微分積分Ⅲ ①

珊瑚（・∇・）

Senior High3

微分積分2の教科書p1〜
問題集1〜

2026.04.07 公開

高専数学微分積分

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ノートテキスト

ページ1:

1章 関数の展開
4 関数の展開
①1 多項式による近似(1) 2
No.
Date
微分係数の定義式
lim
f(x) fla)
=
= fla) より
→a
λ-a
人がのに十分近くなるとf(x)-f(a)=f(a)
フレーの
これを変形すると
foo-fia) = f(a) (x-a)
fu=f(a)+faa-a)
f00aにおける1次近似式
1 fla)+f')(スーの)は=f上の点(a,f(a))に
おける接線の方程式
例1 f00とすると、foo=1/1よりfw1f0702/2
よって既における1次近似式は
fu)
+f((2-1)=1+1/(x-1)
1/3+1/x
すなわち、九が十分近いとき
(
また、1次近似式を用いて小の近似値を求めると
何≒1+1/2(1.1-1)=1.05
12:007
$1
KOKUYC

ページ2:

No.
2
Date
P3 問1 次の関数の()内の点における1次近似式を求めよ
(1) f(x)=sint
f(0)=Sino=0
(x=0)
f(x)=cost
f10)=1050=1
これよりx=0における1次近似式は
f(0)+f/10)(x-0)=0+1(オー0)
よって Sinスミス
f(x)のx=aにおける
近似式
ff(a)+(a)(-a)
(2)9(火)=x
(x=1)
g (1) = 1.πT = 1
=
92
·gʻ (1) =
3
2
これよりx=1における1次近似式は
9(1)+g'(7(オ-1)=1+2/2/(x-1)
13.
1/2+2/2x
よって大≒-1/+
+1x
週 P31. 次の関数の()内の点における1次近似式を求めよ.
(1)f(カ:e3x(x=0)
f(0):ピ=1 f'(x)=3e3xより f'10)=36:3
これよりx=0における1次近似式は
f(0)+f'(0)(1-0)=1+3x
よってex=1+3x
Campus

ページ3:

P31.
(2)f(x)=tan-x(x=1)
f(1)=tan-11
y=tarltony=1
y = 7
Date
X (1.1) ['y tan^x => x=tan of
(tan+x)=1+x=
=
匹
4.
f'() = 1 + x² 8" f'(1) = ½½
これより x=1における1次近似式は
fo+f(x-1)+1/(x-1)
元
+0-107-07
· 8,7 tan^x = 1 / 1 + 1 = (x-1) ut tot
4
1次式による近似
f(x)=f(a)+fla)(x-a)+
ε₁
ただし lim
=0
xax-a
P3 例2 f(x)=「とすると、例はよりx=1における1次近似式は
仮≒1/2(-1)=1/3+1
f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+e.の等式で表すと、210gの闇の
1=1+1/2(x-1)+2、ただし 22:0
lim E 0.
7717-1
2次式による近似
f(x)
fox = fra) + f'rax(x -α) + F" (a) α- α)² + E₂
t
2
ただし lim&2
=0
770x-00
ひがのに十分近いとき、次の近似が成り立つ
f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+
"(a) (x-a)²
2
fia)キロのとき y=f(a)+fra)(x-a)+
f(x)のx=aにおける2次近似式
f0103は曲線yofu)上の
2
点(a,f(a))において、y=f()のグラフに接する2次関数
KOKUYO

ページ4:

Date
P5 例3 f00=仮について、例2よりf(x)=f(a)+f'(a)(xa)+Eの等式で表すと
=1+1/(x-1)+1.
だから
f" (x) = - AT TEN'S f'" (1) = -
これから、x=1における2次近似式は
f)
F(1) + f'(a) (x-1) + f (a) (x-1)² = 1 + 1/2(x+1)- 18 (x-17
2
f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(メーの3+この等式で表すと
1=1+1/2(-1-1/2(-1+Ez
また、2次近似式を用いての近似値を求めると
=1+1/2(1.1-1-1/8 (11-13=1.04875
0
-y=√x
7=1+1(x-1)
1+1/2(11/1
x
P52 次の関数のx=0における2次近似式を求め、等式で表せ
(1) ex
fc=exとするとf10)=ピ=1
f1(x)=ex より f110)=ピン1
f(x)=(exy'=ex より f(0)ンピン1
x=Dにおける2次近似式は
f(x) = f(0) + f'(0) (7-0) + 20 (1-0) 27
2
Campus
ご+x+1/2
よってex=1+x+2/+2、ただし10/20
2.

ページ5:

P52
(2) Cost
f(x)=cost:f10)=coSD=1
f(x)=-sinx, flo)=sino=0.
f" (x) = - cosx, f"(0) = - COSO = -1
x=0における2次近似式は
f(x)=f(0)+f'(0) (1-0)+5/07 (10)
f'(0)(2-0)+f70(オーロ) 254
= 1 - 1 1/2 = x²²
2
$27 COSX= |¯ \X²+E2 FEL lim Cz
(3)六
f(x) = √x = (1-x)+, fro)= |
f'(x)= -(1-7)²⋅(-1)
= (1-2)²
f(x)=1
f'(x) = −2 (1-7)™³· (-1)
f(x)=2
12=0
No.
56
Date
=2(1-103
x=0における2次近似式は
f(x)=f(1)+f(0)(スー0) +
=1+x+x2
₤102 (1-0)²
2
(1+X)(1+x)=(x+(C)
CE)
よって1=1+x++ュ、ただしling=
P32. 次の関数の入=0における2次近似式を求め、等式で表せ
(1)f(オ)=COS(九+π)
f(0)=COST_____F(a) = -SIN(+1) -
=-107 f'(0) = -sint
=0
501
GO
CI
0-1
to to
010
f'(x) == COS (X+T) SA
f"(0) - COSTL
= -
(
=1
・次のページへKOKUYO

ページ6:

No.
Date
6 2.
P32(1)続き
x=0における2次近似式は
に
f(x)= ₤10) + f'(0)(2-0) + (0)(x-0)² + E₂
=-1+1/x
C2
よってCOS(Z+π):-1+1/2x+2、ただし1/12=0
E2
(2) f(x)=
-x
fα) = (1-x)) = ½²²
f000=1
f(x)=1/2(1)(1) 1(0)=1/2
(1-x)-
3
f(x) = -22. — —≤ (1-x)=-1/-(+) ₤"(0) = 1/4
号(ハース)
x=0における2次近似式は
よって
f(1)
f(x) = f(0) + f'(ox(x-0) + f (0) (x-07+E
f00=f10)+f'10)(x-0)+
・1+1/x+音が
• = 1 + 1 x + x² + E₂, KK l lim &² = 0
(3) f(x)=(x+1)log(x+1)
f(n) = log1=0
f'(x) = (x+1)/log(x(+1) + (x+1) { log(x+1)}"
= log (x+1) + (x+1). + f'(0)= log 1 + 1
= log (x+1)+1
1.
f(x) = x1 f(0)=1
L
X=0における2次近似式はf:ff1000)+400(オー03+2
Campus
5-7 (x+1) log(2+1) = X + ½ x²+ &₂ FEL lim Ex =0
→0x2

ページ7:

No.
78
Date
1 P32
(4) f(x)=sinx2
f(0)=sino=0
f'(木)=2xcosx2f'10)=0
f(x)=(2x)'COSX2+2x(COSX)
さ
= 2 COST²+Zx⋅(-2xsinx²)
2cosx-4xzsinx²
f(0)=20050-0
=2.1
= 2
x=0における2次近似式はf(=f()+f(0)(1-0)+40003
=
5,7 Sinλ² - x² + Ez_ EEL lim 12 =0
ただし
2
P53の大=1における2次近似式を用いて、初の近似値を小数第3
位まで求めよ.
fとすると f01=1
f(x)=1/35x1/21f100=1/3
f(x) = - — x ≤ 811 ƒ"(x) = — — —
これよりx=1における2次近似式は
f(x) + f'(x) (x-1) + £ ³ ³ α(−1)² = 1 + 1 = √(x-1) — — — —√(2-1)²
19=sinxでズームとすると
1=sinu, u=x2
dy, de de
dx
=cosu-2x
=2xcosx2
よって≒1+1/3(スーリー (X-12
9
これを利用して
| || | = | + |— — (1.1-1) — —— (1,1-1)
9
=
=1+1/3.0.1-1/21.10.1)2
9+0.3-0.01
9
=1.0322
1,0322
9)9.29
929
27
20
18
20
2
よって狐の近似値は1,032
KOKUYO

ページ8:

10.
85
Date
5 P3 3. f(x)= log(1-2)のx=0における2次近似式を用いて、log 0.9の
近似値を小数第3位まで求めよ
foo=log1=0
flox)=-==-x 8") f'(0) = -1
f"(x)=-(x-1)-² F" f"(0) = -|
これよりx=0における2次近似式は
f(0) + f'(0) (x-0) + 810) (1-0)² = -x--x²
2
20
よってlog (1)≒ーカー/1
2
-
これを利用して Morg 0.9= log(1-0.1)
⇒ - 0,1 - 1 1/2 * (0.1)²
-
=-0.1-0.005
= -0.105
したがってlog 0.9の近似値は-0.105
④2 多項式による近似(2)
次式による近似
f(x) = f(a) + flax(x-a)+ ₤"(a) (x-a² +
f(x)=f(a)+fla)(x-a)+f(a)
2!
+
f(a)(x-as+En
n!
ただし-lim
En
=0
70 (x-9)".
(六)
=-(x-1)-2