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單元三平面向量 -1-
第三單元平面向量
移動距離:純量
主題一:基本概念 490
位移
向量
> 有向線段 =
方向+線段.
A為始點、B為終點,其長度記為AB,即
將 AB賦予由A到B的方向後,稱為由A到B的有向線段,以
(起)
AB=AB
AB
表示,其中才終奌
> 向量
始奌
向量為只考慮 長度大小和方向的量,不考慮始點及終點,故可自由平移.
有兩種
▶設A(a,az)、O(0,0),若OĀ=ā,則稱(aa)為之坐標表示法, y
記為ã= (asas),其中a,稱 x分量
ã的長度: [al = $a,² + az
9
▶設A(ajaz)、B(b.bz)為坐標平面上兩點,
.
a. 稱y分量
A(a,,a₁)
平移
則AB=
B-A
=
(b₁-a,, b₂-a2):
AB的長度: 1AB1
▶ 向量夾角
=N(b-ai)+(ba-as)²
兩個非零向量ã、五透過平移使其起點重合所夾較小的角日稱之(0°≤≤180°).
▶ 方向角
逆時針夾
1.設p= OF = (a,b),X軸正向與OP所夾之南向日稱為OP的方向角
2.若=OP=(a,b)的方向角為日,則=(cose,sine).
NOTE 2
y
0°≤日<360°
力(牛顿)
P(a,b)
Ipl sine
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水平分力

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單元三平面向量 - 2 -
> 向量名稱
▶ 等向量:兩個向量滿足
長度大小
相等,
,方向相同。
▶ 零向量:長度為0的向量,一般以0=(0,0) (AA)表示,二○
零向量的長度大小為0,但沒有方向。(可視為任何方向) 始奌/終美合的量
▶ 逆(反)向量:AB與BĀ長度相等,但方向相反,記為: AB=BÀ
▶ 單位向量:長度為1的向量,一般以
表示。
1. 標準單位向量:7= (1,0)、J=(0,1)可表任一向量,即ā=(x,y)=x+y李.
2.與ã同方向的單位向量為 Tal
3. 與ã反方向的單位向量為 .
NOTE &
Wanchen

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主題二:向量運算 40
> 加法
▶ 圖示
a
單元三平面向量 -3-
b
已知兩向量:
1. 三角形法(
頭尾相接)位程
2. 平行四邊形法 (共頭)合成
b
a
a
a+b
L
註:平行(共線)時...只能使用ㅿ法!
+
€
若反向?
d
坐標表示法
若ā= (a,,as)、b= (b,by)表平面上兩向量,則ā+b=(a+b
▶ 加法基本性質
1. 交换性:ã+6=6+ā
2. 結合性:(ā+b)+c=ā+(b+c)
3. 加法單位元素(零向量):ā+0=0+ā
4. 加法反元素(逆向量):ā+(-ā)=-ā+à=ō B=一的
NOTE A
d2+62).
方向相同:1+1= | |+| 12-12-1
方向相反:1+1=||-|-|1=+家
、
Wanchen

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單元三平面向量 -4-
> 減法
▶ 圖示
1. 三角形法
a-b
2. 平行四邊形法
2-6
^
b
▶ 坐標表示法
a-b=a+(-b) = (a1-b, as-b₂).
NOTE O
【結論】
1. 合成:任意向量AB,都可以拆解為AP+PB兩向量的和,其中P為任一點,
即AB=AP+PB
2. 分解:任意向量AB,都可以拆解為PB-PA兩向量的差,其中P為任一點,
即
AB = PB-PA AB= AP + PB = -PA + PB = PB-PA
> 向量實數積(伸縮 向量):由長度與方向決定.
▶設=(ag,az)是一個非零向量,為實數,則rä仍是一個向量,定義如下:
1. rā= (ra,, ra₂).
2. 長度:|rā|=|||ä|
3. 方向:若r>0,則rā與ā 同向:
若r<0,則rā與ā反向:
平行,成比例
若 r=0 或ā=0,則rā=0 0.ă或kò均為零向量,而不是。”
4. 實數積基本性質:設、s∈R,ā與b為二任意向量,則:
(1)分配律一:r(a+b)=rà+rb
(2)分配律二:(r+s)ā=rā+sā
(3) 結合律:r(sā)=(rs)ā
Wanchen

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單元三平面向量-5-
主題三:向量內積 490
物理學...
是實韨,而非向量(功是能量、無方向性),頁夾再決定
一個物體在定力作用下產生位移,則該力對物體所做的功W=F-S;
1. 當力的方向與位移方向一致時,做功單純是力與位移S的乘積。
能量变化的过程
2.當力的方向與位移方向有夾角時,做功就不單純是力,與位移S乘積,而與夾角有關。
Ex:對一重物施以與水平方向成30°、大小5牛頓的力,使得重物沿水平方向移動10公
尺,試求所作的功?
5牛頓
【解答】
f的水平分力F為5.00530°
因此所作的功 W=(500s30) 10 (焦耳)
10公尺
向
▶ ä在b上的投影量
b
夾角為銳角
Talcose >0
b
b
夾角為直角
夾角為鈍角
Talus 90°=0
Falcose co
D內積(ào)讀作ā doth,中間符號不可省略. ax古是外積的意思.
▶ 若ã、五為兩個非零向量,其夾角為0,則ã.6=cose
▶ 運算性質具有交換律、 結合律、分配律,但不具有消去律.
1.內積與長度間的轉換關係: ă• à=la²
à· à=lalla|coso°
· ā±²= | |²±²α⋅ b + 161²
角解題技巧
▶ 坐標表示:ā・b=ab+a=bz
【說明】
(a₁₁ + a‚ j ) · ( b₁ ñ + b² } ) = α‚b‚ 12 1² + a, b / g + asb
(亦可用餘弦言証明)
= aibi + az ba
+ b² + 11
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主題四:行列式 400
> 二階行列式
▶形如
la b
單元三平面向量 -6-
] 的式子,稱為二階行列式,展開規定為
mod=ad-bc
▶ 性質:
1.
行列轉換,其值不變。
la bl la
cdb
2.
兩行(列)互換,其值變號.
a b
baab c
dccd
a
3.
任一行(列)可以提出公因数,
la kb
la bl
ka kb
4.
兩行(列)成比例,其值為0.
la kal
la bl
=0
=0
5.
將任一行(列)的元素乘以k倍後加到另一行(列),其值不變。
k倍
a ba b+ka
a
b
; 雇倍 L
c+ak d+bk
NOTE 4
Wanchen

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主題五:應用
D平行(成比例)
單元三平面向量 -7-
兩非零向量ã與6同方向或反方向時,稱ā與6平行,則存在一個實數,使得ā=rb.
Là ll be a=rời lập bi
▶ 行列式計算:
92
=
b₂
91
92
=0
> 垂直(cos90°=0)
兩非零向量ã與6的夾角為90°時,稱ā與垂直
a1bab=0 pp αibi+azb₂ = 0
> 分點公式
設A和B為平面上的兩定點,P為線段AB上的一點,且AP:BP = m:n,
n
m
O為平面上任一點,則OP=
227+几
OA +
m+n OB
0
【說明】
m
AB
A
m
P
n B
AP =
M+n
m
Op-A-(OB-0A)
m+n
op= (1-m+n)A+
m
mtn
m
of
> 科西不等式
=
n
m+n
OA + mth
設ã、五為任意兩向量,則: làxbizlā.1,等號成立於ā6時,
91
=
92 (bib270)
亦即(9+a)(b+62)>(arbitashz),等號成立於
bi
b₂
時
100501≤1
Wanchen
Jai²+ as² √ b²+ b² > a,b,+9=bal
(9,²+0²)(b²+b)=(a,b,+Gob)等号成立:051

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單元三平面向量-8-
> 面積
▶ 若CA=ã、CB =6為兩個非零向量,其夾角為日,則△ABC 面積為:
【說明】 1/101101-1050
二
Tab
小
同
=
=
12116
√√1216)² - (2-6)²+
1. (兩邊一夾角)△= =||||sine
2. (向量)△=
bi ba
= √(ab²)+(abi)²=29,azbibz
3. 平行四邊形面積 =
2× A
= 1/1 √ (a, b₂ = as b₁)²
> 正射影
▶ 在上的投影向量:
a
a
a-c
C=rb b
b
a
b
夾角為銳角
夾角為直角
夾角為鈍角
▶ ä在6上的正射影ㄛ:ā的起點、終點垂直投影到5所在直線上的有向線段。
6
B
2.6
c=rb=(
) b = (
)(
【說明】
(一)
大小 方向(方同向的單位向量)
116 • (α-16)=0
r= a.b
(六在右上的分量)
Wanchen