ページ1:

補充105學測
(1) 圖 13 所示為一種打樁機的簡化模型,它可藉由鐵塊從靜止開始自由下落,將鐵樁 打入堅
硬的岩層中,其中鐵塊最初高度為h,而鐵樁露出地面上的高度由h.減少為 h。已知鐵
塊與鐵樁碰撞後瞬間合而為一,若針對不同的hi 與 h:組合,測得的(h-hz)對(h-hy)
的關係如圖14所示,則下列推論何者正確?
(A)鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離成正比
-鐵塊
-鐵樁
h-hz
(B)鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離無關 h
(C)鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離成正比
th,
(D)鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離無關
h2h3
(E)在鐵塊與鐵碰撞瞬間的前後,兩者的總動能相等
圖 13
圖 14
(2)
(A)
(B)
KAK
h-h
0
h₂-h
h₂-h
hz - hy
承上題,若h保持定值,但以不同h.進行打樁實驗。假設鐵樁與鐵塊碰撞後合為一
體並以最初速率v進入岩層,則下列何者最接近v對(hs-hs)的正確作圖?
(D)
(E) 0 hz - hy
V
V
(1)f(hz-hz)
M
=
mg. (h.-h₂).
m+M
∴十為常权
Ans:(B)
正比(如图)
M
· (2) 1/2 mv.
m+M
= f(hz-hs)
y²=kx
Ans:(C)
x

ページ2:

※※mz靜止時之動能轉移:
MaExl
Ex
=
4 M, Mz
(m,+m.)²
證明:
2m.
AEK
M₂
m.tma
4m.ma
=
Ex
m, v₁²
(m+m2)
1
註:(mm) ≥0 m² + me -2mm2 ≥ 0
m²+2mm+m²≥4mm (m+m.) ≥4m.mz
m.m.
< 1
(m,+m.)²
m₁ = m₂ =>
m, <<m₂
mi » Mz
介
Ekl
Ex
EK
Ex
= 1
= 0
m₁
25
M2 V2
2.碰撞过程:
>
2000000000
(1)兩物體相距最近時,速度相等(=質心速度):
m₁ v₁ + m² J₂ = (m₁ +m₂). F
+m
=
=
m₁ + mz
Σm
系統(总)Ex最小=質心 Ex
=
(m+me)
m, v, m2 V
m + ma
(系統(总)EP最大=原本Ex-質心 Ex
說明
:
=
从品
[mu²+m]-(mm)
2
1
1
1
令
=
+
⇒
从
仆
縮減質量
mi mz
(內動能)
(2) 若vz=0(m2 靜止):
m,
V₁
mz
m. v, + m₂ V₂
=
m₁ + m²
m.mz
2m+m2
-- (v₁-V₁)²
◎总動能=質心 動能+內動能
質
2
E₁ = (m+m.) [ mv₁ + m.) 2 = m² Exi
Ek 1
m₁ + m²
m, +ma
m₁
M₂
位能(內動能) = Ec-
EKI
FK 1
Mi+mz
M₁ + Mz
◎ 動能分配<
反比
·質量
高二一
一物理
不受
个
位能

ページ3:

【例題六
如图在光滑地面上,滑車m,与的速度与靜上的m.車發生正向彈性碰撞
> (m.me, m.有長毛、彈力係和為K之彈簧),則:
> ma
(1) = 車最接近時速度大小均為何?
(2)二車最接近時二章之動能和為何?
=
(3) 彈簧的最大弹力位能為?
(4) 彈簧的最大壓縮量?
| (5) 碰撞过程之時間?
(6)並撞後m,所獲得之動能?
e=1
m₁
0
mmmmm m₂
oo
(1) m.v. + 0
= (m+m.)U
v =
m, U.
m₁ + m²
(2) 1 (m² + m²).
2
M, V,
m + ma
=
m. v...
m. +mz
(³) 1/2 m, v² - 1/2 m, v₁².
mi
m₁
m,+ ma
=
m
位能
mg+ma
(4)
kx
zkx²
kx² = min
mf + mz
m.mz
x
x =
U
x
(5) ㄤ = 2.27匹
=2π
(6) Exz
=
k
m. ma
k(m+mz)
=+
1 k (m₁ + m²)
从 m m.
2m.
V₁
=
m.tmz -(m+m.)2
V₁

ページ4:

[問題]
查氏用下述实驗發現中子,以粒子打擊金屈產生未知無帶電的粒子。此
未知無帶電粒子义和氨氮和氮的原子核彈性碰撞後打出氫氣的原子核,查氏量
J和入射x粒子同一直線上射出的氫和氮的速度(Un及Un)之
(設氮的原子量為14)
√H
中 (1)
H (1)
0
2.1
VH
1+1
15
=
= 7.5
N(14)
UN
†(1)
Vy
2.1
1+14
例題二
「如图,A、B、C三球形狀相同,質量分別為m.2m、8m. 桌面光滑,所有碰撞均
為完全彈性,A球以下速度前進,則所有碰撞結束後B球速度為.
丁。
/m.(号)+2m.
= m.v (fo)
A
A→B:
BY C
m-2m
VA
=
v
m+2m
Ans:
2.m
UB
v = 1 v
FF
m+2m
B
B→C:
2m-8m
2
VB =
=-
B→A:
2m+8m 3
2.2m
vc= 号
2m+8m
v= v
例題三:75日大 大】
" 2m-m
UB =
2m+m
2.2m
2-m
+
=
2m+m
45
m-2m
19
-v=- v
2m+m
2m+m (~3/v/+
二單擺,擺長均為,擺錘質量分別為m,及me,今將m,拉起至水平狀態後放開
,使与m產生彈性碰撞,m反彈至原來一半高度,則/m之值介於下列哪一範
m.
m2
圍之中?(A) ≤0.1 (B)0.1<
mi
m2
mi
l
M₂
m₁
m2
m₁
0.5 (c) 0.5< $ 1.5 (0) 1.5<<2.0 (E) 2.0<
=
-1=
mm.
m. +m.
m.m.
my+ma
m. √2-1
m₂
=
√2+1
vege
-√2
=0.2 Ans : (B)
m₁
m.

ページ5:

例題七
如图在光滑地面上,子彈質量m,以v的速本擊中靜止的木塊質量為m2,
(最後停止给木塊中),若子彈5塊間之阻力固定為f,則:
(1)子彈打入木塊後,整体速率大小為何?
(2)子彈打入木塊後,整体的总動能為何?
(3)系統所產生的热能?
(4)+彈打入的深度?
(5) 碰撞过程的時間?
(6)木塊所獲得的動能?
m₁ V₁
e=0
m2
M, V,
(1) m. v, + 0 = (m₁+m²) v
v =
my+mz
(2)/(m+m2).
2
m. v,
m, +m₂
·m, v₁
mg+m2
(3) 1/2 m, v,² - 1/1 m. v.
m₁
=
m₁+m₂ 2
·m,'
-熱能
my+m2
(4) fd = //m.vi. m+ me
Mz
d =
F
(5) m:
m₁
ormz:
£.
ma
P
fd
x
↑
=
Ma
v
mom. Ví
2f (m. +m₂)
mv
m₁ +m₂
=v=
土力
mi
地
⇒ Ex÷0
∵Exm金热能/
∴分配→反比/
v
m,vi
my+m2
m. m. v
= V + -t
m2
ㄤ =
f(m₁+m₂)
(6)/zmz.
M.V
m+mz
=
mim
2(m, + m.)2

ページ6:

3.斜向彈性碰撞:
(二維)(平面)(非正向)
ㄧˊ
m, v₁ + m. v₁ = m, v₁' + m.
1½/m, v³² + ½ m. v³ ³² = 1½ m. vi² + ± 1 m, vi²
【※註:一物體与另一質量相等之靜止物體支斜向彈性碰撞
⇒分開後之運動方向互相垂直。
說明:
m. J
=
m. +mu
/m²/m²+....②
(1):
√ = '+ ⇒ 三者可構成一密閉三角形
2
②:+⇒去
=
兩股
【非弹性碰撞】:
-1.完全非彈性碰撞:
国子彈→木塊
(完全不分開)
mz
if Uz=0⇒熱能=
Exil
my+m2
說明:
m, i + 0 = (m,+m2)ㄜˊ V=
mi
M. +mz
m.
Wg = 熱能 = z muì -z (mi + m.): { mm v ] = = m v ² m²
+ M₂
Ma
my+ma
(f.d).
非完全彈性碰撞:
(不完全分開)
(1) o<e<1: U分離<U接近
(2) 部分 Ex → 熱能⇒力學能守恆

ページ7:

-
【例題+一 【80日大】
三質美在原奌发
守恆
碰撞而結合為一体,其質量及速度分別如下图所示,則在此碰撞过
程,損失的動能与碰撞前的总動能之比值為
m
3mU + 2・m‧(-v) = 5m.v'v'=
√20
1
3m
45°
5m
訓
·3m-v² +2⋅
m.
·5m.
2
=
45°
+3m+2m (√20).
√2V
十二
例題+【18日大
34
m
Ans:
85
34
35
AB=小球質量均為m,設A球以v之初速与靜止之B球作非正面之彈性碰撞,碰撞
後日球運動方向与原入射方向之夾角為+30則B球碰撞後射出之方向与原入射方向之夾
角為(a),其速率為(b)(以表示)。
m
v
m
A
B
m
A
(小)=
VA
(a) - 60°
(b)
m.Ue sin30°=m. We sin60°(鉛直向)
mv=me cos 30° + m.ve cos60°(水平向)
VA
=
=>
VB =
(x) = √√√√
(角度→ Ans)

ページ8:

第九章碰撞
〖碰撞分類】:
恢復係已產生热能 力學能守恒[Ex守恒
(Ek=Ep)
(完全)彈性
e = 1
x
✓
✓
非完全彈性
o<e < 1
非彈性
✓
x
×
|完全非彈性
e=0
註:(1)e =
VV(恢復係权)
V₁-√2
e = 1
⇒分離=接近,
(2)所有碰撞皆∑戶守恆、能量守恆
【彈性碰撞公式】:
1. 正向碰撞:(直線)(一維)
me
V₁- V₂
√2
V₂
mi
m2
e =
(遠離)
V₁ - V2
(接近)
v
m₁ - m₂
v =
V₁ +
m₁ + m²
2M2
m,+mz
√₂
m,
2m,
=
V₁
+
Vz
M₁ + m₂
m₁ + m²
說明:
m. v + me vs = mv' + mzvz'
⇒ m, (v. - v') = M₂ (V₂- √2)
mv+mv=m² + ½ m² = m. (vv.³) = m₁ (v²²-v₁²) —
⇒ U + U' = vz'+ Uz⇒v=V+V'-让代入
:
1 m, v₁ + m₂ V₂ = m, v,' + m² (v. + V,'- V₂).
mim.
2m2
+
m₁ +m₂
同理可得2'=
2m.
V, +
m+mz
m₂-m₁
mi+m2
V2
v= = √₂
v₁ =
討論:(1)m=mz ⇒
V₁₂ = V₁
(2)m² 靜止(z=0)
m.-m₂
mtmz
V.
V₂
2mi
m, +m₂
V₁
m, = m₂
0
Vi
m> m
> 0
> O
m. < m₂
<0
> 0
“互换”
m. >> m₂
V₁
2√
m, << M₂
- v₁
0
(穿透)
物理

ページ9:

[例題+五
-
-小球被擲向光滑之地面後反彈跳起。在碰撞發生前後,其入射速度及反
彈速度分别与鉛垂線成夾角日,500(如图所示)。若反彈过程為非彈性碰撞,
小球剛反跳時的動能降為碰撞前瞬間動能的一倍,其中C 21 - 則
Sin 02
之 值為:
sin 01
(A) = (B) = (C) √C (D) C (EXI
5
8 0₂
光
+mv²
=
言
Using = MUzsinz
sino z
sino.
=
V₁
Uz
=
Ans:(C)
「補充一鉛直面圓周運動【11日大】
「一單擺長見,擺錘質量m。今將肌拉至擺線在水平之下30術向之位置(如图),
「放開,當m擺至最低走時,与一質量為2m的另一靜上小球支生正向彈性碰撞
(1)若m52m為彈性碰撞,則碰撞後m可反彈多高?
(2)若m与2m碰撞後,合為一件,則碰撞後的一瞬間,擺得張力為多少?
L
30°
(mg.sh = ½ mv² v =
= vegah)
m
b
3m v
.3mg
(七)
2m
(1) v':
m-2m
e
=
=
128.2
m+2m
-
31
im(g)=mgh h=1&
18
m: √2g. 1 = (m + 2m) v' v² = 3√ ge
(2)m/28/
(
10
= 3m.
T = 1/3 mg
e
T-3mg =

ページ10:

例題入
如图所示之衝擊擺实驗中,小彈水平射入木塊並嵌入其中,設子彈質量為
m,木塊質量為M,且木塊上升的高度為H,則在整個过程中,系統內的力
學能支化為何?
710€
例題九
M
v'=
m+M
m
v
m+M
⇒ (m+) H
mv = (m+M) v'
剩餘Ex=/zmv.
m
1/100 = mv
m+M
H热
M(m+M)
H热
(m+M)gH
m
m
gH
Ans: 產生热能/力学能減少M(m+M) gH
m
[質量m之子彈以初速水平射入靜置於光滑平面上長度為L,質量為之塊,子彈
可深入木塊之距離,試求子彈效貫穿木塊之最小初速為何?
fd = — m² v² m²+M
os
V.
M
V
Ans: v = ev
V₁
:
【討論】。已知芰特質量M<F塊固定,則+彈可深入市塊之距離為山,若木塊可冷
光滑水平面上自由移動,則子彈可深入塊之距離為d。試求與忆
之比值
M 固定:fd = m²
Μ § § : f'd² = ½ mv.².
d₁ m+M (大)
M
m+M
=>
=
(2)
dz
M (小)

ページ11:

例題四
如图,質量為m,之物體与質量為mz之物体碰撞後反向運動,且m,再与
牆壁碰撞後,速度5m速度相同,若用物体与宋面間無摩擦,且餐
「以碰撞皆為彈性碰撞,則冊=
(m <mz)
m2
v
(靜)
=>
2
m.
m₁ - m₂
2m,
v=
m₁
V
=
m+m2
v,'
m₁ + m₂
M₂
V₂
'm₁-m₂
1
Ans:
:mm:
3
(1.5)
一次
補充 質量相等,速度互換
A球在高20米處自由落下,同時將質量相等 B球自地面以30%向上拋出,兩
|球在空中作正向彈性碰撞,若不計空氣阻力,則兩球著地之時間差為. 秒。
mr = mz ( Us = 0) ⇒速度互换(穿透)
A
25~ 20m
~ 6 $
6-2=4
Ans:4秒。
业
30/8.
設有一子與一靜止之鉛原子核(質量約為中+2206传)作上面彈性碰撞
-
,
則碰撞後中小損失之動能約為原動能的:
(A) 0.20% (B)1.9% (C) 25% (Þ)99%
1
PL
206
|△Ek| 4-1.206
Ex
=
(1+206)2
◎懸殊比例之4倍。
206
Ans:(B)

ページ12:

例題十三
光滑水平面上,有A、B、C三個等大小與等質量的球發生彈性碰撞,已知A球
的初速為10%,而B.C兩球原為靜止,如图所示。試求碰撞結束後,各球
「的速度量值為何?(不考慮球面間的摩擦力)
$
B
m10 = m.va + 2m.vcos30°
V₁ = -2 1/5
/ m-10° = / m.v² + 2 + m.va
√ = 4√3 775
JA
V
例題十四
光滑水平面上,質量皆為m的圓盤与圓环发生彈性碰撞,已知圓盤的初速為心
而圓环為靜止,若圓环的內壁光滑,則:
(1)第一次碰撞後,圓盤圓环的速度量值吝為何?
(2)圓盤与圆环发生第二次碰撞的位置為环上何處?
(3)若圆环半徑為尺,则第一次与第二次碰撞間隔的時間為何?
m
v
m
(女)
v
=>
(v)
(1)
mv=m.vn-cos60+m.U盤.cos30
R
m Uit Sinbo = m. v. sinbo (可略)
=
↓
(2)最左边
(3) t =

ページ13:

【補充(96指考】
「以質量為M的鐵鎚水平方向正面敲擊尺釘,欲將長L、質量為m的鉄釘
重亙釘入牆內,若鉄适每次均以相同之速度比敲擊鉄釘,敲擊後鉄鎚与
【鉄釘一起運動,使鉄釘進入牆內一段距離.設鉄鎚与鉄釘碰撞过程所經
「 的時間極短,可以忽略不計,且每次鉄釘被鉄鎚擊入牆時所受之阻力,均為
前次阻力的几倍(n>1)。忽略重力,回答下列棗+題:
(1)鈇鎚敲擊到鉷釘一起運動時,兩者的总動能為何?(以M.m.v.表示)
(2)如果釘受鉄鎚敲擊兩次後就完全釘入牆內,求證第一次敲擊的阻力為
F. = M²±²(+)(1++).
(3)若第一次敲擊時,釘入牆內的深度為山,當小夠大,則敲擊若干次後,鈇訂會
1-
完全進入墙内,求澄若山>L(一元),則釵釘才有可能在有限次的敲擊後完全
被釘入牆內。
(1) MU. = (M+m)v' v' =
M
V
M+m
(2)
M
E₁ = ½ (M + m) ( 1171 m v.)]² = 1½ MU²
MV
FLI
=
2(M+m)
M²²
M
M² V²
M+m
2(M+m)
n. F. L₂ =
2(M+m)
. Fi
=
Li + Le = L
(3)
Fid₁ =
M* V²
2(M+m)
n F. d =
M*V.
2(M+m)
d₂ = di
2.
ds = d
n² F₁ · d₂ =
MV
2(M+m)
L2
n
= n
n+1
L代回②
M²V.²
211) (2) (1+1)
2(M+m) 1
又 di + dz + ds + ……>L
(di+de + d3+...+dk = L)
⇒d(1++++
n
無窮等比
1
di
di
>L
n
d₁ > L
1-