ページ1:

[1-1]
を正の整数とし、数un}を次のように定める。
U₁ = 2, U₂ = a²+2, u₁ = a 24-2 -Un-y
(n= 3,4,5,-..)
このとき列ひっ子の頃に4の倍数が表れないために、
ひのみたすべき条件を求めよ。
[答] 79 東京大学 理料
neme
今年代の大
問がない
U₁ = ac... -Cha-2 - (1) 22.
さて、 Q30,#1.2(mod.4)である
基地トレーニング
②全称命題(∀)
存在
;) a = 0, 2 (mod_sx) azz
at = 0 (rod. (x) =y
U₂ = a²+2 = 2 (mod. (c) 268
#U₁ = 2 (mad.se) # cag
(8)より
2(med.4)と仮定すると
(3)
36-2 = 4u3-4
-1 xc-1)-2=-1
(-S)
ux=auto-Uk-2-22(mdos) となる
un 2 Cand) である。
ey
数学的帰納法より
Ti) a = 7 d.)
②)より、
=220d
₁ =1+2 = -7 (-s)
== x2-(-7) = −7 (8)
U₂ = -3 = 1X(-7)-(-1) = 0 (md5)
となりで割り切れる
47 (and 8.)
16) α=-7 (~d-8) azz
9=2(4)
U₂ = a²+2 = 7+ 2 = -7 (mod-4)
(()
z = au, -u₂ = -7x2-(-1) = -1 (ds)
Ux = all₂- Uz = -7x(-7)-(-7)=2(4)
us = au; -Uy = -7×(-1)-2 =-7 (-3)
Us = 44 = -1×2 (-7) = -7(3)
となり、KGZとして
[us] = 2 card)
(U36-7 = US =-7()
と推測できるよ
(冬)
=-1x2-(-1)
=-1 (4)
E-1-1(-1)=2
となる。
成立する
(mod-55)
Fizα = -7 (madgjort
un
で割り切れるもの
存在しない。
旬~より
an満たすべき条件は
Tを割った余りは1ではない

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[1-2]
以上の素数とする。
p^-^を24で割ったときの余りを求めよ。
[解答] オリジナル
5,7,11,13,19
***
72-52=240 (mod.24)
112-52=960 (mod.24)
132-112=480(mod.24)
35-312=48×660 (mod.24)
(35-31)(35+31)
数同士では
ないやつ、
必要条件による絞り込み論法
P-&E Prime
P,&定式化するのは不可能
p²-42
↓
〃
アキラメル?
定式化できる必要条件を引っ張り出す。
Pは5以上の素数なので、
(2,3ではない)
2,3と互いに素である整数Xを考えると
24=23×3なので
X=11, 15, 17, ±11 (mod. 24)
の何れかとなる。
よって X2は
i) X = ±1 (med, 24) o± X² = 7 (nod. 24)
ⅰ) X5 (mod.24)のとき X2251 (mod.24)
iii) X = ±7 (m-d24) 9x= x² = 49 = 7 (med. 24)
iv)×三土) (mod24) のとき ×2=121=1(mod.24)
i~ル) より ×2=7 (mod.24) (VX)
ところで、P.&は
{x}の中の適当な2数なので、
p2-7-7 = 0 (mod. 24)
従って
P2-9224で割った余りは0

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1a3は実数で
a+b2=161
をみたしている。このとき、
(1) atbの値を求めよ。
a3+63=44
(2)の2以上の整数とするとき、a+bは4で割り切れる整数であることを
示せ。
[解答] 97′ 東京大学 理科
(1)
'Sa²+b² = 16...Der
03+63=24.②
(2) a+b=0 (mod.4)…(4)
とおく
が成立することを数学的帰納法を用いて示す。
ここで
fatb=s…③
lab=t
とすると
---④
①②③④より
Q2+62=(a+b3-2ab=S2-2t=16.5
I) liter
n=2,3のとき
a2+b2=160 (mod.4)
Q3+63=16=0(mod.4)
となり()は成立する。
a+b= (a+bj-3ab (a+b)=s3-3st=44.⑥ Ⅱ)n=k,k+7 のとき (K≧2)
となる。 ⑤より2t=52-16なので2×⑥に代入して
233-3.5(82-16) = 88
< 3-485 +88= 0
⇔ (S-2) (52+2S-44) = 0
よってS=2,-13-55 となる。
⑤よりは
=-6, 15 F355 (被号同順)
として得られる。
十分性のチェック
さて、a.bERなので
③、④より a,bを解とする2次方程式は
解と係数の関係を用いて
-setto…(虫)となる。
(☆)の判別式 DD≧0であるが、
S=-1±315,t=15F315のとき
D=52-4t
=2t+16-4t
=16-2t
= 16-2 (157 3√5)
=-14±65<となり不適
求めるSはS=2
則5
a+b=2
(☆)が成立すると仮定する。則ち、
a+bx+1 +60(mod.4)と仮定する。
ak+2+bk+2=(a+b)(a)+b+1)-ab(a+b)
今、(1)の結果より atb=2,-ab=6(EW)なので
ak+2+bk+20 (mod.4)である。
これはn=k+2のときも(4)が成立することを示す。
エ)Ⅱ)より、すべての2以上の整数nに対して
at64で割り切れる。
(Q.E.D.)

ページ4:

[2-7]
Qはめくをみたす実数とする。
任意の自然数のに対して、2ndの整数部分をひっとし、
2-7 dan ton
とおくと、
nが奇数のとき≦b/
nが偶数のとき 1/2 くくて
になるという。anおよび〆を求めよ、
[よくない解答] 入試問題正解の解答例
差分評価
b+1=2bm
b+7=24-7
2-1=antba々に2を乗じて
22=2an+26円となる。
i)のが奇数のとき、
なぜ?
0≦bn<1/12より、0≦26m1となるので、
ant=2am
iinが偶数のとき、
1/2 <6mくてより、1くbn2となるので、
ann=2am+7
iii)より、 mEN として、
02m=20mm-7 ・・・①
azmt1=202m+1…②
①②に代入して
a2m+] = 4a2m-7 +7
22=a,tb.
Amt1=4Am
ここで、Qin.y=Amとすると、Asa,Oのもとで、
A7=0
よって、Am
今、n=2m-1のとき m= n1となり、
47=22cm-1)=27-7となるので、
n=2m-7のときan=1/2(2^^-1)
同様にして、n=2mのときan=/(2
7)
・・・(水)
(※)より1/32-30mm
(n=2m-7)
33-6020 くく計+30mm(n=2m)
ここで全てのn(kN)について成立することより、
→を考えて、2=3
本カコモンの極限に入っているが、
使わないといけないのか?

ページ5:

[2-1]
[解答] ⑧⑧ 東京工業大学
®記数法(一意性ではない)
・野球攻め 進法
守り 4進法
時代が同じ!!
・2進法→
頭の悪いコンピュータでも理解できる。
終速スピードがはやい
△10進法→指で数えられる。 イギリス 12進法 すぐれている。
のを2進法で表記する。
Pi=0または1(EN)として、
2=0, P1, P2, P3... Po...
とかける
(2)
(2進法の意味)
よっての
++ + … +
である。
よって
2-7 d = Pax 2-2 +P₂ xp^-3 + + P-7 x7 + + +
an
bn
となるので、
題意より、fan
2bn = 1² + 12 + P+2
=P1x27z+P2×27-3+..+Pm-7 ・・・①
+...
・・・②
となる。
さらに題意より、
奇
n=7(mod.2)のときは 02/2
nio (modo2)のときは //<b
なので
2
②より、
□=7 (mod.2)のときPn=0, Pott···は任意
NO (modo2)のときPn=1, Par...は任意
が成立する
したがって
=1+1+1+1/
=
++
☆無限等比級数
← bnがジャスト 1/2となることはない!
1/2を認めてしまうとヤッカイな話になる。
なぜ1/2を外したか?
東工大の出題者はこれを考えたから
1/2をいれると1/2をこえなくなる。
0.0777 =
0.9999...=7
※1つの数字で表すのは1つの方法
だけではない
姦
一方、anについては、
エ)
(med.2)のとき
an=2^3+275+…+2+
=
4-7
4-1 1/2(21-1)
Ⅱ) neo (mod.2)のとき
an=273+275+…+23+2
24=1/2(227)
4-7