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数学

東京慈恵会医科大数学(関数方程式その3)

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ルーシー

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関数f(x)は実数全体で定義されている。f(x)が次の条件[1]および
[2]を満たすとき,f(x)を求めたい。
条件[1]:すべての実数x,yについて,f(x +y)=f(x)f(y)が成り立つ。
条件[2]:微分可能な関数である。
以下の設問(A)および(B)の(1),(2),(3),(4)に答えよ。(A)で述べられた結果は(B)で用いてよい。
(A)関数f(x)が条件[1]を満たすとき,次の命題(A.1),(A.2)が成り立つことを証明せよ。必要ならば,0=a +(−a)であることを用いよ。
(A.1)ある実数aについて,f(a)=0ならば,すべての実数xについてf(x)=0である。
(A.2)すべての実数aについて,f(a)≠0ならば,f(0)=1である。
(B)関数f(x)が条件[1]および[2]を満たし,かつ0を値に取らないようにする。
(1)すべての実数xについて,f(x)>0であることを背理法によって証明せよ。必要ならば,「微分可能な関数は連続である」ことを用いよ。
(2)x=aにおける微分係数f'(a)の定義の式を記せ。
(3)すべての実数xについて
f'(x)=f(x)f'(0)
 であることを示せ。
(4)f'(0)=kとする。不定積分∮f'(x)/f(x) dxを考えることによりf(x)を求め,kを用いて表せ。
(東京慈恵医大)

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