ページ1:

但設 P(x,y,z)為平面 E:x-2y-2z+3=0上的點,試求(x-6)²+y+2的最小值為3
√ [(x-6)² + y² + z³]³
→可視為(x,y,z)到(6,0,0)的d
(x-61+12+22
6+3
min:
144+4
=3
Erfo.k,o)
7=0
(A)x+y=0 (0.0,t)
13. 包含y軸且與xy 平面夾45°之平面方程式為何?(多選)
(D) x-z=0
(B)x-y=0
(E)x+y-z=0。
(C)x+z=0
軸的平面,平面的交點
πt' (0,ko)
√(D) 0-0-0
X(A)k=D
X(B) 0+=0
X(E) 0+k-0=0
√(c) 0+0=0
XZ
5 有一光束由點P(4,2,1)前進到鏡面M上的點A(1,2,3)反射後,
通過另一點Q(7,-6,3),試求鏡面 M的方程式為
AP (3,0,-4)
AQ=16,-8.0)
ZAPI = AQ
為成,反角平分線
=(3,0.4)+(6,-8.0)
π = (644) M = 3x-2y-27 +7=0
xy
yz
π` = (AP + AQ)
2(7,-6,3) M
P(4,2,-1)/A(1,2,3)

ページ2:

n₁ = (1,a,b)
fx+ay+bz+11=0.
2 已知坐標空間中直線的方程式為
(x=-2+ct
E₁
12x-y-3z-1=0 1.芒參數式可表示為
y=1-1 ,為實數,則a+b=-48。
(z=d+3>:(C.1.3)
過点(-2,1,d)
方向向量(C,1,3)
n2 = (2,-1,-3)
66+9=1+20
2 = (2,4-3)
• n₁. (1, 9.6)
(1,a,b)
(a,b) x ( 2, 13) = (3a+b, 2b+3, -1-2a) || (C, -1, 3)
26+3
-
-1-29
=
3
=
[店/(C,1,3)
=> 66+9=1+29
a-3b=4
①
②*₁ (-2. (d) 4 ^ ₤2 4 d= -2)²=_
点(-2,1,d)代入E得 a+bd=-92a-2b:-9-②
3)整理①②
a = -35b=-13
a+b=-48

ページ3:

x
6 阿中將一個邊長為6公分的正立方體木塊,沿Q、R、S三點鋸下四面體 PQRS
(如右圖),剩下的木塊以截面 QRS為底放在地上,已知PQ=4公分,
PR=2公分,PS=2公分,試求此時木塊的高度為
坐標化→ 平面QRS:2x+y+2z=-4
A:(-6,-6,-6)
1-12-6-12+4126
√√√²² +1-72²
=
3
公分。
R
P
10.0.0)
A16,-6-690
19.坐標空間中,xy平面上有一正方形,其頂點為O(0,0,0),4(8,0,0),
B(8,8,0),C(0,8,0),另一點 P 在xy平面的上方,且與 O,A,B,C四點的距
離皆等於6。若x+by+G=d為通過A,B,P三點的平面,則序組(b,c,d)=
PH = √36-32=4 = 2
442
p(x,y,z)
PB(8-X)² + (8-Y)++4=36
((0.8.0) PA² = 18-x)² + y * + 4 =36
解聯立
A
(8.0.0)
2
H
(8.8,0)
PC² = x² + 18-y )² + 4 =36
64-16y+ y = = y-
y=4
x=4
平面ABP=AB=(0.8.0)
AP:(-4,4,2)
ABXAP = 1611,0,2)
→x+27=8
(b,c,d)=(0.2,8)

ページ4:

+18.8,07
14
1
20. 坐標空間中,在六個平面x=-
x= -,y=1,y=-1,z=-1及z=-4所圍成
13
13
的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同,則選到兩個頂點
的距離大於3之機率為
段
【101學測】
「坐標空間中,設P,Q為平面3x-2y-2z=1上兩點且滿足PQ=7,另取空間中兩點
P',Q'滿足向量 PP=QQ=(-3,4,6)。當向量PQ=
得平行四邊形 PQQ'P'面積最大。
(3,-2,-2)
立起來
115
時,會使
28
【104.指考甲】
Max PQQ'p'要立起來
PP, QQ II ñ LPQ
PQ'11 PP'x = (-3,4,6) X (3,-2,-2)
高/14.12.-6)
64+12+6=14
PQ = 2,6,-3)

ページ5:

14.一平面E與x軸,y軸,z軸的正向分別交於點A,B,C,而O為原點,則若平面通過點
P(1,4,2),則OA+OB+OC之最小值為2511+662
令:奇++=1
á, 1/16, — — = 1 # a+b+c
a,
用科 很難配
[(a)+(6)+(C)][(六)+()+]=(1+2+5F)
(a+b+c)= 9+2+252
(a+b+c) = 11+252
13. 已知空間中兩直線L:
[3x+2y-3z+5=0
[4y-3z+16=0
[x+2y+6z=2a+1
T
,
L2:
2y+3z=a
「相交於一點,試求a值為
A=28
62-0
LI改參數式後代入L2
L₁x=2t+1
Y = 31-4
TER 進入
• 2t+1+61-8 + 4 t = 2a+1
125+1+
6t-8+12t=a
(32t=za+8
18t=a+8
a=28
2:我技巧,去分數
16. 邊長1的單位正立方體ABCDEFGH(如圖),在對角線CE上取一點P,試求
△PBD 面積的最小值為45562
我其實會,只是單位有錯
√√3
36
E
H
F
B
C
G
D

ページ6:

5/空間中,有一平面E過點P(2,3,1),且分別交x軸,y軸,z軸
乏正向於A,B,C三點,O為原點,且k=204+3OB+4OC
(1)求k之最小值.(2)k有最小值時,平面F的方程式.
令奇+怡+1
↓
N/G
3/0
+
a
b
+
12
(50++)(H+)=(2+3+4)
2a+36+46=81
4
情
1115
6. 若平面E過點(2,3,1)且在第一卦限與三坐標平面所成之四面體體積為最小,
則平面F的方程式為
13E 10.0.0), (0.6.0), (0.0.c)
2
+
++=1 求abc min tabc
開3次方根
↓
3
max=27
27
abc=162
此時吃
3
a=2t
6+3=162
6
b=3t →
abc
c=t
t=3
a=6
6:9
++
(=3

ページ7:

7. 李探長為了找尋槍手的可能發射位置,他設定一空間坐標,先從(0,0,2)朝向(5,8,3)發射一固定雷
射光束,接著又從點(0,7,a)沿平行於x軸方向發射另一雷射光束,試問當a為何值時,兩雷射光束會
相交?
如右圖所示,ABCDEFGH 為一長方體。若平面BDG上一點 P
(0,0,0)
A
(2.0.01B.
3
兴
滿足AP=6AB+2AD+aAÈ,則實數a=
C
【105學測】
B=10,-2,2)
GD=(-2,0,2)
-2
>
0 2
E(0-2)
H
0
-2, 0.
F
G
(2,2,-2)
ZINE7
設P=(x,y,z)
(x, y, z) = — (2,0,0) + 2 (0,2,0) + a(0, 0, -2)
-2a)
7 x+y+z=2
3+4-29-2
8=29
wift wo
= a
另解B.D.G,P共面
AG = AB + AD + AС
AP = α AB + BAD + EAG
X+B+4=1
AE = AG-AB-AD
AP = 33 AB + 2AP + a(AG-AB-AD)
AP = ('s-a) AB + (2-9) AP + α AG
> 把庀换掉
-a+z-a+a=1
a = $
(0.2.0))

ページ8:

另一平面E上,且直線Lㄣ在平面E的投影與ㄙ重合,則平面E的方程式為一千X-5
x-1 y
7. 坐標空間中,平面x-y-z=3上有兩相異直線ㄥㄙ: 321 = 1 ==+2 與直線。若直線
-1 3
也落在
+2=-6
段考卷 80
(I'|- '|) TИ
L2
丌 (2,1,3)
13
,所求
ñ = \ -4, -5,1) π (1, 0, -2)
-4x-54+7=-6

ページ9:

|x+y+z=3
若兩直線
與
(2x-y-z=0
lxy+2z=2 lax+2y+3z=0
相交於一點,則a=-5
,
又其交點坐標
為(小小)。
交(x+y+z=3
26X-4+27=2
為)點有相同點
2x-7-7-0
x=1
)
代入
y=1
2=1
a=-5
(22)H:xy+z=2為坐標空間中一平面,L為平面 H上的一直線。已知點P (2,1,1)為
L上距離原點最近的點,則(2, -1
(0,0,0)
(11-11)
→(2,1,1)
--> a,b)
(2.11月
,
-3
)為L的方向向量。 【100.學測】
(1,1,1)-(2,a,b)=0
2- a+b=0
- 4x2,a,b) ((2,1,1). (2. a. b) =
4+a+b=0
a= -1
6=-36
b=-3

ページ10:

(23. 如右圖,在坐標空間中,A,B,C,D,E,F,G,H為正立方
體的八個頂點,已知其中四個點的坐標4(0,0,0),
B(6,0,0),D(0,6,0)及E(0,0,6),P在CG 上且
CP:PG=1:5,RE班上且ER:RH=1:1,Q在AD上。
若空間中通過P,Q,這三點的平面,與直線AG 不相交,
15
則Q點的y坐標為
PR: (-6, -3, 5)
【102學測】
x
B
(0,3,6)
R
E33
H
A10
(G\b₁6.6)
PLD
-y
C
h-y 16 6-;
PQ = (-6, 7-6, -1)
PRx PQ = ( 33-5y, -36,-by+18)
AG=(1,1,1)
ñ⋅ AG=0
33-5y-36-6y+18:0
lly = 15 y = 15
n
平面
1
-AG
P-029
1,-1,1
坐標空間中有四點 (2,0,0)、B(3,4,2)、C(-2,4,0)與D(-1,3,1)。若點
P 在直線CD上變動,則內積PA· PB之最小可能值為
。
4
CD =(1,-1,1)
P=(-2+t, 4-t, t)
PA-(4-t, -4+t,-t)
PB = ( 5-t, t, 2-t)
PA PB-(4-t)(5-t) - 4t+t² - 2t+t²
.
75
= 3 (t - ₤)² + 20 - 1/14
1134 = 5 4 min &
【108學測】

ページ11:

8.設平面E通過A(0,-1,0),B(0,0,1)兩點, ,與平面E:y-z2=0的一個夾角為60°,
y
則平面E的方程式為/
設E:+-+7=1
x9
-|
E = X-ay+az-a π = (1,-9,a)
n=(0.1,-1)
F-a-al
Ja² +1 Jz
J = X
√6
√6
6y+68=6
56
08
√6
4a= √4a+2
X+
by-6
(1)
16a²=4a+2
12a²=2
a=√I
(12. 設A(1,3,-2),B(2,1,-1),平面E:x+y-z=3,試求n, = ( 111,-1)
(1) 4 對平面E的對稱點 A的坐標為(1,1,0),
41
(2)P在E上,若APAB周長的最小值為m,且此時P點的x、y、z坐標和為t,則數對(m,t)=
對稱點公式:
1+3+2-3
1+1+1
= 1
點代入平面
=t
平面係數”和
[1-2,3-2,-2-1-2)]=(-1, 1, 0)
(2) 先判斷AB在平面同?異側
A: 1+3+2>3 )同測
B:2+1+123
一号
A(-1,1,0)
A'B = ( 3, 0, -1) | AB) = √10 / AB = √6 min = (56+510) #
(-1+3t,1,-t)代入平面E
-1+34 +1+1=3
七二季(3,1,季)
16
井
B (2,1,-1)

ページ12:

n₁ = (1,a,b)
fx+ay+bz+11=0.
2 已知坐標空間中直線的方程式為
(x=-2+ct
E₁
12x-y-3z-1=0 1.芒參數式可表示為
y=1-1 ,為實數,則a+b=-48。
(z=d+3>:(C.1.3)
過点(-2,1,d)
方向向量(C,1,3)
n2 = (2,-1,-3)
66+9=1+20
2 = (2,4-3)
• n₁. (1, 9.6)
(1,a,b)
(a,b) x ( 2, 13) = (3a+b, 2b+3, -1-2a) || (C, -1, 3)
26+3
-
-1-29
=
3
=
[店/(C,1,3)
=> 66+9=1+29
a-3b=4
①
②*₁ (-2. (d) 4 ^ ₤2 4 d= -2)²=_
点(-2,1,d)代入E得 a+bd=-92a-2b:-9-②
3)整理①②
a = -35b=-13
a+b=-48