ページ3:

4. 點到平面之距離
Answer: 點到平面之距離的定義與計算方法
木百肉质
日以个安點:
• 定義:點P 到平面 E 的距離,是 P 點與平面上
各點連線段長的最小值,等於 P 點與其在平面
上投影點的距離。
求法: 可利用向量投影長度,或直接套用距離公
式。
距離公式:點 P(xo, Yo, Zo) 到平面
E:ax+by+cz+d=0的距離 d 為:
|axo + byo + czo + d|
d
=
Va² + b² + c2
平行平面距離: 兩個平行平面
ax + by + cz + dq = 0 與
ax + by + cz + d2=0的距離為:
-
|d₁ = d2|
d=
√a² + b² + c²

ページ4:

這段文字總結了三元一次聯立方程式組的公式解法
及其解的判斷準則。
使用行列式 A、A、、A、A、來表示方程式組
的係數與常數項。
若△≠0,則恰有一組解。
'y'
若△ = 0且 Ax, Ay, A 中至少有一個不為0,
則無解。
若 A = Ax = A, = Az = 0,則有無窮多解或
無解。

ページ5:

2 P(xo, yo, Zo)
,E:ax+by+cz+d=0,若P在E之
投影點為H(x,y,z'),則PE之距離
d = PH
Answer: 距離公式。
(3)距離公式:P(xo, Yo, Zo)到
ax+by+cz+d=0之距離
|axo+by+czo+d|
Answer: d =
Va² + b2 + c2
(4)平行平面距離:
ax+by+ cz+q=0與
ax+by+ cz+ d2=0之距離為
Answer-
|d₁ = d2|
Va² + b² + c2

ページ6:

4.點到平面之距離:
(1)點P到平面E之距離:
① 設P點在平面E外,P點到平面E的距離
就是
Answer: P點與平面E上各點的連線段長之最小值。
② 故P點到平面E的距離等於
Answer: P點與投影點H的距離。
(2)求法:
1 P(xo, yo, Zo) —
點,E:ax+by+cz+d=0為一平面,
N = (a,b,c)為E之一法向
量,Q(x,y,zq)為E上某一點,則OP 在
N = (a,b,c) 之投影長
Answer:等於P到E之距離。

ページ7:

1. 參考角(Reference Angle)
Answer: (1)若0不為象限角,則與x軸之銳夾角
OR叫6之參考,0g之範圍為0°< 0 g<90°。
(0之三角函數值可參考之三角函數求出)(2)
若 0g 為 0 之參考角,則 0° < 0g <90°,
0
,
R
| sin 0| = sin OR | cos 0| = COS OR
,
| tan 0| = tan 0g,依此可由參考角 OR 之函數值配
加符號+或−得0之函數值。(正、負號看0在第
幾象限而定)

ページ8:

Answer:(1)作相關之圖形,(2)由三角形之邊長比,
及三角函數值之關係,算出所需之值
測量步驟的說明,詳細解
【釋了如何使用三角函數進行計算
• 步驟一:首先需要繪製相關的圖形,這有助於
視覺化問題並確認已知的條件。
步驟二: 接著,根據三角形的邊長比例以及三
角函數值(如正弦、余弦、正切)之間的關係,
計算出所需的值。
備註: 進行計算時,可以查閱課本附錄中的三
角函數值表來獲取精確的數值。

ページ9:

Answer: 亟坐標(Polar Coordinates)
主題3 的內容主要介紹極坐標的定義
表示方式、不同課綱的規定以及與直角
坐標的轉換公式。
• 極坐標定義:在平面上取一點為極點,作一向
右的水平射線 OX 為極軸。 點 P 的位置用
[r, 0] 表示,其中 r 是 O 到 P 的距離,是從
OX 到 OP 的有向角。
非唯一性: 由於同界角的關係,平面上一點的極
坐標表示方式並非唯一,例如
P[2, 30°] = P[2, 390°] •
。
課綱規定: 不同的教材版本對於r 和0 的範圍有
不同規定,有些版本規定-> 0, 0° ≤ 0 < 360°
以確保極坐標與點一一對應(除了極點)
。
舊教材註解:在舊教材中,若 < 0,則 Pr, 0]
與 P[| − r\, 丌 +0]代表同一點。
坐標轉換:極坐標[r]轉換為直角坐標(x,y)
的公式為:
x=rcos e
ly = rsine

ページ10:

這段文字總結算兩條相交直線夾角的幾種數學
方法。
交角餘弦值:對於直線
Lı:aqx+bqy + c = 0 和
L2: azx+bzy+cz=0,夾角 0 的餘弦值為
$\cos\theta = \pm\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\
交角正切值(使用係數):若
aja2+bb2=0,則銳角的正切值為
tan 0 = |
a1b2-a2b1
a1a2+b1b2
」。
交角正切值(使用斜率):若兩直線斜率
m1, m2 存在且1+mm2≠0,則銳交角的
m₁ - m
正切值為 tan O
m1 m2
=
」。
1+mm2
垂直條件:當 aqa2+bbz=0或
my.my + 1 =0時,兩直線交角為90°(垂
直)。

ページ11:

重點5 正射影
Answer: 正射影的定義、公式及其應用
單位向量:長度為1的向量,b方向的單位向量為
=
b
|b|
。
正射影定義:透過圖示說明向量 ä 在向量 b 上的
投影點C,形成的向量 OC 即為正射影。
正射影公式:提供了計算正射影(分向量)、分
量(投影量)及投影長度的公式:
.
b
o 在b之正射影:(
|b|²
-)b
o 在五之分量(投影量):
->
ã.b
o 在6之投影長: |
|b|
a. b
|b|
平行線上的正射影:強調向量在平行向量或直線
上的正射影結果相同。

ページ12:

向量面積公式:△ABO 面積
1
=
½ƒ± √₁㹲ò – (ã · ¯)² 。
ˇ
坐標表示: △OAB 面積
°
=
|x112 - x21°
2
三點坐標已知:△ABC 面積
=
1
-
2
|x2-x1
-
|X3 — X1
Y2-31
-
y3 - 1
。

ページ13:

3. 餘切cot 0, 正割sec 0, 餘割csc 0 之
定義及相關常識
(1)銳角三角函數: △ABC中,
BC=$a$, AC=$b$,AB=$c$,
∠C = 90°
Answer:
設∠B=0,則:
AC
∠B 之正弦 sin B
=
=
AB
310
b
C
AB
C
∠B 之餘割 csc B
=
=
AC
93
BC
b
a
∠B 之餘弦 cos B
=
=
AB
310
AB
∠B 之正割 sec B =
=
BC
AC
∠B 之正切 tan B
=
=
BC
a
c-a b-0
C
BC
∠B 之餘切 cot B
=
=
AC
20
a
-
(2)廣義角之三角函數:
b

ページ14:

(1)三角函數為週期函數
Ans 圖片說明了六種三角函數的週期,正弦、
餘弦、正割、餘割函數的週期為2元,而正切、餘
切函數的週期為元。
(2)先畫一週期圖形,再仿畫(複製)其他
週期之圖形
Answer: 此處說明繪製週期函數圖形的方法,即先
繪製一個週期的圖形,然後重複複製該圖形以完成
整個函數圖形。

ページ15:

兩向量 OA, OB 張成的三角形 OAB 面積
1
Vā[[(ā)碗或
|x112 - X2Y1|
兩向量 OA, OB 所張平行四邊形面積
2･△OAB 面積
三點 A(xı, yı), B(X2,Y2),C(x3, y3) 已知時的
△ABC 面積
-
-
|(x2 − x1)(Y3 — Y1) — (x3 − x1)(y2 — y₁)|
三點共線條件
oA, B, C共線⇔(△ABC面積 = 0)

ページ16:

當一個現象的呈現過程具有以下性質時,我們就說
這個過程形成一個馬可夫鏈:在任意觀察期中此現
象呈現狀態 S;時,則它在下一觀察期呈現狀態 S
的機率為Pij,即P=P(SIS)。這個性質稱為
「無記憶性」或馬可夫性質。
(2)馬可夫鏈之轉移矩陣:
Answer: 轉移矩陣
Explanation:
設有一個馬可夫鏈,其可能出現的不同狀態有
Sı,S2,..., S,而由狀態 S; 轉變成狀態 S 的機
Pin
P11 P12
...
P21
P22
...
P2n
稱
率為 Pij
。
則矩陣 A=
:
:
Pn1 Pn2
Pnn
為這個馬可夫鏈的轉移矩陣。
【註】:在轉移矩陣中,每個元素 Pi)都是大於或
等於0 的數,而且每一行中各元素的和都等於1,即
n
Σ
> Pij = 1 (對所有 j = 1, 2, ..., n)。
i=1

ページ17:

重點3 集合元素之個數及取捨原理
(1)取捨原理(排容原理)
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分旨在說明集合論中的取捨原理
(排容原理)。
• 兩個集合的聯集:
n(A ∪ B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)。
三個集合的聯集:
∩B)-n(B∩C)-n(CNA)+n(A∩B∩C)。
三個集合的交集:n(A∩B∩C) 的公式在圖片
中似乎有誤植,正確的計算通常需要更多資訊或
使用不同的方法。

ページ18:

(4)面積的變換
一區域 R(圖形 R)經線性變換 A =
(a b) #
後
之圖形為R',則R'之面積=R 之原面積
a b
之絕對值。
d

ページ19:

重點3 集合元素之個數及取捨原理
(1) 取捨原理(排容原理)
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分旨在說明集合論中的取捨原理
(排容原理)。
兩個集合的聯集:
n(A∪ B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)。
三個集合的聯集:
n(A∪BUC) =n(A) +n(B)+n(C)-n(An。
三個集合的交集:n(A∩B∩C) 的公式在圖片
中似乎有誤植,正確的計算通常需要更多資訊或
使用不同的方法。
@

ページ20:

重點3 集合元素之個數及取捨原理
(1)取捨原理(排容原理)
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分旨在說明集合論中的取捨原理
(排容原理)
• 兩個集合的聯集:
n(A ∪ B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)。
三個集合的聯集:
C-n(A∩B)-n(B∩C)-n(CnA)+n(A
三個集合的交集:n(A∩B∩C) 的公式在圖片
中似乎有誤植,正確的計算通常需要更多資訊或
使用不同的方法。
@
。

ページ21:

重點3 集合元素之個數及取捨原理
(1)取捨原理(排容原理)
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分旨在說素合論中的取捨原理
(排容原理)。
兩個集合的聯集:
n(A ∪ B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)。
三個集合的聯集:
@
∩B)-n(B∩C)-n(CNA)+n(A∩B∩C)。
三個集合的交集:n(A∩B∩C) 的公式在圖片
中似乎有誤植,正確的計算通常需要更多資訊或
使用不同的方法。 @

ページ22:

(2)加法原理
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分說明加法原理及其相關集合運
算。
• 互斥事件的聯集:若A∩B= þ,則
n(A∪ B) = n(A)+n(B)。
• 集合差集:n(A-B)=n(A)-n(A∩B)。
• 笛卡爾積:n(A×B) = n(A)×n(B)。
(3)部份集合個數
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分說明冪集(子集合的集合)的個
數。
冪集大小:n(24)=2n(A),其中
2^ = {X|X ⊂ A} 表示集合A 的所有子集合所
組成的集合

ページ23:

理由: P(x,yo)在f(x, y)=0 ⇒
(x_{0}+h,y_{0})在f(x-h, y)=0
Answer: P(xo,yo)在f(x, y)=0 ⇒ (x_{0}+h,y_{0})
在f(x-h, y)=0
Explanation:
• 若點 P(x),yo)在原圖形 f(x,y)=0上,表示
f(xo, yo) = 0 °
將圖形向右平移h 單位後,原圖形上的點
P(x), yo)會移動到新點 P'(x) + h, yo) 上。
• 為了驗證新點 P'是否在新方程式
f(x - h, y) = 0 上,將 P' 的座標代入新方程
式:
of((x)+h)-h, yo)
○
= f(xo, yo)
= 0 (因為P 在原圖形上)。
因此,新點 (x + h, y) 滿足新方程式
f(x - h, y) = 0。

ページ24:

6. 圖形之平移與縮
(1)
15
Answer: f(x-h, y)=0之圖形為由f(x,y)=0右移h
單位,f(x,y-k)=0 之圖形為由f(x,y)=0上移k 單
位

ページ25:

(b) 平方關係
• sin²0+cos20=1(畢氏定理)
1 + tan? 0 = sec² 0
1 + cot² 0 = csc² 0
(c)商數關係
sin 0
tan 0 =
cos A
cos A
cot 0 =
sin O
(d) 餘角關係
sin(
元
2
元
-
0) = cos 0
cos( 7 - ) = sin 0
元
tan(
2
·
0) = cot 0
cot(
元
2
-
0)
= tan 0

ページ26:

此外,同界角的三角函數值均相同,即
對於任意整數n:
• sin(2nz+0) = sin 0
• cos(2nz+ 0) = cos e
• tan(2nz+ 0) = tan 0
cot(2nл + 0) = cot 0
• sec(2nx+0) = sec 0
• csc(2nx+0) = csc 0
(3)基本關係
Answer: 倒數關係、平方關係、商數關係、餘角關
係
(a)倒數關係
sin 0 . csc 0 = 1
tan 0 · cot 0 = 1
cos e . sec 0=1
3

ページ27:

3. 餘切cot 0, 正割sec 0, 餘割csc 0 之
定義及相關常識
(1)銳角三角函數
Answer: 正弦(sin),餘弦(cos), 正切(tan), 餘切
(cot),正割(sec),餘割(csc)
在直角三角形 △ABC中,令 ∠C = 90°且
∠B= 0,六個銳角三角函數的定義為:
對邊
• 正弦(sin):sin B =
=
||
b
• 餘弦(cos):cos B =
斜邊
鄰邊
斜邊
C
=
310
a
b-a
90
b
a
CO
對邊
正切(tan): tan B
=
=
鄰邊
斜邊
餘割(CSC):sc B =
=
對邊
斜邊
• 正割(sec): sec B =
=
鄰邊
鄰邊
●餘切(cot): cot B =
=
對邊
11
b
20

ページ28:

(2)廣義角之三角函數
y
Answer: sin 0 =
r
,
cos =
r
x
,
tan =
y
,
a1x
csc 0 = ", sec 0 = ", cot 0 = x
y
-
X
y
對於標準位置的角 0,在終邊上取一點 P(x,y)
,
令
r = OP= Vx²+y²,則廣義角三角函數定義
為:
y
sin
=
r
X
cos 0 =
r
tan 0
=
y
-
X
r
CSC
=
y
r
sec 0 =
x
cot 0 =
ㄎㄨ
y

ページ29:

1. 弧度與角度換算
Answer: 1 弧度≈57度17分45秒
解釋
弧度(弳)的定義: 在圓上, 若弧長等於半徑, 則該
弧所對應的圓心角定義為1弧度(或1
弳)。
@
圓周角:一個完整的圓周長為2元r,因此對應的
2ar
圓心角為 = 2元 弧度。
r
換算關係:一周角等於 360°,也等於 2元 弧
度。?
。因此,360°=2元弧度,可推算出1弧度
=
180°
πT
元
。 ②
o 1°= 弧度。
180
近似值: 使用 ↗≈3.1415926... 計算, 1 弧度
~ 57°17′45″。
@
公式應用:在使用扇形弧長公式S=re時,必
須使用弧度制。 @

ページ30:

9
99.7% 信心水準之信賴區間
Step 1: 解釋99.7% 信心水準之信賴區
間
99.7% 信心水準的信賴區間與95%信心水準的概
念類似,但提供了更高的確定性。
Answer:
這意味著在重複抽樣的情況下,約有99.7% 的信賴
區間會涵蓋母體參數的真實值。 在常態分佈中,
99.7% 的數據點落在平均值的正負三個標準差
(±30)範圍內。 高中課程中提到的95%信心水準
對應於約±20(精確值約為±1.960)。 @

ページ31:

95%信心水準之信賴區間
Step 1: 解釋95%信心水準之信賴區間
95%信心水準的信賴區間是一種統計方法,用於
估計母體參數(例如母體比例 P)可能所在的範
圍。 這個區間是根據樣本數據計算得出的。
Answer:
從嚴格的頻率學派解釋來看,一旦信賴區間被建構
出來,母體參數不是落在區間內就是落在區間外,
已經沒有機率可言。95%的機率指的是建構信賴
區間這個步驟的可靠性,而非特定區間本身。 這表
示如果重複進行多次抽樣並計算信賴區間,大約有
95% 的信賴區間會包含真正的母體參數值。

ページ32:

獨立事件定義:若兩事件A、B 滿足
P(A∩B) = P(A)·P(B),則稱A、B為獨立事
件。
@
多事件獨立:三事件A、B、C獨立需同時滿足
兩兩獨立條件(如P(A∩B)=P(A)・P(B))
及三事件交集機率條件
(P(An BNC) = P(A) · P(B) · P(C))
。
@
性質:A、B 獨立等價於P(A|B)=P(A)或
P(B|A) = P(B),表示事件的發生不受另一事件
影響。 @
• 條件機率公式:事件B發生下事件A 發生的條件
P(A∩B)
機率為P(A|B) :
=
P(B)
4
。

ページ33:

期望值
Answer: 期望值是隨機變數所有可能值
的加權平均,其中權重為對應的機
率。 @
定義:隨機變數 X 的期望值 E(X),也記作u,
是其所有可能值 x; 與對應機率 p; 乘積的總
Pi
和。
• 公式:E(X) = u = xqpq + x2P2 + ...
……
+xnPn
。
意義:期望值的實際意義為可能值加權出現機會
大小的平均值。
●單位: 期望值有單位,機率無單位。

ページ34:

母體與樣本:母體是研究對象的全體元素,樣本
則是從母體中選出的部分元素
。
@
普查與抽查:普查調查研究對象的全體,抽查則
僅調查一部分。 @
簡單隨機抽樣:抽樣時不摻入人為因素,全體中
每一個體被抽中的機會均等。 @
隨機號碼表:表內任一位置的數字出現機率均等
且互相獨立,常用電腦程式產生
。 @
17

ページ35:

(2)伯努利分布之期望值及標準差
Step 1: 期望值(E(X))
伯努利分布的期望值(平均值)為P。
E(X) = p = P
Step 2: 變異數(Var(X))
伯努利分布的變異數為P1- P)。
Var(X) = P(1 - P)
-
Step 3:標準差(o)
標準差 o 是變異數的平方根。
σ = VP(1-P)
Answer:
期望值 E(X)=P;變異數 Var(X)=P(1-P);
標準差o=VP(1-P)。

ページ36:

3. 伯努利試驗及伯努利分布
(1)伯努利分布
Answer: 一個只有兩種可能結果(成功或失敗)的
單次隨機試驗。 @
伯努利試驗是一種單次隨機試驗,其結
果只有兩種可能,通常稱為「成功」或
「失敗」。
● 隨機變數X 定義為:成功時X=1,失敗時
X=0。
成功的機率為 P(X = 1) = P。
● 失敗的機率為P(X = 0) = 1 - P。
● 這種機率分布稱為伯努利分布。
(2)伯努利分布之期望值及標準差
Step 1: 期望值(E(X))
伯努利分布的期望值(平均值)u 為 P。
E(X) = p = P
@

ページ37:

(y-k)²
(3)雙曲線
a²
(上下型)(Hyperbola
(y-k)² (x − h)²
(x-h)?
(x − h)²
-
b2
=1
=
1 (up-down
a²
type))
b2
Answer: ① c2 = a²+b²②中心是(h, k) ③ 頂點
為 A(h, k + a)、A'(h,k-a)④焦點為
F(h, k+c)、F'(h,k-c)⑤貫軸 AA'的長為
2a,共軛軸 BB' 的長為 2b ⑥ 正焦弦長為
(x-h)²
262
7
a
漸近線的方程式為
(y-k)² (x − h)²
=
=0。
a²
b2
Explanation:
此為上下型雙曲線的標準特性。

ページ38:

3. 機率質量函數(Probability Mass
Function)及機率分布(Probability
Distribution)
Answer: 機率質量函數(Probability Mass
Function)及 機率分布(Probability Distribution)
設 X 為離散型隨機變數,其值域為
Rx = {x1, X2, ..., x„} • ÈÃÛK
。
定義函數
n
f(x) = Px(X = xi,X;∈Rx),則 f 稱為 X 的
機率質量函數(簡稱機率函數)
。
由(xi,f(x))
組合而成的集合稱為X 的機率分布(或稱機率分
配)。 二

ページ39:

1. 隨機試驗(Random Experiment)
Answer: 隨機試驗(Random Experiment)
一試驗有一組可能結果,但不能確定是哪一個,且
此試驗可重複進行,這種試驗稱為隨機試
驗
。 @
2. 隨機變數(Random Variable)
Answer: 隨機變數(Random Variable)
將隨機試驗的結果數值化,把樣本空間
S = {W1,W2,...,wn}中的每一樣本點W;對應到
某一實數 x; 的實值函數 X,稱為此試驗的隨機變
數。
j
● 離散型隨機變數:X的值域
Rx = {x1,x2,...,x;}為離散集合。
Wi
● 連續型隨機變數:X的值域Rx 為一實數區間內
的任何一實數。

ページ40:

(5)焦半弦(徑)
Answer: PF
若 F 為雙曲線之焦點,P為雙曲線上一點,則
PF 叫此雙曲線之焦半徑(弦)
。

ページ41:

5. 雙曲線圖形平移(Hyperbola Graph
Translation)
(1)T 平移讠= (h,k)之新位置之方程式
(Equation of new position of T
translated by V= (h, k))
-
Answer:方程為
(x − h)²
(y - k)²
a²
= 1 或
b2
(y-k)²
x :- h)²
1。
a²
b2
Explanation:
將原方程式中的x 替換為(x-h),將y替換為
(y- k),即可得到平移後的方程式。

ページ42:

(2)雙曲線
(x − h)²
-
a²
(左右型)(Hyperbola
(x-h)² (y-k)²
(y-k)²
b²
1
1 (left-right
a²
b²
type))
Answer: ① c2 = a² + b²②中心是(h, k) ③ 頂點
c²
為 A(h + a, k)、A'(h-a,k)④焦點為
F(h + c, k)、F'(h-ck) ⑤ 貫軸 AA'的長為
262
2a,共軛軸 BB' 的長為 26 ⑥ 正焦弦長為 ⑦
(x − h)² (y-k)²
-
a
漸近線的方程式為
a²
Explanation:
此為左右型雙曲線的標準特性
。
= 0。
b2

ページ43:

1.雙曲線之基本性質
Answer: 該圖片為數學教材,旨在說明雙曲線的標
準方程式、中心、軸端點、共軛軸端點、焦點、漸
近線、正焦弦長、貫軸長、共軛軸長及二焦點相距
等基本性質。
● 圖片中列出了四種標準形式的雙曲線方程式及其
對應的性質。
這些性質包括水平或鉛直軸向、中心(h,k)的
坐標、頂點坐標、焦點坐標以及漸近線方程式。
同時也說明了 a,b,c之間的關係式
262
a
c² = a² + b²,以及正焦弦長 等重要公
式。
圖示展示了四種不同方向的雙曲線略圖,輔助理
解其幾何特性。

ページ44:

(3)正焦弦
Answer: 雙曲線之焦弦中,垂直貫軸者叫正焦弦。
正焦弦(Latus Rectum)是雙曲線的焦弦中,垂
直於貫軸(Transverse Axis)的那一條。
(4)正焦弦長
Answer:
262
a
對於標準型雙曲線方程式
12
a²
-
X
62
(y-k)²
a²
262
a
@
||
a²
b2
-
(x − h)²
-
1
(y – k)²
a²
=1及
b2
=1,其正焦弦長皆為
(x − h)²
-
b2

ページ45:

11. 單調函數定義
Answer: 單調函數的定每
設 m、n 為函數f定義域之任二元素:
若滿足「若 m > n,則 f(m) ≥ f(n)」,稱為遞
增函數。
• 若滿足「若 m > n, 則 f(m) ≤ f(n)」,稱為遞
減函數。
• 若滿足「若m>n,則f(m)> f(n)」,稱為嚴
格遞增函數
。 @
• 若滿足「若m>n,則f(m)<f(n)」,稱為嚴
格遞減函數。
遞增函數及遞減函數統稱為單調函數(monotonic
function),而嚴格遞增函數及嚴格遞減函數則稱為
嚴格單調函數。 @

ページ46:

y=0。
讀法:
a≥b讀作「a不小於 b」;a ≤b讀作「a不
大於 b」。

ページ47:

首數與尾數
設a>0,存在整數na=10″b且
1 ≤ b < 10,則log a = n + logb且
0 ≤ log b < 1,n叫log a 之首數,log b叫 log a
之尾數。
(1)正數a之整數部分為n位數,則:
n-1≤ log a <n
log a 之首數為n-1
(2) 正小數 a 在小數點後最初有n個零,
則 −(n + 1) ≤ loga < −n,即loga之
首數為 −(n + 1)
log2=0.3010;log3=0.4771;log7=0.8451

ページ48:

(3)常轉換形式
①自m個不同物,全部給人之給法
Answer: 共 n”種(重覆排列)。
②自m個相同物,全部任給n人之給法
Answer: 共 C'+n-1 = H" 種(重覆組合)。
m
(4) 設m, n∈N,n∈N,則
x1 + x2 + ... +x =m之非負整數解
n
Answer: 共 Cm+n-1=H"種。
例如:x+y+z=5之非負整數解視為5個相
同物1,1,1,1,1 全部給x,y,z三人,其方法數為
C+3-1 = H 種。

ページ49:

17
列出了如何計算三個集合交集的公
n(A∩B∩C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AUB
加法原理
處理不相交集合或集合運算:
·若A∩B=中,則n(AUB)=n(A)+n(B)
O
• 集合差集:n(A - B) = n(A) - n(A∩B)。
笛卡兒積:n(Ax B) = n(A) xn(B)。
部分集合個數
對於一個有限集合A,其冪集(所有子集合的
集合 2 )的元素個數為:n(2)=2n(A)

ページ50:

取捨原理(排容原理)
用於計算兩個或三個集合聯集的元素個數:
兩個集合A、B 的聯集:
-
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
· 三個集合A、B、C的聯集:
n(A∪BUC) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B

ページ51:

3. 遞迴法(Recursion)
核心關鍵:「前後項關係」。
定義:將一個複雜的問題(規模為n)轉化為
較小規模(如n-1 或 n−2)的同類問題,並
設定初始條件(如n=1或2時的解)。
• 範例:費氏數列(Fibonacci sequence)。
◎ 初始條件:aj
=
1, a2 = 1
○ 遞迴關係式:an=an-1+an-2 (當n≥3
• 應用場景:常用於處理排隊問題(不可相鄰).
走樓梯問題(一次跨一階或兩階)或河內塔問
題。

ページ52:

2. 加法原理 (The Addition
Principle)
核心關鍵:「分類」且「互斥」。
• 定義:若完成一件事有k類方法,第一類有m
種,第二類有 nz 種,且各類方法之間互不重疊
(不可同時發生),則完成此事的總方法數為
ny + n2 + ... +k。
• 範例:從甲地到乙地,搭火車有3班,搭客運
有4班。則從甲地到乙地共有3+4=7種方
式。

ページ53:

1. 乘法原理 (The Multiplication
Principle)
核心關鍵:「分段」且「連續」。
• 定義:若完成一件事需經過k個步驟,第1步
有ng 種方法,第2步有ng種方法………則完成
此事的總方法數為ng × n2 X... Xnk o
。
範例:從A地到B地有3條路,從B地到C地
有2條路。則從A經B到C共有3x2=6種
走法。

ページ54:

· 全取排列:
若n件不同物全取排列(即m = n),則:
n!
n!
Pn
=
=
= n!
n (n - n)!
O!
(註:定義 0!= 1)
3. 重複排列(Permutation with
Repetition)
自n種不同的物品中,可重複選取m件排成一
列。由於每一位(共 m 個位置)都有n種選擇,
依乘法原理:
總數為:
nXn×n× ... × n = nm
m 1

ページ55:

重點歸納:
直線排列P:不可重複,總數會隨著位置遞
減。
重複排列n: 可以重複,每個位置的選擇權始
終保持n種。

ページ56:

1.排列的定義
自n件不同的元素中,選取 m 件(m≤n),並依
照特定的順序、位置或輕重進行排列,稱為排
列。
2. 相異物之直線排列(Linear
Permutation)
自n件不同物中取出m 件排成一列的總數,記作
P或P(n,m)。其公式推導如下:
乘法原理推導:
Pi=nx(n-1)x(n-2)x...× (n - m + 1)
m 個因子
階乘表示法:
利用 n!(n 階乘)的定義,可簡化為:
Pn
=
n!
m (n - m)!
• 全取排列:
若n件不同物全取排列(即m = n),則:
n!
Pa
=
n!
=
= n!
O!
n (n - n)!
(註:定義 0!= 1)

ページ57:

③ 巴斯卡定理推論(Corollary of
Pascal's Identity)
Answer:
CP+n
q+n = C²º · C² + C² · C²
151
+
9~1
9-2
+
如
• + C² · C{ + C³ · C² + C8 · C² = €³+5 = €¹³
+8+5
13

ページ58:

2.不盡相異物之直線排列
Answer: 這是一個關於不盡相異物直線排列的數學
概念說明。
這段文字定義了如何計算含有相同物品的
直線排列方法數,並提供了理由說
明: @
定義: 設有n件物品,其中有k種不同種類,每
類分別有 my,m2, …, me 個相同物品,則總排列
種方法。
數為
n!
my!m2!...mk!
符號表示:可用符號(mm,... mk)表示
• 條件:其中n=my+m2 + ... + mk。
• 理由說明: 舉例說明 aqaza3bc的排列有 5! 種方
法,而 aaabc 的排法則是 5! ÷ 3! (將相同的 a 視
為不同後再除以其內部排列數3!)。

ページ59:

(2)街道之捷徑走法
Answer: 略
題目說明了棋盤式街道捷徑走法可轉換為不盡相異
物排列問題。 例如,從左下角A點到右上角B 點的
捷徑,如果需要向右走3次、向上走4次,則總共
7!
的走法數量為 種。
3!4!
(3)某些元素之順序固定(不一定相鄰)
Answer: 略
題目說明了在n個人排成一列時,若其中
A1,A2,...,A的順序固定,可以將這些人視為相
n!
同的物件,先進行排列,總共有 種排法,然後
m!
再將 Aı,A2,…,A依指定順序填入這些位置。

ページ60:

③巴斯卡定理推論(Corollary of
Pascal's Identity)
Answer:
c²+n = c² · c² + c² · c²-1 + C² · C²
q+n ·
151
9-2
+
如
18
• c³ · c³ + C² · c{ + c³ · C² + C³ · C² = C³
18+

ページ61:

(4) 組合性質(Properties of
Combinations)
①對稱性(Symmetry)
Answer: 設 0 ≤ m≤n,則C=Chi-m,故知
C18 = €18
16
O
• 從n個物件中取出m個的方法數,相當於留下
n− m 個的方法數。
②巴斯卡定理(Pascal's Identity)
Answer: 設 1 ≤ m ≤ n-1,則
Cn = C-1 + Cn-1。
m-
−1
+C@
此性質與巴斯卡三角形(楊輝三角形)的關係式
一致。

ページ62:

(3)P與C之關係(Relationship
between Permutation and
Combination)
Answer: 求排列總數 P" 可先分組,每組再加以排
m
列。 因分組總數為C種,而每組有 P = m! 種
m
m
排法,故知 P = Ch×Pm=Ch×m!。
@
Pn
此關係式可推導出 C
m
=
=
m
m!
n!
m!(n - m)!

ページ63:

m!
Answer: (1) n!,
(2) C(m,m-n) (3)
(m - n)!n!
C(m − 1, n − 1) + C(m − 1, n) (推論1)2,(推論2)
C",C",C(推論3)r,2r,P2(推論4) Pitk
r+k
這張圖片是關於排列組合(P(m,n)和
C(m,n))計算的筆記,其中包含了幾個重
要的公式和定理:
• 重點1:展示了排列(P)和組合(C)之間的關係,
以及組合數(C(m,n))的定義公式。
餘組合計算:說明了組合數的對稱性質,即從m
個元素中選取n個的組合數等於從 m 個元素中選
取m-n個的組合數。
• 巴斯卡定理:提供了計算組合數的遞迴關係式,
即一個組合數可以由兩個較小的組合數的和得
到。
推論:列出了幾個由基本公式和定理衍生的其他
重要關係式,包括:
○ 巴斯卡定理的擴展形式。
◎ 範德蒙恆等式(Vandermonde's Identity)<
○ 排列數(P)的遞迴關係式。
○ 排列數的乘積關係。

ページ64:

4. 重覆組合(Repetitive Combinations)
Answer: 重覆組合的意義是從n種不同的物件中,
每種都多於 m 個,每次取出m 個為一組,且各組中
每種物件可以重覆選取。 計算符號 H可以轉換為
組合符號C 來計算,即H = C⁑+m-1。
其理由是將 m 個相同的物件(例如用「○」表示)
與n-1個隔開線段進行排列組合,每一種排列方
式恰好代表一種重覆組合。 總共有m+(n-1) 個
位置,選擇其中 m 個位置放「○」,剩下的放隔開
線,因此有 C+n−1 種排法。
m

ページ65:

3. 組合(Combinations)
(1)組合意義(Meaning of
Combination)
Answer: 從n 個不同物件中,每次取出m個不同物
件為一組(m ≤ n),同一組內的物件若不計其前後
順序,就叫做從n中取m 的組合。
組合強調「不計順序」,僅考慮選取的物件集
合。
。
(2)組合總數及記號(Total Number of
Combinations and Notation)
Answer: 從 n 個不同事物中,每次取出m個為一
組,每一組稱為一種組合,所有組合的總數稱為組
合數,以 C(n, m)或C或C表示。 @
n!
• 組合數的計算公式為 C
=
m!(n-m)!

ページ66:

(3)一些元素固定順序(不一定相鄰)之
排列
Answer: 先以空位留給順序已定之元素,與其他元
素一起排列,排定後每一種再依限制排空位
此方法是將固定順序的元素視為相同的空位,先進
行排列,再將這些元素依指定順序放入空位中。

ページ67:

3不盡相異物之排列
(1)不盡相異物排列
Answer:
n!
m1!m2!...mk!
設有n件物品,共有k種不同種類,第一類有my
個相同,第二類有m,個相同,...,第k類有 mk
個相同,則將此n件物品排成一列,共有
n!
m1!m2!...mk!
種方法。
(2)街道捷徑走法
Answer:
(m+n)!
m!n!
(m + n)!
向右 m 次,向上n次之捷徑走法共
種。
m!n!

ページ68:

Ë直線排列問題中處理限制條件
「六個重點觀念與公式:
n件相異物全取排列方法數為n! 種。
相鄰問題視為一個整體先排列,再考慮內部的排
列。
男女相間排列時,通常先排人數較多的一方,再
將另一方插入空隙。
反面計算是使用「全部方法」減去「不合方法」
來求解。

ページ69:

二點5重覆組合與重社
(1)重覆組合
Answer: 自n種(類)不同物,選出m個為一組
(這個不分順序),此為重覆組合,其方法數以
H(n,m)或S(n,m)或C(m+ n-1,m)表
示。
@
註: C(個+種− 1, 個)。
(2) 重覆排列
Answe自n種(類)不同物,選出m個來排列
(配順序或地位),此為重覆排列,其方法數為
m
n × n X ... × n = n 種。

ページ70:

這張圖表說明了組合(Combinations)
【的四個重點觀念:
組合數定義:從m個相異物中選出n個為一組
(不分順序)的方法數,共 C(m,n)種。
含特定元素之組合:
◎ 若某甲一定含在內,方法數為
C(m- 1, n - 1)種。
○ 若某甲一定不含在內,方法數為C(m-1,n)
種。
同類不相鄰:將m個「O」與n個「X」排成一
列,使「○」不相鄰的排法數為C(n + 1, m)
種。
分組之組合及排列:針對元素不盡相異或有限制
條件的情況,需依據選取個數或已知條件分別討
論可行情況。

ページ71:

(3)常轉換形式
①自m 個不同物,全部任給n人之給法
m
Answer: 共n 種(重覆排列)。
②自m個相同物,全部任給n人之給法
Answer: 共 Cm+n-1 = H種(重覆組合)。
(4) 設m, n∈N,n∈N,則
x1 + x2 + ... + xn=m之非負整數解
Answer: 共 Cm+n-1 = H種。
例如:x+y+z=5之非負整數解視為5個相
同物1,1,1,1,1 全部任給 x, y, z 三人,其方法數為
C+3-1 = H種。

ページ72:

6分堆、分箱、分配問題
(1)相異物依某些數量分堆時
Answer: 數量相同之二堆對調仍視為同一種。
Explanation: 當相異物件依照特定數量分堆時,如
果有多堆的數量是相同的,那麼這些數量相同的堆
彼此對調位置,在分堆問題中仍被視為同一種分
法。 因此,若有n堆數量相同,需要除以 n! 來排
除重複計算。②
(2)相異物依某些數量給人
Answer: 可先分堆再配給人。
Explanation: 將相異物件分給特定的人時,可以先
將物件依照指定的數量分成幾堆,然後再將這些已
經分好的堆分配給不同的人。

ページ73:

(3)分箱問題
箱子相同,視為分堆;箱子不
同,視為給人。
Explanation: 分箱問題的處理方式取決
於箱子是否相同。
東西相同,箱子相同:計算整數分割數。
東西相同,箱子不同:使用重複組合方式計算
O
· 東西不同,箱子相同:屬於分組(分堆)問題。
東西不同,箱子不同:屬於分配(重複排列)問
題。

ページ74:

• 虛數單位:定義為i=V-1,滿足 2 = −1。
• 複數:形如a+bi的數,其中a和b為實數。a
稱為實部,b稱為虛部。
純虛數:當複數的實部a=0且虛部b≠0時,
稱為純虛數。
O
共軛複數:a+bi的共軛複數為a-bì。

ページ75:

ax² + bx + c = a(x − a)(x − ß) = a(x² − (a + ß
Step 2: 係數比較
-
比較係數可得兩根和與兩根積的關係:
- _ b
a+B=-
a+阝
-
a
-
ap
=
a
CO

ページ76:

Step 2: 根的類型
若²-4ac>0,則有二相異實根
。
若b2-4ac = 0,則有二相等實根(或稱二重
根)。
若b² − 4ac < 0,則有二共軛虛根
。
(3)根與係數關係
b
Answer: 兩根和x+f=-
;兩根積 ap
=
a
Step 1:韋達定理
CO
a
2
設 a ≠ 0,若 a, p為ax²+bx + c = 0 之二根,則
方程式可寫為:
ax² + bx + c = a(x − a)(x − ß) = a(x² − (a + ß
-

ページ77:

3. 複數之相等與運算性質
Answer: 圖片內容是關於複數的相等、四則運算
運算性質及注意事項的數學教學內容
圖片提供了關於複數(Complex
Numbers)的基本概念和規則的詳細說
明,主要内容包括
複數之相等:定義了當 a,b,c,d 為實數時,若
a+bi=c+di,則a=c且b=d。
複數之四則運算:說明了複數的加法、乘法、除
法規則。
運算性質:列出了複數運算的封閉性、交換律、
結合律和分配律。
注意事項:強調了複數沒有大小定義,虛數與複
數的區別,以及a, b 為實數時
a²+b²=0→a=b=0的性質,並指出此
性質在 a, b 為複數時不一定成立。

ページ78:

Step 3: 解出 x
整理並解出 x:
b
b²
x+
= 土
2a
b
-
-4ac
4a²
b2-4ac
x
||
|
土
2a
2a
(2)根之性質
Answer: 根的性質由判別式 D = b2-4ac決
定
Step 1: 判別式定義
判別式 D = b² −4ac 可用於判斷實係數一元二次
2
方程式 ax²+ bx + c = 0 的根的屬性。
Step 2: 根的類型
若b² − 4ac > 0,則有二相異實根。
●若b2-4ac=0,則有二相等實根(或稱二重
根)。
若b²− 4ac < 0,則有二共軛虛根。

ページ79:

9. f(z)性質(f(z) Property)
Answer: 若
f(x) = Anx" + An−1x”−1 + ... + aqX + aj 為一實
係數 n 次多項式, z 為一複數,則f(z) = f(z)
10. 實係數n次方程式共軛對之根
(Conjugate Roots of Real Coefficient
$n$th Degree Equations)
Answer: (1) 共軛虛根(Conjugate Imaginary
Roots): 設
f(x) = anx" + an−1x″-1 + ... + aqx + aq = 0為
一實係數n次方程式,且虚數a+bi為f(x)=0的
一根, 則共軛虛數a-bi亦為f(x) = 0 的一根。
(2) 共軛根式根(Conjugate Radical Roots): 設
f(x) = anx" + an-1x" + ... + aqx + a)為有理
係數多項式, vc 不為有理數且 b ≠ 0, 若 a + bve
為 f(x) = 0 之一根,則a-bVC亦為f(x) = 0 之
一根。

ページ80:

6.實係數之一元二次方程式
(1) 一元二次方程式之公式解
−b ± Vb² − 4ac
Answer: x =
Step 1: 推導過程
2a
對於任意實係數一元二次方程式ax²+bx+c=0
(a≠0),可透過配方法推導出公式解。
b
首先將方程式改寫為a(x²+ x) = -co
a
Step 2: 完成配方
將左式配方為完全平方項:
a(x +
鄙=+0
Step 3: 解出 x
整理並解出 x:
x+
b
2a
x
||
|
=
+
b
土
2a
b2
-
4ac
4a²
b2-4ac
2a

ページ81:

11. 有理根:
Answer 牛頓定理(Rational Root Theorem)
這個問題是關、整係數多項式的一次因式
檢驗法,也就是牛頓定理。
定義: 如果一個整係數多項式 f(x)有一個整係數
b
的一次因式 ax - b,那麼就是 f(x) = 0 的一
a
個有理根。
方法:尋找有理根的過程就是利用牛頓定理,先
找出所有可能的整係數一次因式,進而找到所有
的有理根。
條件:其中a必須是f(x)最高次項係數的因數,
而b必須是常數項的因數。

ページ82:

7. 多項方程式(Polynomial Equation)
Answer: (1) 定義(Definition):f(x)是一個n次多項
式, 我們稱為n次方程式 f(x)= 0。(2) 解與根
(Solution and Root):找使得 f(x) = 0 成立, 這就
是方程式 f(x) =0的問題,如果一個數滿足
f(a)=0,就稱a是f(x)=0的:根或解或零
點。
8. 代數基本定理(Fundamental
Theorem of Algebra)
Answer: (1) 代數基本定理(Fundamental Theorem
of Algebra):每一個n次方程式,只要n≥1, 就至少
有一個複數根。(2) 推論1 (Corollary 1): k 重根算 k
次時, n次方程式恰有n個根。【註】(Note):一般
的五次或五次以上的方程式,求解公式不存在。

ページ83:

定理名稱: 中間值定理(Intermediate Value
Theorem)。
適用對象:多項式函數f(x)。
核心概念:對於介於 f(a)和f(b) 之間的任意數
m,在區間(a,b)內必定存在一個數c,使得
f(c) = m。

ページ84:

13. 求無理根之近似值
(1)二分逼近法
Answer: 二分逼近法
•設f(x)=0為一多項方程式,若a<b且
f(a). f(b) <0,則知 f(x)=0存在一根x,使
a<a<bo
a+b
• 再求出 f(
2),觀察f(a)f(
f(97
a+b.
-)<0或
2
a+b.
·) · ƒ(b) < 0 °
2
•
如果f(a) · f( 10 )
a+b
a+b
·)<0⇒a< a <
。
2
● 如果f(a+b).
2). f(b) < 0 ⇒
a+b
<a<bo
2
2
重複此過程,即可求得無理根的近似值
。

ページ85:

(d) 有二個實根(含重根)
Answer: (d) 有二個實根(含重根)
圖形A 到B 之間與x軸有一個切點c,即 f(c) = 0,
表示有兩個重根。

ページ86:

(a)有一個實根
Answer: (a)有一個實根
圖形A 到B 之間與x軸有一個交點c,即 f(c) = 0,
表示有一個實根。
(b) 有三個實根
Answer: (b) 有三個實根
圖形A 到B 之間與x軸有三個交點C1,C2,C3,即
f(cq) = f(c2) = f(cg)=0,表示有三個實根。
(c)沒有實根
Answer: (c)沒有實根
圖形A 到B 之間與x軸沒有交點,即不存在c使
f(c)=0,表示沒有實根。

ページ87:

3.負數開根號的乘法性質
Answer: -Vab
₺a < 0, b < 0, BIJ
√√a · √√b = √√ai · √√bi = √√ab i² = √(-a)(−b
4.(1±i)²的運算
Answer: 2i, -2i
(1 + i)² = 2i; (1 − i)² = −2i °
-
5. 特殊複數() =
-1 ± Vi
2
的性質
Answer: 1, 0
若 (0
-1± Vi
2
,
‚ Ƒ!] w³ = 1, 1 + w + w² = 0 °
1±√√31
6. 特殊複數(w =
的性質
2

ページ88:

1.二分逼近法與十分逼近法
Answer: 二分逼近法與十分逼近法是求方程式近似
解的數值方法
這兩種方法都是利用函數在區間端點的正
負號轉變來縮小根的範圍。 ②
二分逼近法每次將區間二等分,檢查中點的函數
值,將根的可能範圍縮小一半。
• 十分逼近法則是將區間十等分,找出正負號轉變
處所在的較小區間,將根的範圍縮小為原來的十
分之一。
透過重複這些步驟,可以逐步逼近根的精確近似
值。

ページ89:

1±√√√3 i
6. 特殊複數() =
的性質
2
Answer: -1,0
若 () =
1± Vi
2
03
², 則 w² = -1, 1-w+w²=0。

ページ90:

.複數相等及共軛複數
(1) 複數相等
Answer: 詳見以下說明
設a, b,c,d為實數。
• a+bi=c+di⇔a=c且b=d。
• 求a+bi之平方根:令
a + bi = (x + yi)² = (x² − y²) + 2xyi • A
-
2xyi。因
此,x² − y2 = a,2xy = b,可先求出
x² + y),再求出 x, y。 @
(2)共軛複數
Answer:詳見以下說明
• 若Z=a+bi (ah∈R),則
Z = a - bi°
e
• Z為實數 Z=Z;Z為純虛數 Z=-Z
且Z≠0。 @
● 共軛複數的運算性質:
Zq+Z=Z+ Z22
©Zq-Zq=Zq-2

ページ91:

1. 複數標準式及實部、虛部
Answer: a, b
設 a, b ∈ R, Z =a+bi為Z之標準式,則實部
R(Z) = a, 虛部I(Z)=b(而非bi)。
2. 虛數單位的性質
Answer: V-1,-1,-i, 1, i, 0, 0
:3
-
1 = √=ī,P² = −1,8 = −1,8 = 1, ½ = −4,
V-T,?
i
.3
1 + i + i² + i²
= 0。
-i,
⇒ im + ¡m+1 + ¡m+2 + ¡m+3 = ¿m (1 + i + i² + i³)
i㎡(1 +2+)
3.負數開根號的乘法性質
Answer: -Vab
若 a < 0, b < 0,則
√√a⋅ √√b = √ai · √√bi = √√ab i² = √(-a)(−b¸ °

ページ92:

(2)共軛複數
Answer:詳見以下說明
• 若Z= a + bi (a, b ∈ R),則
Z=a-bi。?
Z為實數⇔Z=Z;Z為純虛數⇔ Z=-Z
且Z≠0°?
共軛複數的運算性質:
Zy+ Z2 = Z+ Z2
1
-
Z₁ – Z₂ = Ž₁ – Ż₂
•
Z₁ ⋅ Z₂ = Z₁ · Z₂
•
Z1
=
Z₁
Z₂ Z₂

ページ93:

代數基本定理:每個≥1次方程式至少有一個複
數根。
@
根之個數:n次方程式恰有n個根(重根算多
個)。。
根成共軛對:實係數方程式的虛根、有理係數方
程式的根式根會成對出現。
三次方程式根與係數關係:若 a, B, r 為
ax² + bx² + cx +d=0的三根,則
h
x+B+y= -,ap+py+ya =
a
C
-
a
,
apr
=
-
d-a
。
$

ページ94:

1.重點3:一元二次方程式
(1)實係數之一元二次方程式
分解為a(x-a)(x- B) = 0⇒ x=x或x=f
• 公式解
ax² + bx + c = 0⇒ x=
(2) 虛係數
-b±√√√b2-4ac
2a
• 設 a,b,c為複數,ax²+bx+ c = 0, 其中
0㎡ = b2-4ac之一平方根 ⇒ x =
-b±w
2a
【註】: b2-4ac為虛數時,一般書本上視
b2-4ac為無意義。
(3) 根之性質(設 a, b, c為實數,
ax² + bx + c = 0(a≠0)之二根x, p,
= b² - 4ac)
• ①實根⇔D≥0
• ②相異實根⇔D>0
b
③ 二正根 ⇔ D ≥ 0, − º > 0, £ > 0
-
a
b
a
C
④二負根 D ≥ 0, - <0,0>0
a
a

ページ95:

(3) 根之性質(設 a,b,c為實數,
ax² + bx + c = 0(a≠0)之二根a, B,
D = b² - 4ac)
①實根⇔D≥0
②相異實根⇔D>0
b
- > 0, 1 > 0
③二正根⇔D ≥ 0, -
④二負根⇔D≥ 0, −
-
a
b
-
a
02
< 0,
> 0
a
a
⑤一正一負根⇔ac<0
⑥有零根 ⇔c=0
(4)根與係數關係(設a,B為
ax² + bx + c = 0(a≠0)之二根)
①a+阝
②ap=
=
a
b
a
③ aa² + ba + c=0
④ap²+bf+c=0

ページ96:

1. 由函數圖形看出方程式及不等式之解
Answer: 該內容為數學教學材料,說明如何從函數
y = f(x) 的圖形判斷方程式 f(x) = 0 及不等式
f(x) > 0, f(x)>0,f(x)≤0的解
說明:
f(x)=0的解為函數圖形與x軸的交點座標,即
x=y或x=ß或x=x。
f(x)>0的解為函數圖形在x軸上方時對應的x
範圍,即y<x<B或x>a。
f(x) ≥ 0 的解為函數圖形在x軸上方或與x軸交
接時對應的x範圍,即y≤x≤或x≥a。
f(x) ≤ 0 的解為函數圖形在x軸下方或與x 軸交
接時對應的x範圍,即x≤y或≤x≤a。

ページ97:

2.一次不等式之解(Solving Linear
Inequalities)
Answer:見圖片內容
一次不等式(Linear Inequality): 設 a ≠ 0,則
ax > b或 ax <b稱為一次不等式。
@
解法(Solution Method): 設 a≠0,若
ax-b>0⇒ ax > b:
b
○ 當a>0時,解為x>
O
a
b
當a<0時,解為x<
。
a
圖解(Graphical Representation):圖片展示了
線性函數 y = ax + b 的圖形與 x 軸交點 ( 2 ) 的
a
關係,以及在不同a值下,滿足y > 0 (即
ax + b > 0) 的 x範圍。 當a>0時,斜率為
正,圖形向右上方傾斜;當a<0時,斜率為
負,圖形向右下方傾斜
。

ページ98:

勘根定理:對於連續函數f(x),若a<b且
f(a). f(b) < 0,則在(a,b)之間必有奇數個
根。
• 根個數預測:若f(a)-f(b)>0,則在(a,b)之
間若有根,必是偶數個根。
● 無理根近似值:可利用勘根定理來勘查無理根的
位置,並使用二分逼近法或十分逼近法求近似
值。

ページ99:

Answer: itt 說明了二次函數y = ax² + bx + c
與x軸交點的關係,以及如何根據a的正負(開口
方向)和不等式的符號來確定解的範圍。
•a>0時,拋物線開口向上。 當函數值≥0時,
解為x落在兩根之外(x ≤ ß或 x ≥ a);當函數
值<0時,解為x 落在兩根之間(p < x < a)。
•a<0時,拋物線開口向下。 當函數值≥ 0時,
解為x落在兩根之間(≤x≤a);當函數值
<0時,解為x落在兩根之外(x < 或
x > a)
。
判別式 b² − 4ac <0表示拋物線與x軸沒有交
點,此時函數值恆為正(a> 0)或恆為負
(a < 0)。

ページ100:

定義: 設 a≠0, a, b, c 為實數,則
ax² + bx + c ≥ 0 及ax²+bx+c<0稱為二
次不等式。
求解方法:
因式分解:將不等式化為(x-x)(x - B) ≥ 0
或(x - x)(x-1)≤0型(確保平方項係數為
正)
。
○解的範圍:若a>,則
(x - a)(x - B) ≥0⇔x≤或x≥a;
ß)
(x - a)(x - B) ≤ 0 ⇔ B≤x≤a。
圖形觀察:透過繪製二次函數
y = ax²
= ax² + bx + c的圖形,觀察函數值(y)
為正或為負時對應的x值範圍。

ページ101:

1. 解釋二次函數不等式解法
Answer: (1) a>0時,若ß和x為兩根且<a,則
ax² + bx + c ≥ 0⇔x≤或x≥a;
ax² + bx + c < 0 ↔<x<a°(2) a<0 時,若
B 和x為兩根且ß ≤ a, 則
ax² + bx + c ≥ 0 ↔B≤x≤a;
ax² + bx + c <0⇔x<阝或x> a。 (3)
a ≠ 0, b² − 4ac <0時,二次函數 ax² + bx + c
恆正或恆負。

ページ102:

4. 高次多项不等式(Higher-degree
polynomial inequalities)
(1)n次多項不等式(n-th degree
polynomial inequality)
Answer:概念性問題
設 a ≠ 0,
an
anx" + an-1X^-1
.n
anx" + an−1x'
次多項不等式。
+ ... + aqx + 20≥ 0 或
aqx+ag
+ ... + aqX + ap<0為一般 n
(2) 解法(Solution method)
Answer: 程序性問題
Step 1:
(Factorization)
先將不等式質因式分解,化為
-
-
(x − a₁)™¹ (x — a2)™² …..(x — ak)™k (x² +α₁x + b₁
其中 x² + ajx + b;≥0恆成立(注意兩方先乘
-
¹) ⇒ (x − a₁)(x − a2)…..(x − ak) ≥ 0 ✯ ≤ 0 °
an
Step 2: Judging factor
powers)
,

ページ103:

Step 2: 判斷因式冪次(Judging factor
powers)
若 (x - ai)之m; 為奇數,則(x-a):≥0與
(x-a;)≥0相同。
若(x-a;)之m;為偶數,只判斷a; 是否為其
解。
Step 3: 數線標示(Number line
marking)
再用數線標示正負區間 ⇒ 看出其解
Answer:
詳見上述步驟說明
。

ページ104:

1. 解釋二次函數不等式解法
Answer: (1) a>0 時,若和x為兩根且ß<a,則
2
ax² + bx + c ≥0⇔x≤阝或x≥a;
ax² + bx + c < 0 ⇔ <x<a°(2) a<0 時,若
ß
B 和x為兩根且ß ≤ a,則
ax² + bx + c≥ 0⇔B≤x≤a;
2
ax² + bx + c <0⇔x<阝或 x > a。(3)
a ≠ 0, b² − 4ac <0時,二次函數ax² + bx + c
恆正或恆負。
Answer: 此圖像說明了二次函數 y = ax² + bx + c
與x軸交點的關係,以及如何根據a的正負(開口
方向)和不等式的符號來確定解的範圍。
•a>0時,拋物線開口向上。當函數值≥0時,
解為x落在兩根之外(x≤阝或 x ≥ a);當函數
值<0時,解為x落在兩根之間(p< x < a)。
•a<0時,拋物線開口向下。 當函數值≥ 0時,
解為x落在兩根之間(ß ≤ x ≤ a);當函數值
<0時,解為x落在兩根之外(x < 或
x > a)
。

ページ105:

x-3
(1) * - 3 /ó0
x+2
20
Step 1: 將分式不等式轉換為多項式不等
式
根據分式不等式的解法原則,將
x-3
≥0轉換為
x+2
(x−3)(x+2)>0,並確保分母不為零,即
x+2≠0。
Step 2: 解多項式不等式
解(x− 3)(x + 2) ≥ 0 可得 x ≥ 3或x≤−2。
Step 3:考慮分母限制
排除使分母為零的值,即排除x=-2。因此,解
集為x≥3或x < −2。

ページ106:

Step 2: 解多項式不等式
解(x−2)(x+4) < 0 可得 −4 < x < 2。
Step 3:考慮分母限制
排除使分母為零的值,即排除 x=-4。因此,解
集為 −4 < x <2。
Answer:
−4 < x < 2

ページ107:

x-2
(2)
< 0
x+4
Step 1: 將分式不等式轉換為多項式不等
式
根據分式不等式的解法原則,將
x-2
<0轉換為
x+4
(x − 2)(x + 4)<0,並確保分母不為零,即
x+4≠0。
Step 2: 解多項式不等式
解(x − 2)(x + 4) < 0 可得 −4 < x < 2。

ページ108:

高次不等式及分式不等式
(1)高次不等式
Answer:此為數學觀念說明,無須計算
此處說明如何解高次不等式:首先將 f(x) 分解為
(x-aq)(x-a2)...(x-a)(恆正因式).(不為
的形式。 接著,根據不等式的類型,處理
(不為負因式)等於零的解。
• 對於 f(x) ≥ 0,解(x-aq)…(x-an)≥0後,
需加入g(x)=0的解。
• 對於 f(x)>0,解(x-aq)...(x-an) > 0 後,
需去掉 g(x) = 0的解。
• 對於 f(x) ≤ 0,解(x-aq)…(x-an)≤0後,
需再加入g(x)=0的解。
• 對於 f(x)<0,解(x-aq)...(x-an)<0後,
需再去掉g(x)=0的解。

ページ109:

(2)分式不等式
Answer: 此為數學觀念說明,無須計算
此處說明如何解分式不等式,主要透過將
分母移項轉化為高次不等式,並注意分母
不為零的條件:
g(x)
對於 ≥0,等價於 f(x)·g(x) ≥0且
f(x)
f(x) ≠ 0。
• 對於
g(x)
> 0,等價於 f(x)·g(x) > 0。
f(x)
g(x)
對於 ≤0,等價於 f(x)·g(x) ≤ 0且
f(x)
f(x) ≠ 00
g(x)
• 對於
f(x)
<0,等價於 f(x)·g(x) < 0。

ページ110:

· 一元一次不等式解法:先化為 ax>b形式
(a≠0)。
• 係數規則:若a>0,則x>
b
x < 。
a
• 含絕對值不等式:對於
b
;若a<0,則
a
|ax + b| + |cx + d] + [ex + f]>0類型,需討
論 ax + b及cx + d 的正負,②
翻譯
重點1>一元一次不等式及含絕對值之不等式
(1)一元一次不等式之解法:①先化為 ax > b 型
(a ≠ 0, 否則不叫一次) ②兩邊乘
S
a > 0, 則x >
a < 0, 則x <
(2)含絕對值
b-ab」
a
a
,
而
|ax + b| + |cx + d] + [ex + f > 0 型,由
ax+b及cx+d之正負討論。 @

ページ111:

2. 有理指數與實數指數
(1) 有理指數
①若a>0, n 為正整數, 則 a = va
Answer: Va
②若a>0, n為正整數,m為整數,則
m
an
(añ)m = (√a)m =
= am
Answer: Vam
(2)實數指數
②指數律:若a> 0, b > 0,r、s為實數
(包括有理數),則a'a° = arts;

ページ112:

(2)實數指數
②指數律:若a> 0, b > 0, r、s為實數
(包括有理數),則da° = a+S;
(a”)³ = a*s; (ab)” = a*b*;
ar
as
Answer: a'-s

ページ113:

Answer. 整數指數的定義、指數律及零指數與負整
數指數
這張圖片是關於整數指數的數學概念筆
記,包含以下幾個主要部分:
自然指數: 定義了指數符號 a”代表n個a相
乘,其中a是底數,n是指數。
• 指數律:列出了三個重要的指數運算規則:
o aman = am+n
◎ (am)" = amn
◎ (ab)" = amb™
零指數及負整數指數:定義了特殊情況下的指數
運算:
。 aº
=
1 (當 a≠0)
1
a
-n
=
(當a≠0)
an
m
a
an
=
am-n (當a≠0)

ページ114:

2. 對數之性質及運算公式
Answer: (|): log a = 1,log 1=0
Explanation: 對數是冪運算的逆運
算。
logg a = 1 是因為a=a。
logg 1 = 0 是因為任何非零數的零次方都等於
1。
(?)
Answer:
-
(?) : loga rs = logar+logas, loga - = logar
S
Explanation: 這些是對數運算的基本規則,稱為對
數律。
loga rs = loger+logs表示兩個正數積的對
數等於它們各自對數的和。

ページ115:

Answer:
r
-
Togars = loga r + loga s, loga - = loga r - loga s
S
Explanation: 這些是對數運算的基本規則,稱為對
數律。
loga rs = logar+logs表示兩個正數積的對
數等於它們各自對數的和。

ページ116:

Explanation: 這些是對數運算的基本規則,稱為對
數律。
loga rs = logar+logs表示兩個正數積的對
數等於它們各自對數的和。
r
loga - = loga r-loggs表示兩個正數商的對數
-
S
等於它們各自對數的差。

ページ117:

1. 指數計算重點
Answer: 該頁 主要提供指數函數
a* ± a* 類型計算的幾個重點與公式。
• (1) a*與a-*互為倒數。
• (2)三次方和與差公式的變形:
3x
-3x
a +a = (ax + a¯x)³ − 3(a* + a¯x)
1-x)3+3(a*
3x
a
-3x
-
a
= (a* − a¯x)³ +
+3(a* -a-x)
(3) 函數關係
式
: f(x) =
X
a+a
ax
-X
2x
a
+1
⇔ f(x) =
2x
-
a-
a2x
1
(4) 增長倍數計算:
◎ 增加a倍:n日後數量為 A(1+a)"
o 增為a倍:n日後數量為Aan
。
。
(5) 若 x > 0 且 x = 1,則 x = 1或y=0。

ページ118:

重指數及指數律
(1) 指數不為整數時,底數a>0才有定
義。
Answer: 正確 這是指數函數的基本定義,確保運算結
果為實數。
(2) a≠0時, a°=1,而 0° 無意義
。
Answer: 正確 任何非零數的零次方都等於1。0°在
標準實數算術中是未定義的。 @
(3)a>0,n為大於1之自然數,m為整
m
/
數, a = (am) = Van 。
n
Answer: 正確 這是分數指數的定義,將指數運算與開
方運算聯繫起來。
(4) a > 0,b > 0,r、s為實數,
rs
a” · a³ = a³±³ ; (a”)³ = a* ;
(ab)" = a" · b″ 。
•
Answer: 正確 這些都是指數律的基本公式,適用於正
底數的實數指數。 @
(5) a > 0, a¯m = (¹)m o

ページ119:

(5) a > 0, a¯ = (¹)m
。
Answer: 正確負指數表示底數的倒數的該正指數次
方。

ページ120:

• 對數定義:若a* = b,則x = log b。
有意義限制:log b有意義的條件是b>0且
a> 0,a≠ 1。
基本性質:log(a*) = x且 qlosax = x。
x.
ɑ¹ºga
Sa

ページ121:

指數方程式及不等式
(1)由指數函數圖形可知:
• 若a> 0,a≠ 1, a* = a,則 x = y。
• 若a>1,則 a* > a° ⇒ x > y 。
• 若0<a<1,則q* > a° ⇒x<y。
(2) 常數指數可化為係數,例
如:22+x = 22.2* = 4.2*。
x
(3) 可設 a* = y或a*+a-x=y轉為y之方程式
先求出y**,再求出**x。

ページ122:

• 定義:設a>0且a≠1,則y= f(x) = a* 稱
為以a為底的指數函數。
圖形: 依底數 a的值可分為三種主要圖
形:a>1時為嚴格增函數、a=1時為水平線
y=1、以及0<a<1時為嚴格減函數。
• 性質:指數函數的圖形恆在x軸上方 (y > 0),
值域為所有正實數,定義域為全體實數。
對稱性:y = a* 與 y = (-) 的圖形對稱於 y
軸。

ページ123:

Answer: 若a > 1, 則 y = log x 之圖形為凹向
下;若 0 < a < 1,則y=log x之圖形為凹向
上。
a
Answer: y = log x與y=log x 的圖形對稱於x
軸。
a
Answer: y = logax與y=a*之圖形對稱於y=x
線

ページ124:

1. 對數函數: 定義、圖形與性質
(1)對數函數定義
Answer: 設 a> 0, a ≠ 1, 則 y = f(x) = log x稱
為以a為底之對數函數, 其定義域為正實數, 值域為
全體實數。
(2) 圖形
Answer: 利用描點法可作出y= f(x) = loga x 之
圖形分a>1及0<a<1二大類,圖形恆在y軸
右方。
(3)對數函數性質
Answer: 函數的定義域為正實數, 值域為全體實
數。
Answer: 圖形恆過點(1,0)(因為
loga 1 = 0)。
Answer: 若a>1,則y=log x為嚴格遞增函數
(EP x1 > x2 > 0 ↔ loga ×1 > loga ×2) ; ₺
0<a< 1, 則 y =logx為嚴格遞減函數(即
X1 > x2 > 0 ⇔ loga x < loga xz)。

ページ125:

• 同底計算:包含 log AB = log A + log B、
A
-
loga A - loga B = loga 和
loga A" = r loga A °
B
loge b
換底計算: 主要公式為 log b
=
logo a
•
• : log b logic log¸ d = loga d°
UNA: # · ·
pa
.

ページ126:

2. 對數方程式及對數不等式
• (1) 設定a>0,a≠1。由於對數函數是嚴格單
調函數,如果log x=logy,則x=y>0。
(2) 注意底數 a 大於1或小於1時的不同:
◎ 當a>1時,如果log x > logay,則
x>y>0。

ページ127:

當底數 a 介於0 和1 之間 (0 < a < 1) 時,若
loga x> logay,則表示0<x<y(不等號方
向改變)。
• 解對數方程式及對數不等式時,特別需要注意變
數有意義的限制條件(例如對數的真數必須大於
零)

ページ128:

(3)實數解個數
Answer: f(x) = g(x)之實數解個數=y=f(x)與
y = g(x)之圖形交點個數。
尋找方程式 f(x)=g(x)的實數解數量,等同於觀
察兩個函數 y = f(x)與y = g(x)在坐標平面上的
圖形有多少個交點。
(4) 平移
Answer: f(x - h, y)=0為由f(x, y) = 0 向右平
移 h 單位;f(x,y - k) = 0 為由 f(x, y) = 0 向上
平移k單位。
函數圖形的平移遵循特定規則。將f(x,y)=0中
的x替換為x-h,表示圖形向右平移h個單位;
將y替換為y-k,則表示圖形向上平移k個單
位。

ページ129:

1.對數方程式及對數不等式重點
Answer: 重點2
內容重點如下: 。
對數方程式與不等式解法需注意底數a是大於1
或是介於0 與1之間。
• 若a>1且loga x > logay,則x>y>0。
若 0 < a < 1 且 loga x > logay,則
0<x<yo
求解時必須注意對數有意義的限制條件,即真數
必須大於0。
• y=loggx為嚴格單調函數,故若
loga x = logay,則x=y>0。

ページ130:

對數函數及其相關圖形重點
(1)對稱性
Answer: y=logax 與 y = log x 之圖形對稱x 軸;
a
y=logax 與 y = a* 之圖形對稱 x =y線。
對數函數的對稱性是重要的圖形性質。y=log x
與 y = log x 互為x軸對稱圖形,因為
a
log x = -log x。而指數函數y=a*與對數函
a
=
logɑ¤
a
數 y = log x 互為反函數,它們的圖形對稱於直線
y=x。
(2)增減函數與凹向性
Answer: 若a>1,則 y = f(x) = log x 為凹向下
之嚴格增函數;若0<a<1,則
y = f(x) = log x為凹向上之嚴格減函數。
當底數a>1時,對數函數f(x)= log x 的圖形
由左至右上升,表示為嚴格增函數,且圖形凹口向
下。反之,當0<a<1時,圖形由左至右下降,
表示為嚴格減函數,且圖形凹口向上。 e

ページ131:

•對數律: 利用log(AB)=logA+log B、
loga (
A
B
=
loga A - loga B、
loga(A') =rlog A等公式,將乘除簡化為加減
運算。
對數值求法:可使用計算機或查對數表求得近似
值;若底數不為10,可用換底公式
log10 x
loga x =
轉換。
log10 a
常用與自然對數:以10為底的對數稱為常用對數
(loga);以e≈2.71828 為底的對數稱為自然對
數 (In x)。
• 科學記號:將大於0的數a表示為a=b.10”的
形式,其中n 為整數,1≤b< 10。

ページ132:

②(a)真數大於1且整數部分的位數是n
時,對數 log a 的首數是n-1
Answer: n - 1
解釋:例如,100的整數部分有3 位數
(n = 3),log 100 = 2,首數為
n-1=3-1=2。
②(b) 真數小於1,而其小數部分在小數
點後第n位以前均為0,且第n位不是
0,則對數 loga 的首數為 -n
Answer: -n
解釋:例如,0.01 的小數點後第2 位 (n = 2) 才開
始出現非零數字,log 0.01=2,首數為
-n = -2°
③ 由 log a 之首數可知 a之位數;由
log b之尾數知a之相關數字。
Answer: 由 log a 之首數可知a之位數;由 log b 之
尾數知a之相關數字。
解釋:首數決定了真數的大小範圍(位數),而尾數
決定了真數的有效數字序列。

ページ133:

AI 摘要
用科學記號來弄任意正數
的對數值,重點在於將數字表示為b.10”的形式,
其中 1 ≤ b < 10。
對數運算式為 log a = n + log b。
n是一個整數,代表原始數字的數量級
。
log b 的值介於 0 和 1 之間 (0 ≤ log b < 1)
。
• 只要知道n和 1 ≤ b < 10 的 log b值,就能求出
任何正數的 log a值。

ページ134:

⌋用科學記號來計算任意正數
的對數值,重點在於將數字表示為b.10”的形式,
其中 1 ≤ b < 10。
• 對數運算式為loga=n+log b。
n是一個整數,代表原始數字的數量級
log b 的值介於 0 和 1 之間 (0 ≤ log b < 1)。
只要知道n和1 ≤ b < 10 的 log b值,就能求出
任何正數的 log a值。

ページ135:

6. 查對數表及內插法
(1) 比例法
答案:內插法
解釋:
• 在查用對數表時,查不到的數值可利用鄰近兩數
的對數值以比例式求出,這種方法稱為內插法
理由是當b-a→0時,在區間a≤x≤b
內,函數 y = log10 × 的圖形接近直線,因此可
以使用線性比例關係進行估計。
$
log b - log a log x-log a
• 計算公式為
O
b-a
x-a
•a與b愈接近,求出的log x誤差愈小。

ページ136:

5. 首數及尾數
(1) 定義
Answer: 將一個正數a表示成科學記號a=b. 10″
的形式,其中n為整數且1≤ b< 10。取常用對
數後 log a = n + log b (其中 0 ≤ log b < 1),則 n
稱為 log a 之首數,log b稱為 log a 之尾數。
解釋:首數為整數部分,尾數為小數部分,且尾數
必須介於0(含)到1(不含)之間。
(2) 性質
①一正數之常用對數之首數必為整數,
尾數必為正小數或零
Answer: 對數 = 首數 + 尾數,其中 0 ≤ 尾數 <1
且首數為整數。
解釋:這是由定義直接推導出的基本性質,確保對
數的表示方式唯一且標準化。
②(a) 真數大於1且整數部分的位數是n
時,對數 loga的首數是n-1
Answer: n 1
-
解釋:例如,100 的整數部分有3 位數

ページ137:

(2)尾差法
答案:尾差表
解釋:
由內插法計算所得的值,亦可由對數表尾差查
得。

ページ138:

定義: 對於正數a,若存在整數n使 a=10" . b
且 1 ≤ b < 10,則 log a = n + log b,其中 n
稱為首數(Characteristic),logb 稱為尾數
(Mantissa),且 0 ≤ log b<1。
· 位數判斷:
◎ 若正數a的整數部分有n位數,則log a 的首
數為n-1。
若正小數a在小數點後最初有n個零,則
log a 的首數為 -(n + 1)。
常用對數值: 提供log2≈0.3010、
log3≈ 0.4771、log7≈0.8451 等參考數
值。

ページ139:

重首數與尾數
設a>0,存在整數na=10″ . b 且
1 ≤ b < 10,則loga=n+ logb且
0 ≤ log b < 1,n叫log a 之首數,log b叫log a
之尾數。
(1)正數a之整數部分為n位數,則:
n-1 ≤ loga <n
loga之首數為n-1
(2)正小數a在小數點後最初有n個零,
則−(n+1) ≤ loga< -n,即 log a之
首數為-(n+1)
log 2 = 0.3010; log 3 = 0.4771 ; log 7 = 0.8451

ページ140:

主要應用包含以下幾點
• 人口成長:一年後人口為a(1 + r)。
本利和計算:複利為 A(1 + P%)",單利為
A(1+nP%)。
放射性元素半衰期:質量公式為
M(t) = Mo⋅ (;
ko
地震規模與能量關
係:log E(r) = 11.8 + 1.5r。

ページ141:

2. 數系的符號與關係
Answer: N 表示正整數、Z表示整數、Q
表示有理數、R表示實數。
。
正整數(N)是整數(Z)的子集·
• 整數(Z)是有理數(Q)的子集。
有理數(Q)是實數(R)的子集
無理數不屬於有理數、整數或正整數,但屬於實
數。
記號∈讀作「屬於」,∉讀作「不屬於」。例
如:x∈R讀作「x屬於R」,表示x是實數。

ページ142:

離散數:具有自然單位且不宜分割的數量,如人
數、魚數。
連續數:人為選取單位量去度量的數量,數值未
必是整數,如重量、時間、長度。
• 整數:包含正整數、零、負整數。
有理數:能寫成形式(a、b都是整數,且
b
b≠0)的數。

ページ143:

當log x中 xı 與 x 極接近時,可使用比例插
值法進行近似計算。
繁雜的乘除、乘方、開方運算,可透過取常用對
數並查表來簡化計算過程。
• 在人口、細菌繁殖、利息計算、放射性元素衰變
等依指數規則變化的實際應用中,常藉助對數與
內插法來計算。

ページ144:

(3) 有理數的封閉性
Answer: 仍為有理數
任意兩個有理數進行加、減、乘、除(除數不能為
O)的結果,仍為有理數。這稱為有理數系的封閉
性。
(4)有理數與無理數的運算
Answer: N -
有理數+無理數為無理數。
0以外之有理數 無理數為無理數。

ページ145:

(5)無數的運算
Answer: 均可能為有理數,亦可能為無理數
無理數無理數及無數無理數,均
可能為有理數,亦可能為無理數。例
如:@
(2+ V3)+(2-V3)=4(有理數)
V2+V2=2V2 (無理數)
V2 x V2 = 2(有理數)
√√2 × √√3 = √√6 (HK)

ページ146:

1. 實數的定義與分類
Answer: 實數包括有理數與無理數,有理數包含整
數及不為整數的分數,整數則包含正整數、O、負
整數。
實數是我們生活中常見的數值,當一個數值可化為
整數比(2,其中a.b為整數且b≠0)時,則為
b
有理數;不可化為整數比時,則為無理數。 有理數
對加、減、乘、除(除數不為0)四則運算是封閉
的,運算結果仍為有理數。

ページ147:

4.數線(Number Line)
(1) 若P在正向,則P之對應數為r
Answer: r
當點P 在數線的原點O 的正向時,其對應數 r 為正
數。 數線是規定了原點、正向和單位長度的直
線
4. 數線(Number Line)
(2) 若P 在負向上,則P之對應數為-r
Answer: -r
當點P 在數線的原點O 的負向時,其對應數 -r 為負
數。 數線向右為正向,向左為負向。

ページ148:

4. 數線(Number Line)
(3)若P=0,則P之對應數為0
Answer: 0
原點O 是數線的基準點,代表的數是0。
5. 有理點(Rational Point)
解釋有理點的定義及作圖方法
Answer: 有理數在數線上之對應點,即
坐標為有理數之點,稱為有理點
• 定義:坐標為有理數的點。 @
作圖方法:只要已知原點O 及單位點U,就可以
使用尺規作圖找出任何有理點的位置
。 @
延伸作圖:利用尺規作圖也可以找到 n(n為
自然數)以及a+byī(a、b為整數)的位
置。

ページ149:

5. 有理數與無理數之一些性質
(1) 有理數之相等
Answer: ad = bc
此為有理數相等的基本定義:若
00
和
都是有理
b d
數(其中a,b,c,d為整數且bd ≠0),則
PD
a
=
b
cd
若且唯若 ad = bc。
(2)有理數運算
Answer:
b
a
-
d
C
=
d bc + ad
b
+ =
a
C
be - ad
.
,
ac
b
a
ac
☑
d
C
;
,
=
bd
,
ac
d-c
:
b-a
be
=
ad
這些是有理數(分數)加、减、乘、除的基本運算
規則,其中 a, b, c, d 為整數且 a, c≠0。 除法時,
分母d亦不能為0。 @

ページ150:

2. 實數加法乘法性質、乘法公式及分解
公式:
(1)運算性質
Answer: 交換律、結合律、分配律
實數的加法與乘法具有以下運算性質:
交換律:a+b=b+a;a.b=b.a
• 結合律:a+(b+c)=(a+b)+c;
a(bc) = (ab)c
• 分配律:a(b+c)=ab+ac
(2)乘法公式
Answer: 直接乘開、平方公式、立方公式
常用的乘法公式包括:
• 直接乘開:例如
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
• 平方公式:(a+b)² = a²+2ab+b² ;
(a - b)² = a² – 2ab+b²
(a-b)?
立方公
-
b3
π : (a + b)³ = a³ +3a²b+3ab² + b³ ;
3
2
2

ページ151:

直接乘開:例如
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
¥Ãñ : (a + b)² = a² + 2ab+b²;
(a - b)² = a² – 2ab+b²
-
立方公
-
3
π : (a + b)³ = a³ +3a²b+3ab² + b³ ;
3
(a - b)³ = a³ – 3a²b+3ab²
-
3
-
b

ページ152:

這段文字主要說明實數的性質,特別是有理數與無
理數在十進位表示法、循環小數及有限小數之間的
區別與轉換方式。 @
十進位表示法是基於滿十進位的原則
。
• 有理數化為小數不是有限小數就是循環小數。
無理數化為小數為非有限小數又不循環
O
有理數包含全部整數、有限小數及循環小數。

ページ153:

巴斯卡三角形(Pascal's Triangle),又
稱楊輝三角,是一個數學概念,用於展示
二項式展開式(x+y)”中各項的係數規
律。
每一行的數字都是上一行相鄰兩個數字的
和。
@
第n行的數字對應於 (x + y)'-' 展開式的係
數。
@
例如,(x + y)' 的係數為1, 1,對應於巴斯卡三
角形的第二行。?
(x + y)² 的係數為 1, 2, 1,對應於第三行。
(x + y)'的係數為1,3,3,1,對應於第四
行。

ページ154:

(3)分解公式
①平方差公式
Answer: 平方差公式為a²-b㎡=(a-b)(a+b)
此公式用於將兩個平方數的差分解為它們的差與和
的乘積。
②立方和差
Answer: 立方和公式為
a* + b = (a + b)(a² − ab + b²);立方差公式為
-
a− b = (a-b)(a² + ab+b²)
這些公式將立方和或立方差分解為一個二項式與一
個三項式的乘積。

ページ155:

③a+ + a2b²+b4
Answer:
aª + a²b² + b² = (a² − ab + b²)(a² + ab + b²)
這個分解是通過配方法完成的:
a² + a²b² + b² = (a² + b²)² − a²b²
b+
● 然後應用平方差公
-
π : = ((a² + b²) − ab)((a² + b²) + ab)
=
-
(a² − ab + b²)(a² + ab + b²)
4
Answer:
3
參考公式
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c²
C
-
此公式將一個包含三個變數立方和與積的表達式分
解為兩個多項式的乘積。

ページ156:

(4)分母有理化
A:分母有理化是將分母為根式時,
利用乘法公式將分母化為有理數的過
程。
根式的化簡習慣上會將分母有理化, 以達到簡化
和一致性的目的。
(5)雙重根號化簡
Answer: 若 A ≥ 0, VĀ 為A之非負之平方根, 所以
VA ≥ 0。 依此知設x≥y>0,則
(√y − √√x)² = √(√√x – √√y)² = √x − √√y
-
(大數在前)。 據此, 我們常化簡 VA±2VB 型的
式子。
• 化簡雙重根號VA±2VB(B> 0) 時, 尋找兩
數 x, y 使得 x + y = A 且 xy = B
(x ≥ y≥ 0)。
此時,
A±2VB
‡, √√ A± 2√B = √x ± √y °

ページ157:

(6)有理數與無數的關係
Answer: a、b、c、d為有理數,ve 為無理數, 若
a+b√e = c + d√e = a = c = b = d °
這個性質是基於有理數和無理數的獨立性, 類似
於線性組合的概念。

ページ158:

(2) 根式的乘除法
Answer: a > 0, b > 0, §ŋ √√ã √√b = √√ab,
va
=
√√ b √ b
O
• 根式的乘除運算遵循指數律,可以將根號內的數
合併或拆開。
(3) 根式的加減與化簡
Answer: 若 c > 0,d> 0, a、b為有理數,則
a√c + b₁√c = (a+b) √c, √√c² =
vā
=C,
√c²d = √c² √√d = c√√d °
同類方根(即根號內的數相同) 可以進行加減合
併。
將根式化為最簡根式是常見的習慣,例如ve²d
可以化簡為cvā。

ページ159:

次序大小性質(三一律、遞移律、加法律、乘法
律):
○(a)三一律:r> s丶r=s丶r<s三者恰有一
式成立。
○(b)遞移律:若r>s且s>t,則r>to
0
(c) 加法律:若r>s,則r+t> s+to
○(d)乘法律:若r>s且t> 0,則rt > sto
○(e)乘法律:若r>s且t<0,則rt < st。
正數比大小:
◎ 若x≥0,y≥ 0,則x² > yf⇔x>yo
實數平方性質:
o 若x為實數,則 x² ≥ 0。
若 x, y 為實數,且 x² + y? : =0,則x=0且
y=0。

ページ160:

4.次序與性質:(1)實數之大小
Answer: 實數大小的定義
這段文字定義了實數a和b之間的大小關
係,是數學中的基本概念。
• 若a-b為正實數,則表示a大於b,記為
a> bo
若a-b等於0,則表示a等於b,記為a=b。
若a-b為負實數,則表示a小於b,記為
a<bo

ページ161:

3. 根式及其運算
(1)平方根的定義
Answer: 當a> 0且x² =a 時,
x = vā 或 x = vā,此二數叫作a的
平方根。
-
當a>0時, 任何數 x 滿足 x² = a, 則 x 為 a 的
平方根。 @
Va表示a的非負平方根, Vā ≥ 0。
• 若n大於2的自然數, a > 0, 則 yā (n次方根) 會
在後面的章節介紹。

ページ162:

數的封閉性:說明有理數與無理數在加減乘除運
算下的結果。 例如,有理數加上有理數仍為有理
數;有理數加上無理數則為無理數;但兩個無理
數相加或相乘,結果未必是無理數。
• 無理數證明:指出證明無理數通常使用反證法。
• 有理數相等性質:若 a, b, c, d為有理數且 ve 為
無理數,則若a+bve=c+dve,則a=c
且b=d。
有理數的小數表示:有理數化為小數時,結果會
是有限小數或循環小數。

ページ163:

(2)次序性真
Step 1: Explain the properties of
ordering numbers
本頁提供了關於有理數與實數次序性質的
定義與性質,屬於概念性解說。
• 次序大小定義:
◎ 若rs為有理數,且r-s為正數,則
r>so
o 若r-s為負數,則r<so
orzs表示「r > s或r = S」,意指不小於
so

ページ164:

絕對值的定義為 |x] = x (當 x ≥ 0) 或 |x|
(當 x < 0)。
• 對於任意實數a,Va² = |a| ≥ 0°
= -x
• 絕對值具有重要性質,例如 la.b|=|a||b|和
三角不等式 ||a| - |b|| ≤ lab ≤ [a] + [b]。
當a為正數時,絕對值不等式
|x| <a⇔a ≤x≤a,而|x| ≥a⇔x≥a
或x≤-a。

ページ165:

(4)求: VA±2VB
Step 1: 概念說明
☆ √A+ 2√√B = √(√x + √√7)² *
令
√√A - 2√B = √(√x - √√y)²
Step 2:推導過程
⇒ A±2√ B = x+y±2₁√xy
√x + y = A
再解出 x,y,
\xy = B
Step 3: 結果
如此則
√√ 'A +2√B = √x + √y;
√√A - 2 √B = √x - √√y (x ≥ y ≥ 0)
Answer:
√√√A ± 2 √√B = √√x ± √√y (H+x+y= A,
(其中
xy = B, x > y ≥ 0)

ページ166:

(5)若n為整數, a > 0,且
n ≤ vā < n + 1, 則 n 為 vā 之整數部
分,vansva 之小數部分。
-

ページ167:

有理數化為小數時,結果必為整數、有限小數或
循環小數。
無理數化為小數時,為非循環之無限小數。
● 分數為有限小數的條件是分母b的標準分解式
b
只能包含質因數2 和5。
• 若n≤a<n+1,其中n為整數,則a的整數
部分為n。

ページ168:

(1)設a、b為實數,則
|a|+|b| ≥ |a+b| M
(1) |a| + |b| > |a – b|: LET
-
(2) |a| – |b| ≤ |a – b|: Œ
-
-
(3) |a| − |b| ≤ │a+b|: Œ
(2)設a、b為實數
|a| + |b| = |a+b| ↔ ab ≥ 0: Œ
|a| + |b| > |a+b| ↔ ab < 0: ŒM
|a| + |b| = |a − b| ↔ ab ≤ 0: E
|a| + |b| > |a − b| ↔ ab > 0: Œã
-

ページ169:

含絕對值之方程式或不等式:將數線分成數段
先求各段之解,再合併得出全部解答。
多項式不等式(如 (x - a)(x - b) ≥ 0):宜在
數線上分成數區,判斷各區的正負值。

ページ170:

3. 一次不等式及含絕對值之不等式之圖
形Ⓡ
此圖表說明了一次不等式與含絕對值不等式在數線
上的圖形表示法。
Answer:
• a≤x≤b的圖形表示為包含端點A和B的線
段。
x≥a的圖形表示為從A點開始向右延伸的射線
AB。
•x<b的圖形表示為從B點開始向左延伸的射線
BA。
a<x<b丶a<x<b丶x>a、x<b等不含
端點的情況,圖形上的端點會使用空心圓圈表
示。
• 數線上兩點A(a)、B(b)之間的距離
AB = |a - b|。
• 當k>0時:
◎[x]= k 的解為x=-k或x=k。
20[x]<k的解為-k<x<k。
◎[x]≥k的解為x≤-k或x>k。

ページ171:

1. 區間與絕對值觀念
「Answer: [解答詳見以下說明]
「這張圖片是關 區間與絕對值的數學觀念
整理,屬於概念型解題以為其主要重
點的說明:
• 絕對值不等式:若b>0,則
|x-a| ≤ b⇔a-b≤x≤a+b;
|x-a|> b⇔x<a-b或x>a+b。
• 三角不等式:設a,b為實數,則
|a| + |b| ≥ |a +b,等號成立條件為ab≥ 0;
|a| + |b| ≥ |a -b1,等號成立條件為ab≤0。
含絕對值函數的最小值:對於n個絕對值和
|x − aq| + |x − az]+...+|x-an],當 n 為奇
數時,最小值發生在中間數x=d(n+1)/2;當n
為偶數時,最小值發生在中間區間
[an/2,an/2+1]。
• 範例:在a≤x≤ b時,[x-a| + |x − b| 有最
小值為b-a;在x=b
-
-
時,|x − a| + |x − b| + |x - c| 有最小值為
c-a。

ページ172:

3. (2) 線段之三等分點
Answer: M$_{1}(\frac{2a+b}
{3}), M_{2}(\frac{a+2b}{3}$)
Explanation:
AB之三等分點為M$_{1}(\frac{2a+b}
{3}), M_{2}(\frac{a+2b}{3}$)。
4. (3) 稠密性
Answer: a與b間必有實數存在
Explanation:
設 a,b 為實數,且a<b,則a與b間必有實數存
在。

ページ173:

5.三角不等式
(1)設a、b為實數,則
|a| + |b| ≥ |a+b| ML
(1) |a| + |b| ≥ │a – b|: Œ
(2) |a| – |b| ≤ |a – b|: Œ¾
-
-
(3) |a| – |b| ≤ |a + b|: Œ
-
(2)設a、b為實數
|a| + |b| = |a + b| ↔ ab ≥ 0: Œ
|a| + |b| > |a + b| ⇔ ab < 0: 正確
|a| + |b| = |a − b| ↔ ab ≤ 0: Œ
-
|a| + |b| > |a − b| ⇔ ab > 0: 正確

ページ174:

利用數線解一次不等式及含絕對值
之不等式
(1)解一次不等式
Answer: 將一次不等式化為 ax≥b或ax≤b的形
式,然後注意a的正負以及乘法律,以確定解的範
圍
(2) 含二個或二個以上之絕對值之不等式
Answer: 先根據絕對值內的式子等於零的點將數線
分段,在各段分別求解,最後合併所有段落的解。

ページ175:

*(3) (x-aq)(x-a2)...(x-an)之正負
Answer: 先將數線依據a1,a2,...,an分段,判斷各
段的正負號,再找出符合條件的解
*(4) 不等式含有 |x -al(x-a)²
Answer: 在解這類不等式時,需特別注意x=a是
否為其解,需要個別觀察。

ページ176:

1.(1)分點公式
Answer: P(
na+mb
m+n
Explanation:
若 A - P− B (P介於A、B間),且
AP:PB = m:n,則P點坐標為
na+mb
2. (2) 線段之中點
Answer: (a+b)
2
Explanation:
AB 之中點M 之坐標為
a+b
。
2
m+n

ページ177:

函數圖形定義:在直角坐標平面中,將定義域的
每一元素 x 作為橫坐標,其函數值 f(x)作為縱
坐標的點(x, f(x)),所描繪出的圖形即為函數圖
形。
函數圖形特點(鉛垂線檢定):任意一條垂直於
x軸的鉛直線與函數圖形至多只有一個交點,不
可能有兩個或兩個以上的交點。
• 常數函數定義:函數值恆為一個常數的函數稱為
常數函數,例如 f(x) = 2。
常數函數圖形:常數函數的圖形都是水平直線。

ページ178:

1.函數概念與涵意
Answer: 函數為量與量之間的一種連帶關係(對應
關係),當自變數x的值給定時,應變數y的值也
隨著x的值而唯一確定。
解釋
函數就像一個「機器」,能將定義域(集合A)中
的每個元素唯一對應到對應域(集合B)的一個
元素。 @
在函數 y = f(x) 中,x稱為自變數,y稱為應
變數。 @
f(a)表示當x=a時所對應的函數值。
定義域是自變數x所有可能取值的全體
E
值域是定義域中一切元素經函數對應後所得函數
值所成的全體
。

ページ179:

2.函數模型
Answer: 函數模型y=f(x)中,如果f(x)依一定
規則而變,常由 f(x)的規則型式給予函數不同的名
稱。
解釋
• 例如,當 f(x)為多項式時,稱此函數為多項函
數。
又如 f(x) = 2* 叫做以2為底的指數函數。

ページ180:

4.相等多項式
(1)定義
設
f(x) = anx" + an-1x"
2–1
+
+a1x+ao, an = ;
g(x) = bmx™ + bm−-1xm−1 +
..
+b1x+bo, bm
若 n = m且ag = bo,a1=b1, ······‚ ɑn = bm 'BU
稱此二多項式相等,以 f(x) = g(x) 表示。
,
an
,則
(2)性質
性質①若 f(x) = g(x),則對任何數a,則必
f(a) = g(a)。
• 性質②若 f(x),g(x)均不超過n次,而有n+1
個或n+1個以上之值代入相同,則
f(x) = g(x)。

ページ181:

(1)定義
設
x) = anx” + an−1x”−1
=
bmxm+bm-1x"
bmxm + bm−1xm−1
+ …… + aqX + ag, an≠0;
+
n = m = aq = b0, a₁ = b₁,
+b1x+b0, bm ‡ 0 °
=
b₁ ,則
m
,
an
稱此二多項式相等,以 f(x) = g(x)表示。
(2)性質
性質①若 f(x)=g(x),則對任何數 a,則必
f(a) = g(a)。
性質②若 f(x),g(x)均不超過n次,而有n+1
個或n+1個以上之值代入相同,則
f(x) = g(x)。

ページ182:

當多項式 p(x)的最高次項係數a≠0時,其最
高次數n稱為該多項式的次數,而a,則稱為領
導係數。
• 常數多項式包含零多項式(0,無次數)與零次
多項式(非零常數,次數為0)
升冪式是將多項式按次數由小排到大,降冪式則
是由大排到小。
y = f(x) = anx" + ... + aq (an ≠ 0) 稱為 n 次
函數;若 y = f(x) = b (常數),則為常數函數。

ページ183:

6. 二次函數及其圖形
(1)二次函數
Answer: y = f(x) =ax²+bx+c(其中a≠0)
說明:
當a≠0時,函數 y = f(x) = ax² + bx+c稱
為二次函數。

ページ184:

(2) y = ax² 之圖形
Answer: 開口方向由a的正負決定,且圖形對稱y
軸
說明:
• 若a>0,則拋物線開口向上。
• 若a<0,則拋物線開口向下。
由於 f(k) = f(−k),其圖形對稱於y 軸
O
|a|愈大,開口愈小;|a|愈小,開口愈大.

ページ185:

·一次函數(Linear Function): 形式為
f(x) = ax + b,其中a≠0。
線型函數(Affine Function): 形式為
f(x)=ax+b,包含a=0(常數函數)及
a≠0(一次函數),圖形均為直線。
斜率與截距(Slope and Intercept): y=ax+b
的斜率為a,表示直線的傾斜程度;y截距為
b,表示與y軸的交點坐標為(0,b)。
直線方程式形式(Forms of Linear Equations):
包含點斜式、斜截式、兩點式及截距式共四種表
示法。

ページ186:

② 限制範圍
Answer: 見圖片內容
若定義域限制在 m ≤x≤n,則需比較
頂點位置與範圍邊界。
@
b
若頂點不在範圍內(即
- -
<m或
2a
b
≥ n),則最大、最小值會在邊界點 f(m)
2a
或 f(n) 處產生,需透過比較兩者大小來判斷。
b
• 若頂點在範圍內(即m <
-
≤ n),則需比
2a
較 f(一)、f(m)、f(n) 三者大小,通常最大
b
2a
或最小值會在離對稱軸較遠的邊界點或頂點處產
生。

ページ187:

(2) 設 a≠0,y = f(x)=ax² + bx+c
與x軸之交點
Answer:見圖片內容
二次函數 y = ax² + bx + c與x軸
(y=0)的交點個數取決於判別式
D = b㎡ −4ac。
若 D = b㎡ − 4ac < 0,則方程式無實數解
形與x軸不相交。
, 回
若 D = b㎡ − 4ac = 0,則方程式恰有一實數解
x=
b
b
,
圖形與x軸只有一個交點
2a
(一 0)。
2a
,
·若D=b2-4ac>0,則方程式有兩個相異實
數解,圖形與x軸有兩個交點。

ページ188:

這張圖片提供了關於二次函數 y = ax² 圖形平移的
規則,以及二次函數標準形式y=a(x - h)² + k
的性質。
• 二次函數y = ax² 右移h 單位變為
y = a(x-h)²,左移h單位變為
y = a(x + h)? 。
y = ax²上移k 單位變為y-k=ax²或
y = ax² + k,下移k單位變為y+k= ax² 或
y = ax² − k。
- -
對於標準形式 y = a(x - h)² + k,其對稱軸為
x=h,頂點坐標為(hk)。
• 若a>0,開口向上;若a<0,開口向下。

ページ189:

1. 二次函數判別式與根的屬性
Step 1: 判別式的定義
判別式 (D) 用於判斷一元二次方程式
2
ax² + bx + c = 0 (a≠0)根的屬性。 其定義為
D = b² − 4ac。
-
Step 2: 判別式與交點關係
當D>0時,方程式有兩個相異實根
−b+Vb2-4ac -b-Vb2-4ac
及
。這表示
2a
2a
2
二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形(拋物線)與x
軸有兩個相異交點 A(x, 0) 和 B(B,0)。

ページ190:

Step 3: 二次不等式的解
根據拋物線的開口方向(由a的正負決
定)和與x軸的交點,可以求解二次不
等式:
若a>0(開口向上):
○ a(x-a)(x-B)≤0⇔a≤x≤p
○ a(x-a)(x-B)>0⇔x<a或x>p
若a<0(開口向下):
-
a(x - a)(x - B)≥0⇔a≤x≤p
○ a(x-a)(x-B) < 0 ⇔ x < a或x>p
Answer:
圖片主要說明了一元二次方程式 ax² + bx + c = 0
的判別式 D = b2-4ac、公式解
-b± Vb2-4ac
,
以及如何利用函數圖形(拋物
2a
線)與x軸的交點來求解二次不等式。

ページ191:

7. 二次函數圖形之使用、求極值
(1) 判斷最大、最小
① 不限制範圍
Answer:見圖片內容
二次函數 f(x) = ax²+bx+c(a≠0) 經配方後可
b
2
4ac-b2
得 f(x) = a(x +
+
2a
4a
當a>0時(開口向上),函數在頂點處有最小
b
值,即 x
=
時有最小值
h
2a
4ac - b2
f(-
-) =
2a
4a
當a<0時(開口向下),函數在頂點處有最大
值,即x=- 時有最大值
b
2a
4ac-b2
h
ƒ(-
=
。
2a
4a

ページ192:

③ 每一實數 x, 均使f(x)<0成立
Answer:
Ja<0
b㎡ − 4ac < 0
④ 每一實數 x, 均使 f(x)≤0成立
Answer:
a<0
b² 4ac ≤ 0
-
⑤每一實數x,均使af(x)≥0成立
Answer: b²-4ac < 0

ページ193:

b
f(x) = ax² + bx + c = a(x +
a(x+2)² +
2a®
4ac-b2
4a
b
則 y = af(x) = a²(x +
1² +
4ac-b2
之圖形
2a
4
開口一定向上。
註2. 若 f(x)=ax+b,則:
①每一實數x,均使f(x)>0成立
Answer: a = 0.b>0
②每一實數x,均使f(x)<0成立
Answer: a = 0.b<0

ページ194:

註1.
Answer:
h
4ac
a ≠ 0 . f(x) = ax² + bx + c = a(x +
+
2a
則 y = af(x) = a²(x + ++
b
2
4ac-b2
之圖形
2a
4
開口一定向上。
註2. 若 f(x)=ax+b,則:
① 每一實數 x, 均使 f(x)>0成立
Answer: a = 0.b>0
②每一實數x,均使 f(x)<0成立
Answer: a = 0‧b< 0

ページ195:

1. 函數概念
Answer:函數是一種特殊的對應關
係
函數定義:設x與y是兩個變數,當給定一個 x
值時,會有一個且僅有一個唯一的y值與其對
應,則稱y是x的函數
O
變數名稱: x 稱為自變數,y稱為應變數。
。
記號:若此函數命名為f,則用記號y=f(x)表
示。
• 函數值:f(a)表示當x=a時所對應的函數值。

ページ196:

2. 函數圖形
Answer: 函數圖形可以視覺化函數的變
化狀況
• 繪製: 在坐標平面上,把所有(a, f(a)) 的點標畫
出來,即為函數圖形。
判斷: 作平行於y軸的鉛直線與圖形至多只有一
個交點,則此圖形為一函數圖形。
3. 函數模型
Answer: 函數模型是依據f(x)的型式給
予的不同名稱
一次函數: 例如y = f(x) = 2x +3。
• 二次函數:例如y = f(x) = x² + 3x + 9。
x*
指數函數: 例如 y = g(x) = 2*
正弦函數:例如 y = sin x。

ページ197:

10.奇函數與偶函數
(1)奇函數定義
Answer 若函數 f(x)滿足 f(-x) =-f(x),則稱
f(x)為奇函數。 @
(2)偶函數定義
Answer 若函數 f(x) 滿足 f(-x) = f(x),則稱
f(x)為偶函數。。
(3)性質
Answer f(x)為奇函數,則y = f(x) 之圖形對
稱於原點(0,0)。
Answer: f(x)為偶函數,則y= f(x) 之圖形對
稱於y軸。

ページ198:

(3)斜率
Answer 斜率a表示直線的傾斜程度與
方向,可由直線上任意兩相異點
(x1,Y1)、(x2,y2)計算得出。
定義: 斜率 a 的計算公式為
Y2 - 21 f(x2) - f(x1).
a =
x2-x1
=
X2 - x1
-
變化率:斜率a也是函數的變化率。

ページ199:

(4)斜率之常識
Answer: 斜率的正負號表示直線的升降
趨勢,其絕對值大小表示傾斜程度,且可
用於判斷直線的平行或垂直關係。
● 方向與傾斜:
om > 0:直線右上升。
m < 0: 直線右下降。
o m = 0: 為水平線。
○ [m|愈大愈接近鉛直方向;|m|愈小愈接近水
平方向。
鉛直線:當直線為鉛直線時,無斜率。
● 平行與垂直:
° ¥íƑ(L₁//L2): m₁ = m2.
○垂直(LL2):my.m2=-1.
一般式斜率:直線方程式ax+by + c = 0
(b≠0)的斜率為
a
b

ページ200:

(5)直線方程式
Answer 常用的直線方程式形式包括點
斜式、斜截式、兩點式及截距公式。
點斜式(Point-slope form):
y − y₁ = m(x − x1).
- @
-
斜截式(Slope-intercept form):
y = mx + b. @
兩點式(Two-point form):
y - yı Y2 - 1
=
x-x1
X2 - X1
y
截距公式(Intercept form): - +
p
- = 1 (其中p
q
為x截距,q為y截距).

ページ201:

● 頂點座標為(一
二次函數標準式為
y
4ac-b²
=
ax² + bx + c (a ≠ 0)
b
,對稱軸方程式為
,
2a'
4a
b
x=
O
2a
•a>0時開口向上;a<0時開口向下。
判別式 b㎡ − 4ac 可判斷與 x 軸的交點數:大於0
有兩點、等於0相切、小於0不相交。

ページ202:

(2) 截距
Answer: 截距是直線與坐標軸的交點坐
標,其中y截距為b,若斜率不為零,則
b
x截距為
- -
a
y截距(y-intercept):直線與y軸的交點為
(0, b)。 因此,b 為此線與y軸交點的坐標,稱
為y截距。
x 截距(x-intercept): 若 a ≠ 0,則此線與 x 軸的
交點為(-
-
距。
b
b
a
,
0)。 因此,
-
-
為此線的x截
a
● 注意:截距是坐標值,可能為正、負或零。

ページ203:

話線型函數及直線之斜率、截距
(1) 線型函數及一次函數
Answer: 線型函數的圖形為直線,一次
函數是線型函數的一種,但要求斜率不為
零。
線型函數(Linear Function):設 a, b 為實數,函
數 y = f(x) = ax + b (其中 x 為實數) 的圖形是
一條直線,稱為線型函數。
一次函數(Linear Polynomial Function): 在
y = f(x) = ax + b中,若a≠0,則此函數稱
為一次函數。
O
· 常數函數(Constant Function):在
y = f(x) = ax+b中,若a=0,則此函數稱
為常數函數,其圖形為水平線。

ページ204:

(2)二次函數恆正、恆負之條件
Answer: 設 f(x) = ax² + bx + c
(a≠0),條件需配合二次函數圖形觀察
• f(x)≥0恆成立的條件為a>0且判別式
b2-4ac≤0。 @
f(x)<0恆成立的條件為a<0且判別式
b²−4ac<0。 @
af(x)>0恆成立的條件為判別式
b² − 4ac<0。
O

ページ205:

重點4二次函數之極值及恆正、恆負
(1) 求極值
Answe,儘量化為單一變數,單一項會變
動,可透過配方或數性了解,並注意限制範
主要方法包括配方後觀察圖形或利用數性了解
需注意是否有給定限制範圍。
平方和之最小值: 函數
f(x) = (x − a₁)² + (x − a2)² + ··· + (x − an)²
a1+a2+
aq + ay + … + an
+an
在x=
時有最小值。
n
a+b
算幾不等式: 若 a ≥ 0, b ≥ 0, 則
≥ √ab,
2
a+b
且
= Vab時 a = bo
b。
2

ページ206:

(3)限制範圍之恆正、恆負
Answer:需作圖觀察,恆正代表最小值為
正,恆負代表最大值為負。
• 作圖是判斷限制範圍內恆正、恆負的有效方法。
恆正的條件為該範圍內的「最小值」為正。
恆負的條件為該範圍內的「最大值」為負。

ページ207:

1. 除法原理及除法
Answer: 除法原理
設 f(x), g(x)為二多項式且g(x)≠0,則恰有二多
項式 q(x),r(x) 使得 f(x) = g(x)·q(x) + r(x),且
deg r(x) < deg g(x) c
• f(x)稱為被除式。
• g(x)稱為除式。
• q(x)稱為商式。
r(x)稱為餘式。
2. 方法
。
Answer: 長除法與綜合除法
長除法:適用於一般多項式除法。
綜合除法: 通常用於除式為一次式時,能簡化計
算過程。

ページ208:

如果對於任何x值都有 f(a) = g(a),則
f(x) = g(x)。
f(x) = g(x)等價於對應的同次項係數相等。
如果 f(x)和 g(x)都不超過n次,只要有n+1
個或n+1個以上的值代入後相等,則
f(x) = g(x)。

ページ209:

Answer: 除法原理
設 f(x), g(x)為二多項式且g(x)=0,則恰有二多
項式 q(x), r(x) 使得 f(x) = g(x)·q(x) + r(x),且
degr(x) < degg(x)。
f(x)稱為被除式。
g(x)稱為除式。
q(x)稱為商式。
• r(x)稱為餘式。
2. 方法
Answer: 長除法與綜合除法
長除法: 適用於一般多項式除法。
綜合除法:通常用於除式為一次式時,能簡化計
算過程。

ページ210:

1. 函數概念
Answer:函數是一種特殊的對應關
係
函數定義:設x與y是兩個變數,當給定一個 x
值時,會有一個且僅有一個唯一的y值與其對
應,則稱y是x的函數
O
變數名稱: x 稱為自變數,y稱為應變數。
。
記號:若此函數命名為f,則用記號y=f(x)表
示。
• 函數值:f(a)表示當x=a時所對應的函數值。

ページ211:

5.餘式定理
(1) 餘式定理
Answer: f(c)
多項式 f(x)除以x-c的餘式為 f(c)。
(2)推論
Answer: f ( 0 )
多項式 f(x) 除以 ax - b 的餘式為 f( ㄉㄧㄢ)。

ページ212:

6. 因式、倍式及因式定理
(1) 因式、倍式
Answer: 設f(x)、g(x)為多項式且g(x)≠0,若f(x)除
以g(x)之餘式為0,則稱g(x)為f(x)之因式、f(x)為
g(x)之倍式,以g(x)f(x)表示。
(2) 因式定理
Answer: 設f(x)為一多項式,a為一常數,則x-a是f(x)因
式 ↔ f(a)=0

ページ213:

7. 牛頓定理(整係數一次因式檢驗定
理)
(1) 設
f(x) = anx” + An−1xn−1 + ...... + a₁x +
是個整係數之多項式, 若整係數之一次式
ax − b 是 f(x)之因式,且a,b互質,則
alan,blag(a能整除且b能整除 a0
)。 Why?
Answer: 證明如下
Step 1: 利用因式定理
-
因為 ax − b 是 f(x) 的因式,根據因式定理,當
b
b
x = 時, f(x)的值應為0,即f(二)=0。
-
a
n
a
b
ƒ (4) = an (4)″ + ª-1 (49) ″¯¹
n−1
b
an−1
n-
a
+ ... + aq
+a1
a
b
b

ページ214:

7. 牛頓定理(整係數一次因式檢驗定
理)
(1) 設
:) = anx² + an−1x' + +aqx+ap
是個整係數之多項式,若整係數之一次式
ax − b 是 f(x) 之因式,且a,b互質, 則
alan, blag (a能整除且b能整除 a0
) • Why?
Answer: 證明如下
Step 1: 利用因式定理
ão
因為 ax − b 是 f(x)的因式,根據因式定理,當
b
b
x = 時, f(x)的值應為0,即f(") = 0。
-
a
a
n
In
(9)" + - (9) +
n−1
...
+α1
ao
+ap = 0
a
a

ページ215:

Step 2: 整理方程式並證明 alan
將方程式兩邊同乘以a”,以消去分母:
anb" + an-1b"-¹a + ... + a√ba”−¹ + ɑða" = 0
anb"+an−11
+ayban
將包含a的項移到等式右邊:
n-
anb" = −(an−1b”¯¹ a + ... + a₁ba”−¹ + aqa”)
n- -1
-2
anb" = −a(an-1b"−1 + ... + a₁ban-² + aoan−1)
這表示a能整除 ab”。又已知a,b互質,因此 a
,即alan。
必能整除 an
Step 3: 整理方程式並證明 b1a0
回到整理後的方程式:
anb"+an−1b"-la+...+aqban-1+aga" = 0
將包含b的項移到等式右邊:
n-
aqa” = −(aɲb” + an−1b"−¹ a + ... + a₁ba"−1)
aqa” = −b(anb"−1 + an−1b”¯² a + ... + a₁a”−1)
這表示b能整除 aga”。又已知a,b 互質,因此 b
必能整除 ay,即bla
0
的
x

ページ216:

(2)三點插值(Three-point
interpolation)
Answer: 牛頓法與拉格朗日法的設定
Step 1: 設
f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C
(Newton's method) :
設
-
f(x) = (x − a)(x − b)(x − c)Q(x)+m( •
-
Lagrange's method) :
設
-
-
f(x) = (x − a)(x − b)(x − c)Q(x) + m(x − b)(x

ページ217:

(2)三點插值(Three-point
interpolation)
Answer: 牛頓法與拉格朗日法的設定
Step 1: 設
f(a) = A, ƒ(b) = B, f(c) = C
(Newton's method) :
設
)Q(x)+m(x − a)(x − b) + n(x − a) + 1 °
-
• Lagrange's method) :
設
+ m(x − b)(x − c) + n(x − c)(x − a) + l(x − a)(x
-

ページ218:

(2)三點插值(Three-point
interpolation)
Answer: 牛頓法與拉格朗日法的設定
Step 1: 設
f(a) = A, ƒ(b) = B, f(c) = C
(Newton's method) :
設
)Q(x)+m(x − a)(x − b) + n(x − a) + 1 °
• Lagrange's method) :
設
-
x − b)(x − c) + n(x − c)(x − a) + l(x − a)(x − b) °

ページ219:

定義: 對於正數a,若存在整數n使 a=10" . b
且 1 ≤ b < 10,則 log a = n + log b,其中 n
稱為首數(Characteristic),logb 稱為尾數
(Mantissa),且 0 ≤ log b<1。
· 位數判斷:
◎ 若正數a的整數部分有n位數,則log a 的首
數為n-1。
若正小數a在小數點後最初有n個零,則
log a 的首數為 -(n + 1)。
常用對數值: 提供log2≈0.3010、
log3≈ 0.4771、log7≈0.8451 等參考數
值。

ページ220:

設
: (x − a)(x — b)Q(x) + m(x − a) + n°
-
-
• 由f(a) = A⇒n=A。
f(b) = B ⇒ m(b − a) + n = B ⇒ m =
B-A
b- a
。
則
B-A
-
x) = (x − a)(x − b)Q(x) +
-
(x − a) + A°
b-a
Lagrange's method) :

ページ221:

設
f(x) = (x - a)(x-b)Q(x)+m(x-a)
• 由f(a) = A ⇒n(ab)=A⇒n=
a.
A
-
B
b
。
由 f(b) = B ⇒ m(b− a) = B⇒m=
則
-
f(x) = (x − a)(x − b)Q(x) + B ·
。
b.
-
a
(x - a)
+ A
b-a
【註】:當 Q(x) =0時,所得的 f(x) 是最低次
(至多一次)的多項式,它是 f(x)除以
(x - a)(x - b)的餘式。

ページ222:

B-A
-
x) = (x − a)(x − b)Q(x) +
-
(x - a) + A。
b- a
• 拉格朗日法(Lagrange's method):
設
− a)(x − b)Q(x)+m(x − a) + n(x − b) °
A
• 由f(a) = A ⇒n(ab) = A⇒n=-
a-b
B
由 f(b) = B ⇒ m(b-a)=B⇒ m =
b-a
• 則
(x - a)
(x - b)
-
x − a)(x — b)Q(x) + B ·
+ A
b-a
a-b
【註】:當Q(x)=0時,所得的f(x)是最低次
(至多一次)的多項式,它是 f(x)除以
(x - a)(x - b)的餘式。

ページ223:

④若f(x)為更高次
Answer:依上類推
對於k次多項式 f(x),其k階差分為常
數,(k+ 1)階差分則為零。 係數遵循巴斯卡三角
形(Pascal's triangle) 規律。

ページ224:

設
f(x) = (x − a)(x − b)Q(x) + m(x − a)
-
• 由f(a)= A⇒ n = A。
f(b) = B⇒ m(b − a) + n = B ⇒ m =
B-A
b- a
則
B-A
f(x) = (x − a)(x − b)Q(x) +
-
-
(x − a) +
b- a
• (Lagrange's method) :

ページ225:

8. 插值公式(Interpolation Formulas)
Answer: 插值公式的內容
此頁面說明了兩種插值公式:牛頓插值法
(Newton's method)和拉格朗日插值法
(Lagrange's method)。
e
(1)兩點插值(Two-point interpolation)
Answer: 牛頓法與拉格朗日法的推導
Step 1: 設f(a) = A, f(b)= B
牛頓法(Newton's method):

ページ226:

②若f(x)為二次式
Answer:
f(n+3)-3f(n+1)+3f(n+1)-f(n)=0
若 f(x) 為二次多項式,其一階差分為一次式,二階
差分為常數。
三階差分
[f(n+3) −3f(n+2)+3f(n+1)-f(n)]則為
零,即
-
f(n + 3) − 3 f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0。

ページ227:

③若f(x)為三次式
Answer:
f(n+4)-4f(n+3)+6f(n+2)-4f(n+1)+f(n)=0
若 f(x)為三次多項式,其一階差分為二次式,二階
差分為一次式,三階差分為常數。
四階差分則為零,即
f(n+4) – 4f(n+3)+6f(n+2)−4f(n+1)+

ページ228:

- 4ƒ(n+3)+6ƒ(n + 2) − 4 f(n + 1) + ƒ(n) = 0 °

ページ229:

2.係數和
設 f(x)為一多項式。
○ 一切係數之和 = f(1)。
○ 一切奇次項之係數和==[f(1) - f(-1)]。
:2 (f(1)-f(-1)]。
○ 一切偶次項之係數和= || | [f(1) + f(−1)]。

ページ230:

設f(x)為一多項式,n為整數
①若f(x)為一次式
Answer: f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=0
若 f(x) 為一次多項式,其一階差分
f(n + 1) - f(n)為常數。
二階差分
[f(n + 2) − f(n + 1)] - [f(n + 1) - f(n)] 則為
零,即 f(n + 2) −2f(n+1)+f(n) = 0。

ページ231:

3. 多項式之相等
判斷 f(x) = g(x)的條件:
同次項對應係數相等。
O
○ 任何值代入x恆有f(a)=g(a)。
若 f(x), g(x)不超過n次,只要有n+1個相
異值代入後相等,則f(x) = g(x)。

ページ232:

3. 若a為ax²+bx+c=0之一根
Answer: f(a) = (a)
Explanation:
根據餘式定理的應用,若是方程式
2
ax² + bx + c =0的根,則ax² + bx + c 可以整除
f(x)的某一部分。因此,將x=x代入多項式
f(x) = (ax² + bx +c)Q(x)+R(x)
中,(aa² + bx + c)項會變為0,所以
f(a) = 0.Q(a) + R(a) = R(a)。

ページ233:

4.求(
no
a
Answer: 宜化
之近似值
f(x) = A + A₁(ax − no) + A₁(ax − no)² + ......
-
Explanation:
no
當需要求特定數值(如
-
2)的近似值時,可以將
a
函數 f(x)展開為泰勒級數或類似形式,使其圍繞在
已知點(例如 x = 附近)展開,以便利用前幾
no
a
項的和來估計近似值。
。

ページ234:

Answer: 多項式的乘法與相等性質
多項式的次數、係數和及相等性質的重點總結如
下:
1.次數問題
設 degf(x) =
= m, degg(x) =n。
○ deg(f(x)·g(x)) = m + n。
deg(ƒ(g(x))) = m · n °
◎ 若m≠n,則
deg(f(x)±g(x)) = Max(m,n)。
若 m = n,則 deg(f(x)±g(x))需要視最高
次項是否消去才能決定。 @

ページ235:

9
(x-a)”為降式: 設
-
-
x) = A。 + A₁(x − a) + ... + A₂(x − a)” + ...,
則 f(x) 除以 (x-a)”之餘式
=
O
A0 + A₁(x − a) + ... + An−1(x − a)”−1 。
-

ページ236:

1.已知被除式及除式
Answer: 利用長除法或綜合除法 •
10

ページ237:

2. 由除法原理調算出被除式或除式來除
常數後之商及餘式
"
Answer: A = (aB)(—) + R
Explanation:
(GB)()
a
除法原理表示:被除式A等於除式B乘以商Q加
上餘式 R,即 A = B · Q + R。 當除式 B 變成
aB(其中a為常數)時,為了使等式成立,商Q
必須調整為 e,而餘式R維持不變。
a

ページ238:

Answer: 重點3 求餘式
• 除法原理:f(x) = g(x)Q(x) + R(x), 其中
deg(R(x)) < deg(g(x))或R(x)=0。
b
• 餘式定理: 設 f(x)為多項式,c為常數,則f(x)除
以x-c之餘式= f(c)。②
假設法:
○ f(x) = (ax+b)Q(x)+r(a≠0)
○ f(x)= (ax²+bx + c)Q(x) + mx +n
f(x) = (x-a)Q(x)+m(儘量用層次假設法,
牛頓法)
f(x) = (x - a)(x− b)Q(x) + m(x - a) + n
○ f(x)=(x-a)(x-b)(x-cQ(x) + m(x −
f(x) = (x − a)(bx² + cx + d)Q(x)+m(bx²
· 二段式求餘式:(f(x))"=(g(x)Q(x)+R(x))",
則 f(x)” 除以 g(x)之餘式等於R(x)" 除以g(x)
之餘式。 @

ページ239:

代入降次法 (同餘速算法):
○ 令除式
m
x + b₁
+ bm−1xm−1+...
8
xm
= −(bm−1xm−1
-
+ bqx + b0 = 0, 再以
+...+bqx+b) 代入被
除式中的 x”, 直到其次數低於m 為止。
ox”-a除 f(x)之餘式=f(x)=a,即滿x”
便以 x” =a 代入,直到次數低於no e
@
(x³- − 1) = (x - 1)(x²+x+1),f(x)除以
-
3
x²+x+1之餘式等於f(x)除以 x゜−1之
餘式 R(x) 除以 x²+x+1之餘式。
(x - a)”為降式: 設
f(x) = A0 + A1(x-a)+...+An(x-a)"+
則 f(x)除以(x-a)”之餘式
= A0 + A₁(x − a) + ... + An−1(x − a)"−1 。
Aq
-
,

ページ240:

7
c)Q(x) + m(x − a)(x − b) + n(x − a) +1
-
+ cx + d)Q(x) + m(bx² + cx + d) + nx + 1

ページ241:

+ A
(x - b)(x — c)
-
-
(a - b)(a – c)
(x - c)(x − a)
-
(x
+ B
+C
(b − c)(b − a)
-
'3
(c

ページ242:

1. 牛頓定理(一次因式檢查定理)
Answer: 牛頓定理(一次因式檢查定理)
UT
牛頓定理(有理根檢驗法)指出,對於一個整係數
多項式
f(x) = anx" + an-1x"
.n-1 + ... + aqx + ag,若有
整係數的一次因式 ax-b,且a,b互質,則a必能
整除an (首項係數),且b必能整除 a) (常數
ao
項)
2. 補充常識
Answer: 補充常識
當 ax − b 是 f(x)的因式時,根據餘式定理的推
廣,對於任意整數m,必有ma-b整除f(m)。因
此,如果能找到一個整數m 使得ma-b無法整除
f(m),即可斷定 ax − b 不是 f(x) 的因式。

ページ243:

b)(x - c)
b)(a - c)
-
(x — c)(x − a)
-
(x - a)(x - b)
+ B
+C
(b - c)(b − a)
-
(c - a)(c – b)
-
4

ページ244:

(A)雙曲線之定義
Answer: 滿足與兩個固定點(焦點)的距離差的絕
對值為一定值的點的軌跡
(B) 雙曲線之性質
1.動點坐標表示
Answer: (a sec 0, b tan 0) 或(a cosh u, b sinh u)
2.焦半徑長
Answer: PF₁ = |a — — x0| = PF2 = \a + ≤ xol
C
-
a
3. 點到漸近線距離積
Answer:
a²b²
a
a² + b2
4. 平行四邊形面積
Answer: ab
—

ページ245:

(2)加法原理
Answer: 概念性問題,無單一答案
此部分說明加法原理及其相關集合運
算。
• 互斥事件的聯集:若A∩B= þ,則
n(A∪ B) = n(A)+n(B)。
• 集合差集:n(A-B)=n(A)-n(A∩B)。
• 笛卡爾積:n(A×B) = n(A)×n(B)。
(3) 部份集合個數
Answer: 概念 問題,無單-答案
此部分說明冪集(子集合的集合)的個
數。
冪集大小:n(24)=2n(A),其中
2^ = {X|X ⊂ A} 表示集合A 的所有子集合所
組成的集合

ページ246:

1. 因式定理與插值公式重點
z
Answer: (1)設 a ≠b,f(x)為多項式, 若 f(a)= 0,
f(b)= 0,則(x-a)(x-b)為f(x)之因式;同理,
若a1,a2,...,互異, 且
an
f(a) = f(a2) =...= f(a)=0,則
(x - aq)(x-a2)...(x-an)為 f(x)之因式。(2)
a, b, c 互異, 若 f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C,則
f(x) = (x - a)(x-b)(x-c)Q(x)+A
(x - b)(x
(a - b)(a