10)² + b (10) + C
0 100 a+10 b + c - ②
0 = 1000 + 100 -40
4g = 10ga + 1gb
น้า 10 หารตลอด
4 = 10a + b
-40 = 2 (0²) + b (0) + c
t
c = 40]→แทนโน 0,®
C
9 ; - 1 = 100
Q = - 1
4 = 20
10
= 10 ( 16 ) + b
b=5
หา x ที่ทำให้ y เป็นค่าสูงสุด
(x,y)
aco
หาค่า x ที่จุดกลับ
X = -b
24
X = -5_
()
X: -5X-5
X = 25

ページ14:

10. กำหนดให้ I แทนเซตของจำนวนเต็ม ถ้า f : I → II เป็นฟังก์ชันโดยที่ f (5) = 16
และ f (n)
3
-
(f (n = 2) + 2n
(f(n + 1) − n
-
เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
แล้วค่าของ E f(n) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
n=-3
× 8
2. 10
=
เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
(PAT1 ปี62)
3.
12
4. 15
5.
f(3) = 16 และ fin) : fon-2) 420
f(3) = f(5-2) + 215
16 = f(3) + 10
f(3) = b
97 f(1)
f(3) = f(3-2) + 2(3)
24
24
921f1-2)
f(-2)
= f(-2+1)-(-2)
= f(-1)+2
b = f(1)+b
= -2+2
f(1) = 0
f(-2) = 0
911 f (-1)
97 flol
f(1) = f(1-2) + 2(1)
0 = f(-1) + 2
f(0) = f(0+1)-0
= f(1)
f(-1)=-2
f(0) = 0
97f1-31
หา f(2)
f(-1) = f(-1-2)+2(-1)
-2 = f (-3)+(-2)
F(-3)= 0
f(2) = f(2+1)-2
= f(3)-2
= 6-2
f(2) = 4
¾ f(n) = f(-3)+ f (-2)+ f (-1) + f(0) + ... + f (3) = 8 *
n=-3

ページ15:

ตอนที่ 2 : แบบอัตนัย
1. ชื่นใจขายกระเป๋าผ้าทางออนไลน์และได้ทำการสำรวจตลาด พบว่า
สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างราคากระเป๋ากับจำนวนกระเป๋าที่ขายได้ในหนึ่งสัปดาห์ คือ
เมื่อ
x
=
Q (x) = 140 – 2x
แทนราคากระเป๋าหนึ่งใบ (บาท)
และ ((x) แทนจำนวนกระเป๋าที่ขายได้ (ใบ)
☑
ถ้าชื่นใจต้องการขายกระเป๋าให้ได้เงินมากที่สุด แล้วชื่นใจต้องขายกระเป๋าใบละกี่บาท
กระเป๋าโบละ x บาท
ขายได้ Q(x)ใบ
·
เงินที่ได้ = x − Q(x)
Y
= X (140-2X)
2
y = -2x + 140x
a<0;กราฟคว่ำ
หาค่า x ที่สูงสุด
X : - 6
20
X = -140
2(-2)
X = -140
-4
X : 35
บาท
(O-NET 64)
* ถ้า A
=
{5, 6, 7,
แล้ว ” มีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว
12, 13, 14} และ r = {(x, y) EA × A | y=x−1 }
(O-NET 63)

ページ16:

3. กำหนดให้ f (x)
-12
, x≥ 10
4
=
+8
f(−11) + f(20) เท่ากับเท่าใด
, x < 10
(O-NET 62)
+
f(-11) f(20) = (-(-11), 18 ) + ( 24/10-12)
= 11 + 8 + 7
8+
= 3.75 ☑
t