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(1) 2次方程式x2-6x+4=0の2つの解を a, b とするとき,
+-=
a
b
である。
(2) x, yx2+√2x = y2+√2y=5を満たすとき, x2 + y2の値は
である。
(3)2次方程式
x+3x2 +5x2 + 7x 2 + 9x 2 +11x 2 + 13x2 + 15x 2 + 17x2 = 2005
を満たす整数xは
である。

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解答&プチ解説
(1) 2次方程式 x²-6x+4=0を解くと
6±√62-4×1×4
x=
2
=3±√5
a+b
6
したがって-+
a
b
ab 4
[a=3+√5
とすると
16=3-√5
|a+b=6
|ab=4
x2+√2x=5... ①
y2+√2y = 5 ... ② とする。
-②より
よって
x²-y2+√2(x-y) = 0
(x+y)(x-y)+√2(x-y) = 0
(x-y)(x+y+√2) = 0
x=y, x+y=-√2...③
2
①+②より x + y² + √2(x + y) = 10
=
x 2 + y2 =10-√2(x+y)
③より
=10-√2x(-√2)
=12
(3) 2乗の項をすべて加えると80x2
よって, 与えられた2次方程式は
80x2 + x = 2005
左辺を因数分解し, 2005 を分解すると
x(80x+1)=2005 = 5×401
よ~く見比べるとx=5