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数学

🌱 いろいろな数列の極限公式/実数と数列の極限§9

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相關資訊

tomixy

tomixy

数列の極限に関する定理のうち、『この数列の極限はこうなる』という形式の定理をまとめました。

【contents】
極限公式-正の数の自然数倍の極限(p1)
極限公式-等比数列の極限(p2~7)
補助定理-不等式の性質①辺辺をかける(p8)
補助定理-不等式の性質②両辺をn乗する、両辺の平方根のとる(p9~11)
極限公式-定数のn乗根の極限(p12~15)
補助定理-二項定理から得られる不等式(p16~18)
極限公式-nのn乗根の極限(p19~21)

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【更新履歴】
2020/04/20
(修正)p4
(修正)等比数列の極限の図解画像
2020/04/21
(修正)等比数列の極限の図解画像
2020/04/25
(追加)補助定理-不等式の性質①辺辺をかける
(追加)補助定理-不等式の性質②両辺をn乗する、両辺の平方根のとる
(追加)極限公式-定数のn乗根の極限
(追加)補助定理-二項定理から得られる不等式
(追加)極限公式-nのn乗根の極限

留言

tomixy
Author tomixy

>>たろーまるさん

ありがとうございます😭
堅い言葉で綴られたテキストは世に多く存在しますが、独習には不向きであることも多いですよね…
ノートは誰かがテキストの内容を咀嚼し、自分達が理解できる言葉でまとめ直したものなので、テキストとはまた違う意義があると思います。私も『テキストの丸写し』にはならないように努力していきます😉

たろーまる
たろーまる

これからもこれ以外のノートも拝見させてもらって
勉強させてもらいます!
テキストや教科書のようにかたく、行儀良く書いたものだけが
常に生徒に伝わりやすく、すべての意味で正しいとは僕は思っていないので(もちろん間違いというわけではないですが)
tomixy さんのような知識の豊富な方とやりとりさせていただけるのは、僕も見聞を広げることができてとても助かります。
稚拙な質問をすることもあるかもしれませんが、
こちらこそよろしくお願いします!

tomixy
Author tomixy

>>たろーまるさん

なるほど…等比数列で底が負の数の場合も考え、さらにそのグラフのような画像を載せてしまうと、『指数関数は底が負の数の場合も定義できるんだ』という誤解を与えかねない、ということなのですね…大変勉強になりました。

『指数関数は底が負の数の場合は定義しない』という事実だけではなく、それは負の数の有理数乗を考えた際に不都合が生じるからであって、『負の数の自然数乗は考えても大丈夫』だということを伝える必要がありそうです。
じきにこちらのノートにも、指数関数と等比数列の違いとグラフ画像を見る際の注意点について、補足説明を追加したいと思っております。

せっかくclearのようなSNSがある時代なので、ぜひぜひ語り合ってお互い理解を深めましょう😊 今後ともよろしくお願いいたします(❁ᴗ͈ˬᴗ͈)

たろーまる
たろーまる

ぼくは塾で高校生に数学を教えているのですが、
恐らく他の先生に比べたら力足不足で
まだまだ自分も勉強しながらでして、
数学的な勘違いや誤解が多い為、
少しでも疑問に思うことなどは話がしたかったので。笑

今回のグラフは全て関数的ではなくて直線の連続ということなんですね!納得しました。

ちなみに恥ずかしながら実際僕は高校生の時は
底が負の指数関数のグラフがギザギザになると
勘違いしていて(恐らく先生の説明を誤認により)、
塾講師始めたてくらいの時にギザギザを見た際に
こんなに0をまたぐようなグラフになるのか?
という疑問から著者さんも挙げられている複素関数野的な話へと認識を改めました。
しかし、僕のように勘違いしてる生徒はいると思いますし(多分)、
色んなサイトにもまるで指数関数のグラフのような(言及はなくミスリードするような)書き方も見たことがありました。

自分が分かるのはもちろん、人に伝える適切で正しい数学を知りたくて今回は色々と教えていただきました。
大変勉強になりました。
また色々とノート参考にさせていただきます!

tomixy
Author tomixy

>>たろーまるさん

いえいえ、こちらこそありがとうございます。私もこのように誰かと数学の議論ができてとても嬉しく思っております☺️
私は非数学科の人間なので、数学に関する自分の誤解を是正できる機会がなかなかありません…今後もズバズバとご指摘いただければ幸いですm(_ _)m

実は、底が負の値の場合はそもそも指数関数は定義されません。(GeoGebraなどのグラフ描画ソフトでy=(-2)^xなどと入力するとエラーになります。)
その理由の一つとしては、負の数の有理数乗を考えると、指数法則から累乗根に変換できますが、このとき根号の中身が負になってしまい、実数の範囲を逸脱してしまう(=複素関数になってしまう)ことがあるからだそうです。
下記リンク先で分かりやすく解説されています。
https://high-mathematics.com/2433/#a

上述の通り、GeoGebraでは底が負の数の場合の指数関数はエラーになってしまうので、今回は数列の項を表す点を表示した上で、それらの点を線分で結ぶという方法を取りました。イメージ図は7枚すべてそのような方法で作成しております。
a>1や0<a<1の場合の図は滑らかな線に見えますが、これも実は折れ線なのです…(分かりづらくて申し訳ないです😢)

たろーまる
たろーまる

お返事ありがとうございます!
①についてはぼく自身も大学で考えたことがあって、
結論を統一することは不可能だと思ったので
どの観点からなのかなって思って質問させていただきました。
グラフのソフトは0の0条は1を採用してるんですね!


数列に関しては自然数nに対してグラフ上の点が
1対1の対応するので、これは関数とは違うため本来は
その合間を埋めることが不可能です。
一方、著者さんのおっしゃる項の挙動の目視化というのは数列を初学とする人にとってはイメージを掴みやすく素晴らしい部分もあると思います。
しかし、ここでの挙動というのはいわゆる指数関数のグラフを挙動として捉えていると僕は理解しましたが、
底が負の値に関しての指数関数のグラフというのはこのようなグラフでしょうか?
(もし、指数関数のグラフを参考にしておらず、
統一して数列の点を結んだのであればその他の挙動が滑らかな曲線を描きはしないと思います。
万一、これが統一性のないものならそれは大問題だと思います。)

というつもりの主張でした。
すごい細かいケチをつけているようで申し訳ないのですが
なかなかこのような話ができる友達なども近くにいないため
コメントをさせていただきました。
丁寧な対応ありがとうございます。
とても嬉しいです。

tomixy
Author tomixy

>>たろーまるさん

貴重なご意見ありがとうございます。

①0の0乗が1となっている点について

グラフ描画ソフトにて、点(x,0^x)を0≦x≦30の範囲で描画した際に表示されたものをそのまま使用しています。0の0乗は不定ですが、便宜上1と定める場合も多いため、特に修正は加えませんでした。

②底が負の値であるときの不備について

『不備』とは何でしょうか。詳しくお聞かせいただければ幸いです( ˃ ˂ )
底が負の数の場合については、
・底の正負を問わず0乗は1とする
・負の数の奇数乗は負の数になる
・負の数の偶数乗は正の数になる
という規則に従って点を表示しています。

①②について総括

数列においてnは自然数(『1以上の整数』の立場)であるため、n=0の場合の点は表示しない方が賢明だったかもしれませんね…後日、修正版に差し替えます。
グラフは、項がどのような値を取るかを読み取るためのものではなく、あくまでも項の挙動のイメージを表現するために掲載したため、細かい箇所に気を払わなかったことは事実です。混乱を招いてしまい、申し訳ございません。

ちなみに、グラフ作成にあたっては下記リンクを参考にしました。
livedoor無限等比数列 : 怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

③p4の不等号の逆数をとる操作について

ご指摘ありがとうございます。0の逆数は定義されないため、表現が不適切でしたね…訂正いたしましたm(_ _)m

たろーまる
たろーまる

綺麗にまとめられたノート読ませていただきました。

気になる点が数点ありますので書かせていただきます。
まず、グラフのページから2点。

a=0の時のグラフですが、いわゆる0の0乗にあたる部分が1の値をとっていますが、それはなぜですか?

また、今回は数列の極限ということなので自然数nに対して点が並び、それを大きくしていくとどこに行くのかについてのお話ですが、グラフとして表されているようですが底が負の値である時に不備があるように思われます。

あとは4ページ目の下方、不等式(逆数とるところ)が細かいですが
誤植があると思われます。

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