今回だと、24/37=0.648648648…と、「648」が繰り返されています。

6になるのは、小数第1位、4位、7位…です。つまり、小数第3n+1位です。
(今回は、nは整数とだけ言っておきます。答案に書く時は、きちんと定義してください。)
4になるのは、小数第2位、5位、8位…です。つまり、小数第3n+2位です。
8になるのは、小数第3位、6位、9位…です。つまり、小数第3n位です。

ここで、小数第50位を考えます。
50=3×16+2なので、小数第50位は、小数第3n+2位の、n=16の時だとわかります。よって、小数第50位の数字は4です。

有理数、つまり「(整数)わる(整数)」の形で書ける数は、割り切れない時でも、必ずどこかから同じ数のパターンが繰り返しあらわれます。
例えば1/3=0.333333…ですが、これは「3」が繰り返されています。
6/11=0.545454…で、54が繰り返されています。
つまり、繰り返しの単位さえ把握すれば、小数第100000000位でも簡単に出せるということです。

次に、15の(1)は、循環小数の話です。

わかりにくかったらまた質問してください！

とりあえず、様々な進法がごちゃごちゃに出てきたら、10進法に統一すると式が立てやすくなる時も多いです。