単純な式ですが、証明は難しいですね。エレガントに証明できれば公開していただけないでしょうか。

なるほど！！

いろいろご指摘いただきありがとうございます！！

k=n+3とおくとn+3Ｐn＞2^nは言えますが、nＰn＞2^nを示したことにはならないのかなと

k≧4でk！＞2^kが成り立つと仮定して、両辺に(k+1)を掛ければk+1＞2なので、(k+1)！＞2^(k+1)が成り立つことがわかり、簡単に大小関係が証明できると思います。