ページ1:

2010.12/10 (金)
① h=tonのとき、
sing、cos、tono を右で表せ。
(但し、キ±1)
2 A (2.1), B(S.S). C(t.o)
AB+BC+CAを最小とするS.tの値を求めよ。
3 △ABCにおいて、
1 = 4 cos A Cos 1 Cos — it.
Sin A+ sinB+sinC=
COS
④ ゼロベクトルでない2つのベクトルに対して、次の条件
が成立するとき、と君のなす角を求めよ。
(A) 1+1=101014
(B)1と112はそれぞれ一郎の整数倍
5 lal=5, 141=3. 101=1
z = a + b + c
(1)
と min
を動かすとき、園のMax
(2)
を固定し、
20をみたすように
でを動かすとき、図のMaxとmin

ページ2:

(1)a≧1.b≧1のとき
①
(a)+(6) ≥ 2 (ah-1) "0
(2) a≧1. bz1.C21 のとき
(a³- 1½ ½) + ( h³- ½³) + ((³-13) ≥ 3 (abc - a ac) "②
①、②を示せ
72x25xy+2y2+5x+ay+2=0
が2直線の方程式を表すように定数 α の値を定め、
各直線の方程式を求めよ。
⑧ 半径1の円に内接し、A=1/5である△ABCを考える。
C
B
A
b
a+b+cのMaxの値を求めよ。
a

ページ3:

(甲南大)
A (2.1)、B(S.S)、C(t.o)
h=ton 1/2 のとき、
(±1)
2k
sin O
1-12
AB+BC+CA を最小とする
co50 =
1+h²
1+h²
Stの値を求めよ。
2k
tang=
を示せ
y
y=x…①
(1.2)
A
【 (ss) B
A (2.1)
→x
(to)
A"
(2.-1)
Bが y=x上の点であるから、
上図のA'B+BC+CA"が最小と
なるようにすればよい。
AA': y=-x+5.②
①②より、XB=/,y=
B(4)
また、y=0とすると、Cx=
C(1/30)
したがって、S=1/2
5
サ
0
tao=ton 2.2
2k
2ton 2
1-12
1-tm
Cosg = Cos 2.1
COS2.0
= 2 CS
-1
2
20-1
1+ton
2
1-h2
・1
=
1+ b²
1+k²
sino
=
tano coso
2k
1+h²
"

ページ4:

△ABCにおいて、以下の式の成立を示せ
sinA+ Sin B+ sin C = 4 cos —
B
Cos- Cos
2
C
A + B + C = π "
①
sin C sin (T-A-B)
= sin (A+B)
cos = cos(11-(A+B)) = Sin A1B
よって、
SinA + sin B+ sin C
A+B A-B+ sin 2.
A+B
2
= 2 sin
Cos
2
2
A+B
A-B
A+B
= 2 sin
Cos
+ Cos
2
2
2 Cos·2 cos cos(3)
- 4 Cos 4 COS & COS —
=
S
C
わ
SC CS
CC-SS

ページ5:

(慶応大)
零ベクトルでない2つのベクトル
に対して、以下の条件(A)(B)が成
[立するとき、と良のなす角を求めよ。
(A) la+ la-a1=101014
(イ)より、
1a1+11² - 2a = q 141²
(B)
と一郎はそれぞれ
の整数倍
=
2
4161+1612-81812
2
121 (p-8+1)
とのなす角をθとすると、
よって、COSO
(P-8+1)
=
2101
広良
Cos O
***
①
=
P-8+1
Tallel
=
25p
(B) より、
(ア)
Tāl² = plat²™
1=1()とおくと、
(p.g€ Z)
(A)より、
(i) (p.8)=(1.3)のとき
1-3+1
1
COS O
=
ニー
2
よって、0= 120°
p² 101² + 8² 1 à 1² = 1011*
(ii) (p.8)
(3.1)のとき
3-1+1
√3
より
650 =
整数ということは…?
2
2
P'+83=10
②
よって、日=30°
#
ここで、とはともに正の整数
の2乗であるから、
(P.82)=(1.9),(9.1)
の場合に限られる。

ページ6:

(一橋大)
1a1=5, 1-3. c1=1
z = a + b + c
(1)
を動かすとき、
図のMaxとmin を求める。
(2)を固定し、
みたすように、己を動かすとき、
図のMaxとminを求める。
=20を
(1)
121 = ((a+α)+c
1-2+2=10+20
25
9
ここで、衣室=
=20より、
1-40+25=10+2
1=25+20
〃
Case
1
Hella lelle d
-3 ≤ b ≤ 3
よって、19≦25+2=31
⇒19≦=31
√19 ≤ Z ≤√√31
よって、のMaxは91
Max 531.
min 19
また、
何より、
#
1+1+1-18
| ¯ ] = [ à + ( è + ¯) | ≥ |α-₁₁₁+c
☆important
lal-(+) = 1
割
よって、国のminは1
#
(2) Z = a + b + c
→ Z-α = b+c
+27. 12-α1² = 1e² + c 1²

ページ7:

(早稲田大)
(1) a≧1.b≧1のとき
(d)·(e²) ≥ 2 (ab)
(2) A≥1. b≥1. C≥1
(左)(右辺)
= a²+ e²³+ c³ - 3 α b c - (1² + ½ + ½ ½³3-)
=(a+b+c) a²+b²+ C²-oh-hc-ca)
1.11 1
1 1
- (à è + 1 ) ( à è cé à a ec (a)
(a²³ 1½³) + ( e²¯ 1 ) + ( C³ 11 ) ≤ ³ (abc-o (c)
(1) (左辺) (右)
ここで、
a≧1, b≧1、C≧1 より、
1 1
A+ b + c = 3 ≥
+
1
2
a
=
a-
-2ab+
h
a
ab
- (à ———² )² + (a-e)²
=-
=
a
(a-e)² + (α-e)
a²C²
=(a-a³ (1-0)
= (a+b) (1+ a) (1-a a) 20
ŏ
(az1.1より11)
よって題意はみたされた!!
(2)
Hint
a²³+ b²+ C³-3abc
= (a+b+c) (a²+b+c²-ob-ec-ca)
(1)より、
(a²¯ ½ ²) + (e² — —² ) ≥ 2 (0-14)
(b²=)) + ((--) 2 2 (oc-ec)
+) (c²±²²) + (a²¯ ½³) ≥ 2 (ca-ca)
1 1
1
W
(1)
C
-
1
> 2 (ah + hc+ca da é c
ab
a+b+c-ab-bc-ca
=
a²
-
1
1
é é a e le ca
-
(a)
{}201
①.②より
題意はみたされた!

ページ8:

2x-5xy+2g+5x+ay+2=0
が2直線の方程式を表すように定
数a の値を定め、各直線の方
程式を求めよ。
☆2x-5xy+2y²+5x+y+2
>がxyの1次式の積の形に
C=2のとき、b=1, a=-4
よって、
・a=1のとき、
2x-y+4=0.2x-4y+1=0
a=-4のとき、
2x-y+1=0、x-2y+2=0
・因数分解するようにする。
2x25xy+2y=(2x-y)(x-2y)より、
(与式)=(2x-y+b)(x-2y+C) ・・①
①の右辺を展開すると、
2x5xy+2y+(b+2c) x-(2b+c)y+bc
両辺の係数を比較すると、
b+2c=5
・・・②
-(2b+c) = a
... ③
④
bC=2
②④に代入すると、
2C-5C+2=0
(2C-1)(C-2)=0
C=1/2.2
C=1/2のとき、b=4.a=-

ページ9:

半径1の円に内接し、A-1/2である
△ABCを考える。
a
C
h
a+b+c の Maxの値を求めよ。
A+B+C = π
B+C =
よって、
2sin B+2 sin C Max 172√3
ゆえに、
2sin Atsin B +2sinc
=
a+b+c
のMaxは、
√3+2√3
= 3√3
π
(1)
a
C
=2.1=2
Sin A SinB
Sinc
J3
a = 2 sin A
sa=
b = 2sin B
C = 2 sinc
For" sin A+SinB + sin C &\""
Maxとなるとき、a+b+cもMaxとなる。
SinB + sin C
= sin B + sin (π-B)
= 2 sin
B+-B
28-24
B-+B
Los
2
2 sin cos (B-)
+
わ
SSC CS
CCC-SS
13 Cos (B-) ≤√3
51