ページ1:

2010.12/17(金)
① (1) x-1 を (x-1)で割った余りを求めよ。
(2)3x100+ 2x97+1をx'+1で割った余りを求めよ。
(3) 3次方程式 X3-3x+5=0の3つの解を
a.B.8とするとき、以下の値を求めよ。
β'+82(α-1)(3-1)(8-1)、の3+133+83
(4) 素数は無限に存在することを示せ.
②(1) 素数と1srsp-となるreZについて、
rpCr
=
Pp1 CH1
を示し、Cr
の倍数であることを示せ
(2) 素数に対して2Pをゆで割った余りを求めよ.
33 正の整数とた(0≦k≦)に対して、
nCkは正の整数である。
次の問いに答えよ。
(1)を2以上の素数といたより小さい正の整数とする。
PCはやの倍数を示せ。
(2) 任意の正の整数nに対し、
(n+1)-x-1はやの倍数を示せ.

ページ2:

40(0.0)、A(4.0)、B(2.2)を頂点とするOABの
5
面積を、直線l: y=mxx+m+1が2等分するとき、
mの値を求めよ。
点はxy座標の第1限象にある。
Pを通る直線lは、x軸、Y軸の正の部分と交わる。
P(a,b)
x
面積Sの最小値と、そのときのlの
方程式を求めよ。
abce N
3a=b3 ... ①
5a=c2.②
deがaを割り切るのはd=1に限るとする(deN)…(*)
(1) aは35で割り切れることを示せ。
(2) aの素因数は3と5以外にないことを示せ
xEN
その形がx+4であるような素数をすべて求めよ。

ページ3:

小問集合
(1)x1を(X-1)で割った
余りを求めよ。
(2)
3x100+2x97+1
(x1)Q(x)+ax
(2) 3x100+2x90+1をx+1で
割った余りを求めよ.
x=iのとき
96
¸ì 100 = (-1) ³° = 1 ¸ ì² = ì (1)³°³ À
(3) 3次方程式 3x+5=0の
☆
2i+4
ai+b…①
10
-1 としないように!!
3つの解をα.B.8とするとき、
a=2、b=4より、2x+4
'+B'+8
(α-1)(3-1)(8-1)、
(3) α3=30-5
x=3x+5=0
+B48の値を求めよ。
B3
=
3β-5
2+3+8=0
J³
(1)
ズーイ=Q(x)(x-1)+ax+b
=35-5
238=-5
x²+ ß³ + 8³ = 3 (α+B+8) -15
aßißt+8=-3
とおくと、
x=1のとき
0 = a+b…①
=
15
#
-3
= (α+B+8)² - 2 (αB + Br+8α)
両辺微分すると、
=0+6
=6
nxm=Q)(x-1)+20(火)(x-1)
#
+a
また、
x=1のとき、n=a・・②
an、b=-n
①.②より、
よって、求める余りは
nx-n
(α-x)(B-X)(87)
-(α-) -(3-7)-(8-2)
237+5=(x-α)(2-3)(x-8)
=(d-x)(B-x)(8)
x=1とすると、
-1-3+5)=(α-1) (B-1) (81)
= -3
#

ページ4:

( 奈良女子大 )
(1) 素数と1sr≦p-1となる
reZについて、二項係数に
ついて等式
rper = ppcm
32
4
カニクのとき
128
18
27
128 = 2 (mad. 7)
7128
58
56
P=11のとき
=20482 (mod.11)
2
2"
128
を示し、PCrはやの倍数で
16
768
どうやら余りは2のようだ!!
138
あることを示せ。
2048
186
(2)素数に対して2Pを中で1112040
(1)
割った余りを求めよ。
pCr=
P(P-1)(P-1+1)
より、
rpor
=
=
ror-1).....1
P(p-1)... (p-r+1)
(r-1)!
px
(p-1)(p-r+1)
(r-1)!
= px p₁ Cr-1
=
194
2
(x+1)
= XP + p C₁ x P1 + p (2 x x² +
+11+
1
この式においてX=1とすると、
2P=pCo+pa+…+
=2+
(1)より 岩
よって、
P-1
Cr
+ PCP-1 + (pCp)
pCrはPの倍数.
SP=2のとき余り0
P>2のとき余り2
(2)
P p₁ Cr-1
p=2のとき
2°=40 (mod.2)
p=3のとき
23=82 (mod.3)
p=5のとき
25=32=2(mod.5)
#
よって、rpCr=ppuCr...(水)
また、1≦rp-1より
repなので、(水)より
pCrは力の倍数!

ページ5:

(早稲田大)
☆フェルマーの小定理☆
正の整数と(0≦)に
対して、nCkは正の整数である。
次の問いに答えよ。
(1)中を2以上の素数とし、左を
Pより小さい正の整数とする.
このとき、PCkはPで割り切
れることを示せ。
(2)Pを2以上の素数とする.このとき、
(1)
任意の正の整数nに対し、
(n+1)NP-1は力で割り切れる
ことを示せ
P(P-1)(P-2)
(p-k+1)
(2) (1)より、
(n+1)P
P37
5-1-1
= N² + p C p₁ N²² 1' + p C p₂ ntr 12
=
+ 111 +
Pn 11 + 1
n+1+PY (Yは正の整数)
よって、
(n+1)-2-1
= (NP + 1+PY) - NP -1
PY
よって、(n+1)-no-1はゆで
割り切れる!!
pCh
=
正の整数
k (k-1).
2.1
=px
M
(P-1)(p-2)
(P-12+1)
k (k-1)
1
正の整数
ここで、とは共に正の整数である
から、PCは正の整数である。
よって、
(P-1)(P-2)... 1も正の整数で
k (k-1) 1
なければならない。(Pは正の整数)
ゆえに、pch=pxX(Xは正の整数)
なので、PCkはゆで割り切れる!!

ページ6:

(早稲田大)
(0.0)、A(4.0)、B(2.2) を
頂点とする△OABの面積を
直線l: y=mx+m+1が
2等分するとき、mの値を
直線lはABと交わることが分かる。
(2.2)
B
(-1.1)
F
E
求めよ。
y1
A
y=x
(2,2)
傾きをみると、1m/1/6 (4)
lとABとの交点をEとする。
B
y=-x+4
→x
0
A
(4.0)
l:y=mx+m+1
C(-1.1) とすると、
CA:
E (e-e+4) とおくと、
BE = (2-e3+ (2+e-4)
=
L-ce-21
(e->f
「2(-2)=12(-2)
mx=+m+1=XF
-1
-X+
1+m
4+1
47 XF =
1-m
4
>> y = - 1/2 + 1/1
CAとOBの交点をDとすると、
XĐ
1/x+14/1
⇒ 570
=-XD+4
x=1/3=yo
△ODA = 1/100 10 sin45°
11+m 1+m
-89) F (1 m. 1 m)
また、-e+4=me+m+1
(mil)e=3-me
3-m 5m+1
E( M+1.
m-34-4
M-1
3-m
M+1
2-3+421
mu)
BE =
m+1
-(3-1)√2 BF=
3m-1
√2
m-1
ク 2-12
△BEF-1/240AB=2
⇒ (1-3m)=2(1-m)
11m²6m-1=0
24.
1 4
23
3
m=
△OAB=
1/2×4×2=4
△OAB > 2ΔODA なので、
3255
11
より
①より、
m=
3-255
17
#

ページ7:

(関西大)
q
0
点はxy平面の
y
B
第1限象上.
P(a,b)
p-a A
P
等号成立
a
b
=
と
①より
2
P=29.8=2のとき
S=zab
→x
l:
2a
x
+
y
26
サ
ΔOAB=Sとするとき、Sの
最小値と、そのときのlの方程
式を求めよ。
A(p.0)、B(0,g)とすると、
l:y=
l: y = $x+8
=-
これがP(a,b)を通るので、
q
q
b
a+g
①
P
ap - 8a+ pq
S-1/12OB OA =
Pq
a
①
+
= 1
①
q
a
b
ob
①
↓
=122
p &
1pg
al
1 ≧ 4
pq
1/218=zab
Szab
サ

ページ8:

(東京工業大)
a. b. C & N
3a=b3
'
5a=c2
②
dがa の因数となるとき、
(2)35以外の素因数d (≧2)
が存在すると仮定すると、
a
=
de A (CAN)
dENは、d=1に限るとする。
(1)aは35で割り切れること
を示せ
3a=b3.5a=c2より、
b.cdを素因数にもち
b=dex B
dの倍数
(2) aの素因数は3と5以外に
ないことを示せ
C =
desc
(1) ①より、
a = 11½ e ³ ≤ N ( © a ε N)
なので、ピは3の倍数
よって、bは3の倍数なので、
b=3h とおくと、
① a=1/3.273=9月3
= 3·(3k³)
ゆえに aは3の倍数
① a=
同様に考えて、
=1/C2CNより
C= 5l とおくと、
a=1.25l2=5l2
5
ゆえにaは5の倍数
以上より、題意はみたされた!!
とかけるので、
3a=b3.5a=cより
3dA== d3e2B3
5 de A = c² = d²² (²)
2式のdの指数を比べると、
er=3ezier=2e3
eiは2の倍数かつ3の倍数より
6 の倍数なので、
e₁ = 6k
このとき、
a = dokA = (db) A
dがaをわり切るのはd=1である
ので仮定(d≧2)に矛盾
よって、題意はみたされた!!

ページ9:

xを正の整数とするとき、
その形が x4+4である
ような素数をすべて求めよ
X4+4
(x++4x²+4) 4x
=(x+2)-(2x)²
=(x²-2x+2)(x+2x+2)
XCEN より
2x+2x2x+2=N
かつ x+2x+2>x=2x+2より、
素数は無限に存在することを示せ
素数が有限でnコしかないと
仮定する。
番目の素数をak(B)
と素すと、
ax02xxan+1という数は、
01.02...an のどの素数でも割り
切ることはできず、
n+1]目の素数となる。
よって、矛盾
x44が素数ならば、
x²-2x+2=1
⇒ (x-1)=0
このとき
X=1となることが必要
x44 5となり十分
=
よって、
5
#