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Chapter 3 多項式函數
3-1多項式的運算與應用Point①基本概念
1.定義: X的多項式: anx² + an-ix"'+...+a.x+a
註: x不可在根號、次方,分母、絕對值內
2. 係數: 實數an、an-1....a.分別稱為x、xx的係數
an⇒ f(x)的首項(領導係數、ao 常數項
3.f(a) n次多項式,記為degfx)=n
4. 常數項多項式:若f(a)=ao則
①若ao≠口
則f(x)為
二〇
零次多項式ex:.2.2
零多項式 ex:0
5.降冪排列 次數高→低 ex:3x+4x+1
6. 升冪排列:次數低→高 ex:1+4x+3x
7. 多項式的值:入指定a代入,f(x)=f(a),x=a
Point ② 多項式相等
定義:兩多項式相等,則次數、同次項係數均相等
f(x)=g(x) → f(c)=
ge)
Point ③係數問題
1.各項係數總和=antan-1+...+a.tao=f(1)
2. 常數項ao=f(o)
3.偶次項係數和=aota2+a+...=
ㄓ
f(1)+f(-12
2
4.奇次項係數和=a,tastast..= f()-f()

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Point ④ 多項式運算
1.加減法:合併同次項
ex:"(x3+2x-3)+(32-2x+1)=X²+3x²+2X-2x-3+1
=X²+3x²-2
2.(5x²+4x+3)-(5x2-2x+1)=5x²-5X²+4x+2x+3-1
= 6x+2
2. 乘法:係數相乘,次數相加
ex: (2x-1) (x+2x-1) = 2x+4x-2x-x³-2x+1
=2x+-X²+4x²-4X+1
兩非零多項式相乘,次數等於兩多項式的次數和
⇒ deg (f(a).g(x)= deg f(x)+degg(x)
3. 除法原理:
ex:設degfa)=2.degg(a)=3 則deg (f(x).g(a))=5
2.
2 deg fax) = 2, deg g(x) = 2 ) deg (fox)+g(x)) = 2 or 1 or 0
①XX+(-x3=0=⇒沒有次數
②(x+1)+(-x²)=120次
@(x²+x) + (-x²) = x
12
④(2x²)(-x2)=x²⇒2次
被除式= 除式X商式+餘式
f(x) = g(x).q(a)+r(x)
ex: f(x)除以2x+3的商式為q(x),餘式為r求
1.f(x)除以X+的商式為29(x),餘式為上
f(a)=(2x+3)"q(x)+r
=(a+3).2.qx)+r
2. f(x)除以4x+b 的式為主((a),餘式為___
f(x)=(2x+3).q(xtr
=(4x+b).//.q(a)+r

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4.一次式綜合除法
ex:x²-ZX-1除以A-1的商式接入,餘式-2
2
x=2x-1|X-1 1+0-2-1
习
1+0-2-1
→1x1=1
140-2-1
=)+) 1-1
17-11-2
ex: 9x3-7-2除以3x+2的商式3x22x+1,餘式__4
+
9+0-1-21号
-6+4-2
319-6 +3 -4
3-2 +1
ex:設f(x)=xx2x+3=a(x-1)+b(x-1)+C(x-1)+d求:
(1) 常數序組(a,b,c,d) (1,3,5,6)
(2)((x)除以(x-1)²的餘式 5x+1
(3)+Co.999)的值(四捨五入至小數點後第三位) 5.995
(4)+(1+2)的值12+752
(17 1+0+2+3/1
土) 1
3
+)
1136d
1
|
2
1 1/50
al/3b
(2)f(x)除以乐餘式?
((x-1)+d
=5(x-1)+6
-57-546 - SXH
(3)0.999-1=-0.001
:
+(0.999) (0.001) + 3 (0.001)² + 5 (-0.001) +
數太小可忽略不計
3. - 0.005+6
= 5.995
(4)+(1+J2)=(J23+3(J2)+5(J2)+6
=252+6+552+6
= 12+7J2

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Point ⑤ 餘式定理
1.一次式除式aa-b:
f(x)÷(ax-b)其餘式為+(六)
ex:f(o)=f(x+x的餘式=f(x)常數項
+(1)=f(x)=(x-1)的餘式=f(x)各項係數總和
f(-1) = f(x) = (x+1)
2.二次式除式(x-x)(x-B):
ax+b=
f(x)= (x-α) (x-B) q(x) +ax+b
餘式:
2): a (x-α) + ((α)
= 1
= (x) = (x- α) (x-B) qox) + a(x-α) + f(x)
90x)+
ex:f(x)=(x+x-2),(x4)的餘式分別為x1,x+1
求(x)=x=3x+2的餘x+1
(x+2)(x-1)
(x+2)(x-2)
(X-2)(x-1)
{ ((x) = ((+2) (x-1) q(x) + (3x-1) = {f(1) = 2
((x) = (x+2) (X-2) q(x) + (x+1)
f(x)=(x-2) (x-1) qux) + (ax+b)²
5 f(1) = a+b=2
(12)=2a+b=3
Point ⑥ 因式定理
Sa = 1
=>
b=1
=>
+(2)=3
(a) = f(b) = f(c) = 0) f(x)= (x-a)(x-b) (x-c) g(x)
註g(a)為f(x)的因式,則kg(x)均為f(x)因式(k=0)
ex: t(x) = {{(0) = f(1) = f(2) = 5 £ f(3) = 11,& tax)_A:x³-3x²+2x+5
f(x)= k(x-0) (x-1)(x-2)+5
求
a f(x) = x (x-1) (x-2)+5
=>
=
7³-3x²+2x+5
K=1
(3)k(3-0) (3-1) (3-2)+5=11
6k+5=11

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3-2 多項式函數及其圖形 Point ①函數
1.定義:y=f(a)
y: 應變數x:自變數
X值給定時,y隨著唯一確定,稱y是X的函數
”
2. 圖形:每一個入只對應到一個f(x)值
註:即作垂直X軸的線與函數圖形恰交於一點
x
x
3. 常數函數:不論變數入如何變化,f(a)恆為定值
(以上皆不是y對x的函數圖形
ex: f(x)=1 养
(*1) f(x)=1
4. 一次函數: f(x)=ax+b圖為一直線,a:斜率、b:y截距
註:
a=y的變化量_f(x)-f(x)
X 的變化量
Point ②平移
1.上下平移K單位:
=
(x,x2)
y=f(x) ⇒ y-k=f(x) 即 y=(x+k (向上移k單位,K20
2.左右平移人單位:
向下移(K)單位,KKO
y=f(x) =⇒ y=f(x-h) (向右平移單位,h20
Point ③二次函數
向左平移單位,hco
y=2x²
1.一般式:
: f(x)=ax²+bxtc
72
x.
(3) lal愈大,開口愈小
y=-x²
y=-2x²
註: (J)a>0: 開口向上,有最小值
(z)a<o: 開口向下,有最大值
4ac-b
2.標準式:f(x)=ax+bx+c=a(x+x+ute=a(x-h)+k
註:(1)頂點坐標: (hk)=(一点,和)
(2)對稱軸: x=h
3. 對稱入軸: g(x)=-f(x)的圖形(x: f(x)=x,ga)=-x
4. 對稱y軸:f(x)=-f(-x)的圖形 ex: f(x)=2 or f(x)=2x*

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Point④三次函數
1.一般式:ax²+bx+cx+d
y=2x3
(1)a>0:左下往右上升(遞增性)
(2)a<o:左上往右下降
→x
(3) 圖形通過原點(對稱中心)
(4)f(a)=ax,g(x)=-a3對稱X軸
2.變形:
(5)f(x)=-f(x),函數圖形對稱原點(對稱性)
f(x)=ax²+ bx²+cx+d = a(xh) ³ + P(+W)+k, (h=3 )
註:gcx)=ax+px的圖形對稱原點
ex:1.判別以下函數圖形哪些會對稱於原點?
(滿足((-x)=-f(x)
AA.C.D
(A) f₁ (x)=-7³ (B) f₂ (x) = x²+3x² (c) fa(x)=X³+3x
(四)f(x)=-x+6x
(E)fs(x)=-x+6x+2
ex : 2.已知三次函數f(x)=x2-3x+24+1
(1)若f(x)=a(x-hw²+p(x-h)+k,求序組(h.apk)=(1,1,-1,1)
(e) (u),利用y=xx的圖形,繪出f(x)的圖形,並求對稱中心。(,)
b
11 h = - 3 a = - = 32 = |
f(x)=x2-3x+2x+1
=
(x-1)³-(x-1)+1
ax²+ bx + cx+d
a=1
1-3+2+1
I
+)
1-20
向右平移(單位
1-201=k
(2)xx,向上平移單位
+)
1 +
goo=ax²+px f(x) = x²-
向上移
1 +/-1=P
向右移
110
對稱中心:(1,1)→(hk)
y=xxx
f(x) = (x-1) ³- (x-1) +1
→x

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3-3 多項式不等式 Point ⑩函數圖形與方程式的實根
ex:右圖為二次函數((x)的部分圖形,求:
(1)方程式+(x)=0的解
(2)不等式()<o的解
(3)不等式f(x)20的解
(1) X = 301-1
(2) X >3 or X<-1
(3)-1≤x≤3
Point②二次不等式
A
→x
13.
y=f(x)
判別式
設f(x)=ax²+bx+c 其中a20,
p=b²-4ac
DLO
D70
D=0
根的個數
因式分解
兩相異實根x、B.
f(x)=a(x-x)(x-B2
重根d.
f(x)= a(x-x)2
沒有實根
無法分解
與x軸交點個數
函數圖形
0
1
2
(+) (-7'
(f)
(+)
→x
超重要!
超
ex解下列二次不等式:10
(1) 2X²+x-3≤辣米圖阻
f(x)=2x+7-3
=(2x+3)(x-1)≤0
(+)
(-) K+)
解:一≤x≤1
(2)x2-2x-120
D=(-2)²-4x1x(-1)=820(有兩相異實根)
公式解:
-b+ Jac
x =
=
2a
区
(+)
(一)
解:X21+52 or x<1-2
(-2
(3)x÷27+120
f(x)=x2-2x+1=(1-1)²
HJ2
(+)
(+)
解:除了引以外的所有實數
✓ ✓
(+)
(4)x÷2x+1=0
8-1250
解:X=1
(5)2x²-4X+570
f(x)=2x²-4入+5
D=16-4x2x5 20
解:無解
①D>0
PA
f(x)20⇒ x>Bor x <d
20 = x2B orx≤d
20α<x<B
£0αx<B
D=0
f(x)20⇒X為任意實數,九≠d
20⇒入為任意實數
<o⇒無解
507x=α
③DLO
f(x)20 > 干為全體實數解
20
LO
20
>無解

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D=b²-4ac
'
Point③二次函數值恆正、恆負
f(x)=ax+bx+c
1.f(x)20(恆正)
1~4恆成立
2. f(x)20
a20 開口向上
→x
DLO 無交點
U V₂ x
970
3.f(x)<0(恆負)
4. f(x)=0
aco開口向下
DLO
a<o
D≤o 無交點or交於一點
Point ④高次不等式
1. 偶數重根:
f(x)函數圖形與入軸相切(圖形左右兩邊同號
2.奇數重根:
((x)函數圖形穿越入軸(圖形左右兩邊異號)
+
+
x
3
f(x)=(x+2)(x-1)3(x-3)
f(x)20 則x值取正的範圍
LO
負
+
-2
二重稂
ex:解不等式
三重根
G (A+2) (x-1) (x-3) (4-x) <0
(x+2)(x-1)(X-3)(x-4)20
(x+1)(22+x-1)<0
G
x=
-1±51-4x1x(-1)
2
-2
3
4
4X4 or KX<3 or X<-2
=-1115
+
t
A
|-
解:X15
ok
2