ページ3:

3. 軸為水平、鉛直之橢圓(整理比較,作
為公式)
(1)將橢圓平移讠= (h, k) 後, 點
P(x,y)之新坐標為(xo+h, yo+ k),
方程式 f(x,y)=0之新位置中為
f(x-h,y-k)=0
Answer: 點的平移是將原坐標(xo, yy)各加上平移
向量的分量得到新坐標(xo+h, yo + k);方程式
的平移則是將原方程式中的 x 替換為x-h,將y
替換為y-k得到新方程式
f(x - h, y- k) = 0。

ページ4:

(2)橢圓要項
① 焦點
Answer:上面定義中之二定點F及F'
Explanation:
上面定義中之二定點F及F',稱為此橢圓之兩焦
點。
②長軸與短軸
Ansyr: AA' 叫此橢圓之長軸,BB'叫此橢圓之
短軸
Explanation:
橢圓有二對稱軸及一對稱中心,含焦點之對稱軸交
橢圓於 A, A',則 AA' 叫此橢圓之長軸,A, A' 為
此橢圓之二頂點,垂直長軸之對稱軸交橢圓於
B. B',則BB'叫此橢圓之短軸,長軸與短軸之交
點為中心。
③二焦點、長軸長、短軸長

ページ5:

2. 橢圓之標準式
Answer: (±c, 0)
此為一個概念性問題,要求填寫橢圓標準式中兩焦
點的坐標。 根據圖片內容,若橢圓長軸長為2a,
x² y²
且其方程式為
+ =1,其中 a>b>0且
a² b2
b² = a² − c²,則兩焦點的坐標為(±c,0)。

ページ6:

③二焦點、長軸長、短軸長
Answe二焦距為2c,長軸長為2a,短軸長為
2b = 2Va²-c²,關係為c2 = a²-6㎡
Explanation:
橢圓之二焦點之距離叫二焦距,上述定義中 FF'
為二焦距(以 2c 表示)
,
長軸 AA'之長 = 2a,
則短軸長 BB' = 2Va²-c²(以26 表
示),a, b, c之關係為c²=a²-b²(由後面標準
式了解)
。

ページ7:

電話求拋物線方程式
1)軸為水平或鉛直方向時
作略圖
• 求出頂點 (hk)
• 再求軸
• 方程式型式
(a) 軸為 y-k=0 ⇒ 可設 (y − k)² = 4c(x − h),
再求c
(b) 軸為 x-h=0⇒ 可設
(x - h)² = 4c(y - k), 再求 c
(c) 可用 y = Ax² + Bx + C (x = Ay² + By + C)
表示
2)對稱軸不為水平鉛直方向
利用定義求之
3) 求軌跡
可由方程式或由其意義來處理

ページ8:

1.拋物線之性質重點
Answer: 拋物線之性質重點
此為高中數
1928
物性質的重點
整理,主要包含以下以念
參數表示法: 針對y² = 4cx及x² = 4cy 兩種
標準拋物線方程式,提供了動點P(x,y) 的參數
式表示方法,例如P(ct²,2ct)。
根與係數關係:說明在求弦端點困難時,可利用
根與係數關係解題。
• 弦之中點:給定拋物線方程式 f(x,y)=0及弦
中點 A(a, b),可利用f(x,y)=0與
f(2a - x, 2b - y) = 0 消去平方項求得弦方程
式。
圖形平移: 說明圖形 f(x, y) = 0 平移向量
下= (h,k)後,新位置的方程式為
f(x - h, y-k) = 0。
過交點之圖形:說明過兩個圖形
Sı:fi(x,y) = 0 與S: f2(x, y) = 0 交點的
圖形方程式可設為
k. f(x,y) + e . fz(x, y) = 0。

ページ9:

1.橢圓定義與要項
(1)定義
Answer.椭
ExplanatION.
設 F 與 F'為平面上二定點,a 為一正數。 若
FF' < 2a,則在包含F與F的平面上,至 F 與
F'的距離之和等於定數 2a 的所有點所成的圖形,
稱為是一個橢圓,而F 與F'稱為這個橢圓的兩個
焦點。
《註》:
在一平面上,設 F≠F,滿足
PF + PF2 = 2a (2a > FFz)之P點之軌跡
為一橢圓。
上述若 2a = 2c P軌跡為一線段 FF。
上述若 2a < 2c之P點不存在。

ページ10:

6. 等軸雙曲線
垂直
er:共軛軸之長等於貫軸之長 或 漸近線互相
當雙曲線的共軛軸長度等於貫軸長度時,稱為等軸
雙曲線。 這也等價於其兩條漸近線互相垂直。

ページ11:

求拋物線方程式
1)軸為水平或鉛直方向時
作略圖
• 求出頂點 V(hk)
· 再求軸
• 方程式型式
(a)軸為 y-k=0⇒ 可設(y-k)²=4c(x-h),
再求c
(b) 軸為 x-h = 0⇒ 可設
(x - h)² = 4c(y-k),再求c
(c) 可用 y = Ax² + Bx + C (x = Ay² + By + C)
表示
2)對稱軸不為水平鉛直方向
利用定義求之
3)求軌跡
可由方程式或由其意義來處理

ページ12:

4. 平行四邊形面積
er:
1-2
ab
雙曲線
x2 y2
y²
X
= 1(或
= 1)上任一點
a²
b2
a²
b2
P,過P 作兩漸近線的平行線,則與兩漸近線圍成
的平行四邊形面積為定值 ab。
5. 直線與雙曲線相交性質
Answer: ①PO與 RS 的中點一致 及②
PR = QS
設一直線與雙曲線
=
1之一葉相交於兩
a²
b2
點 P,Q,與其兩漸近線分別交於R, S,則線段
PQ 和 RS 有相同的中點,且 PR 的長度等於
QS 的長度。

ページ13:

重點: 由標準式,求拋物線要點
精修最夯常考題材
(1)配成標準式型式,作略圖⇒ 求要項。
(2)凡是準線並沒垂直坐標軸,所得方程式均不是標
準式,需利用定義求之。
(3)
yf = 4cx, x² = 4cy, (y-k)²=4c(x-h),(x-h
之正焦弦長 = |4c| = 4 (焦距) =2(焦點到準線距
離).

ページ14:

1. 雙曲線動點坐標
a
Answer: ( btan 0) (或 (a sec 0, btan 0))
cos A
此為雙曲線
22
,
|
12
=1的參數式表示法,其中
b2
0 為參數
。
2. 焦半徑長
① 水平開口雙曲線
Ans
=
PF₁ = |a − − x0|, PF2 = |a + − x0|
-
a
a
這些公式用於計算雙曲線
=1 上任一點
a² b2
P(xo, yy)到兩個焦點 F(c,0) 和F(-c, 0) 的距
離。

ページ15:

② 垂直開口雙曲線
-
Answer: PF1
r: PF₁ = |a — — yo], PF2 = |a + ~ yo|
a
a
y²x²
2
這些公式用於計算雙曲線
-
=1 上任一點
b2
P(x, y) 到兩個焦點 F(0,c) 和 Fą(0, -c) 的距
離。
3. 點到漸近線距離積
Answer:
a²b²
a² + b2
X
X
雙曲線
1(或
=
1)上任一點
a²
2
b2
b2
a²b²
2
到其兩條漸近線的距離乘積為定值
。
a² + b2

ページ16:

當焦點為(h,k+c)且準線為y=k-c時,拋
物線方程式為 (x - h)² = 4c(y-k)。
反之,見到形如 (x − h)² = 4c(y − k) 的方程
-
式,其圖形為拋物線,焦點為(h,k+c),準線
為y=k-c。

ページ17:

2. 正焦弦長計算
Step 1: 理解正焦弦長的幾何定義
拋物線正焦弦長等於焦點到頂點距離的4倍,也等
於焦點到準線距離的2倍。
Step 2: 針對標準方程式應用公式
對於標準拋物線方程式y=4cx、x² = 4cy、
(y - k)² = 4c(x -h)或(x-h)²=4c(y-k),
正焦弦長度均為|4c|。
Answer:
拋物線正焦弦長度為焦點到頂點距離的4倍,或焦
點到準線距離的2倍。對於標準方程式,其長度
為|4c|。

ページ18:

1.拋物線之弦、焦弦、正焦弦、焦半徑
定義
Answer 連接拋物線上任意兩點的線段叫拋物線的
;經過焦點的弦叫焦弦;與拋物線軸垂直的焦弦
叫正焦弦;連接拋物線上任一點與焦點的線段叫拋
物線的焦半徑。
弦:連接拋物線上任意兩點的線段(圖中
CD)
。 @
焦弦:經過焦點的弦(圖中A'B')
正焦弦:與拋物線軸垂直的焦弦(圖中
AB)
。
• 焦半徑:連接拋物線上任一點與焦點F的線段
(圖中FA, FB, FA',FB')
。

ページ19:

(2)焦點在x軸上,準線垂直軸,頂點為原點
Answer:拋物線方程式為y)=4cx, 焦點為 (c, 0),
準線為 x = -C
題,答式
百米可且传健課瓜因公司
當焦點為(c)且準線為x=c時,拋物線方
程式為 y = 4cx。
反之,見到形如 y² = 4cx的方程式,其圖形為
拋物線,焦點為(c,0),準線為 x = -c。

ページ20:

(4)準線為鉛直線,頂點為(h,k)
Answer:拋物線方程式為(y-k)²=4c(x−h),
焦點為(h+c,k),準線為x=h-c
BB+A
念性問題,答案可從課
式的概
出
當焦點為(h+c,k)且準線為x=h-c時,
拋物線方程式為 (y-k)²=4c(x-h)。
• 反之,見到形如 (y − k)' = 4c(x − h) 的方程
式,其圖形為拋物線,焦點為(h+c,k),準線
#x=h-co
(5) 準線為水平線,頂點為(hk)
Answer:拋物線方程式為(x-h)²=4c(y-k),
焦點為(hk+C),準線為y=k-c
ㄓ
當焦點為(h,k+c)且準線為y=k-c時,拋
物線方程式為(x− h)² = 4c(y − k)。
-

ページ21:

2. 拋物線之定義及相關名詞
(1)定義
Answer: 設L 為一定直線,F為不在L 上的一定
點,則在包含L 與F 的平面上,至F與L等距離的
所有點所成的圖形稱為拋物線。
(2) 拋物線要項
Answer:決定拋物線之定直線L 叫此拋物線之準
線,定點F稱為此拋物線的焦點,過F與L垂直的
直線稱為此拋物線的對稱軸(簡稱軸),軸與拋物
線的交點稱為此拋物線的頂點,焦點到頂點之距離
叫焦距。
(3)基本常識
Answer!
往空中拋擲一小石頭,其移動之軌跡為一拋物
線。
• 軸垂直準線。
● 頂點為焦點到準線之垂直線段之中點。
拋物線之圖形可無限延伸。

ページ22:

(4)退化
Answer: 由(1)之定義中,若FEL,則P點之圖形
為過F且垂直L之一直線,視為拋物線之退化情
形。

ページ23:

Answer: 拋物線方程式的定義與一般式推導
該圖片說明了如何根據拋物線的定義
(到焦點F的距離等於到準線的距
離)來推導其一般方程式。
焦點為F(x,yo)。
準線為 L:ax+by+c=0。
拋物線上任一點 P(x,y) 滿足 PF = d(P,L)。
距離公式表示為
√√(x − x0)² + (y − yo)²
[ax+by+ cl
-
=
。
Va² + b2
將此方程式展開化簡後,即可得到拋物線的一般
方程式。

ページ24:

(4)面積的變換
一區域 R(圖形 R)經線性變換 A =
(a b) #
後
之圖形為R',則R'之面積=R 之原面積
a b
之絕對值。
d

ページ25:

鏡射、伸縮、推移等四種線性變換的定義、矩陣表
示法及特性。
旋轉:使用旋轉矩陣
cos e
- sin e
表示,
sine
cos A
特點包括逆方陣、組合性質及行列式值為1。
鏡射:使用鏡射矩陣
cos 20
sin 20
表
sin 20
- cos 20
示,特點包括鏡射軸、逆方陣等於本身、平方為
單位矩陣及行列式值為1。
• 伸縮與推移:分別介紹了不同方向的伸縮矩陣
h
(例如
(6 %)
)和推移矩陣(例如
1
k
(64)
1
0
備註:提及線性變換可由特殊變換合成,並說明
平移的矩陣表示法。

ページ26:

(1)在平面上,二元一次方程式
ax + by + c =0之圖形
Answer: 一直線(A straight line)
在平面上,二元一次方程式 ax + by + c = 0(其
中 a² + b² ≠ 0)的圖形是一條直線。 而二元二次
方程式 ax² + bxy + cy² + dx + 4y + f = 0(其
中 a² + b²+ c² ≠0)的圖形則稱為二次曲線,可
能為拋物線、圓、橢圓或雙曲線等。
(2) 圓錐曲線(Conic Sections)
Answer: 二次曲線可由一平面與一對立直圓錐面之
截痕來顯示(Conic sections can be shown by
the intersection of a plane and a pair of
opposite right circular cones)
• 二次曲線又稱為圓錐曲線,因為它們可以由一個
平面與一對立直圓錐面的截痕來顯示。
根據截面與錐面的角度不同,會形成圓、橢圓、
拋物線或雙曲線。
若截面 E 通過錐面的頂點,則得到的圖形可能
是一個點、一條直線或兩條相交直線,這些稱為
退化錐線。

ページ27:

ok 為推移因數,表示x坐標沿著y 軸方向推移
k倍。
平移(Translation)
平移是一種剛體變換,會將平面上的所
有點沿著相同的向量移動相同的距離。
平移向量 V= (h,k)
o 變換規則:x' = x + h, y' = yi + k 。
○ 矩陣表示法:
=
1
1
h
=
h
k
③)-(C)+(2)-(1:2)

ページ28:

推移變換(Shear Transformation)
推移變換是一種線性變換,會使平面上
的點沿著特定方向移動,而與該方向平
行的線則保持不變。
情況①:x軸為不變線
o 變換規則:x' = xı, y = yı + kxı。
○ 矩陣表示
法
·
0
X1
(*) = (1 1) (^}) = (x² + y)
k
kxı y1
ok 為推移因數,表示y 坐標沿著x 軸方向推移
k倍。
情況②:y軸為不變線
o 變換規則:x = xı + kyı, y1 = yi°
○ 矩陣表示
法
1 k
x1
1 + ky₁
· () = ( 1) (9) - (****)
=
NI++
ㄣ

ページ29:

1. 線性變換基本常識
Answer: 重點整理
(1)線性變換的表示法
線性變換將(x,y)變換成(x'y')滿足矩陣方程式
b
d
({}) = ( )) () ·
a b
此變換可用矩陣 A=
或 [f]
d
(ε }) = ( 2 )
a
C
表示。
(2)共線性的不變性
P、Q、R三點共線,經線性變換 A =
後,像點 P'、Q、R'仍共線。
(3)線性組合的性質
(a 5)
b
d
若 [f] = A =
(a b)
為一線性變換,且
a, f∈ R,則
A(aP+ Q) = aA(P)+BA(Q)(或寫為
f(aP+ BQ) = af(P) + Bf(Q))
。

ページ30:

② 平行y軸伸縮k 倍:
Answer: A=
(\begin{pmatti
rix})
\ \uxK \enatpmai
• P點(xı,yy)經過變換A 得到P'點(x,y),相
當於將P 點到x軸的距離伸縮k 倍。
• 座標變換公式為
X1
({})) = ( ) ( ) ) = ( * ) .
③ 以原點為中心伸縮k 倍:
Answers A-
(\begin{omatrixinx0\\0&k\end{p
trix})
P點 (xı,yı)經過變換A 得到P' 點 (x,y),相
當於將向量 OP 沿原方向伸縮k 倍。
• 當k>1時為伸長,當0<k<1時為縮短。
座標變換公式為
kx1
k
0
k
()
=
ky₁
。

ページ31:

(4)推移:
Answer: A=
\\begin{pmatric]1&R\\0&1\end{pmat
rix})
平面上的變換A 將P點(x,y)變換為P' 點
(x'y'),使得
x = xı + kyı。
= y₁
y1
這是一種平行x軸的推移。
• 座標變換公式為
1 k
({}) = ( })» ( ) » ·

ページ32:

(3)伸縮:
① 平行x軸伸縮k 倍:
An
A=
(\begin{pm
rix})
}k&0\\0&1\end{pmat
P點 (xı,yı)經過變換A 得到P' 點 (x, y),相
當於將P 點到y 軸的距離伸縮k 倍。
座標變換公式為
kx1
(()-(()) (C)-(%)
C
k 0
=
0 1
=

ページ33:

結合齊次性和可加性,對於任意實數 x, β,有
f(aP+Q)=af(P)+f(Q)或
A(aP+Q) =aA(P)+BA(Q)。
o 此性質保證了直線的像仍為直線:直線 PQ
上的任一點 R=aP+Q的像點 R'會落在
f(P) = P' 及 f(Q)= Q' 的連線上。
原點不變性(Origin Invariance):坐標原點
(0,0)經線性變換後,位置依然是(0,0),即
f(0,0)=(0,0)。

ページ34:

4. 重要(特別)之線性變換
(1)旋轉:
A=(\begin{nmatrix}\cos\theta&
ix})
the
P點 (xı,yı)經過變換A 得到P' 點 (x, y), 相
當於以原點 為中心旋轉角。
旋轉角的定義如圖所示。
座標變換公式為
C
-
· sin
cos A
(({})) = (300 - ) ( x ) ) ) ·
sine
tr

ページ35:

(2)鏡射:
Answer: A=
cos ther
relax_cos\ineta\end{pmatrix)
P點 (xı,yı) 經過變換A 得到P' 點 (x, y), P'
為P 對直線 y = (tan)x的對稱點。
0角的定義如圖所示。
座標變換公式為
cos A
sin e
=
sine
-
- cos e
。 ) ( x )
。

ページ36:

(2)平面上每一區域可切割成許多三角形
之面積和。
電話:證明一般區域面積變率的基礎概念。
任何複雜的平面區域都可以被無限多個小三角形
逼近或切割。
由於線性變換對每個小三角形都保持相同的面積
變率,因此對整個區域也是如此。

ページ37:

2. 線性變換之性質
Answer: 線性變換會將直線對應到另一條直線上,
且將坐標原點固定不變
線性變換 f(或以矩陣A表示)具有以
下性質:
齊次性(Homogeneity):將向量P縮放k倍後
再進行線性變換,等同於先進行線性變換再將結
果縮放 k 倍,即f(kP=kf(P) 或
A(kP) = kA(P) °
可加性(Additivity):兩個向量 P和Q先相加再
進行線性變換,等同於先分別進行線性變換再將
結果相加,即f(P+ Q) = f(P) + f(Q) 或
A(P+ Q) = A(P)+A(Q)。
線性組合性質(Linear Combination Property):
結合齊次性和可加性,對於任意實數 x, 阝,有
f(aP+Q) = af(P)+f(Q)或
A(aP+ ßQ) = αA(P) + ßA(Q) •
o 此性質保證了直線的像仍為直線:直線 PO
上的任一點 R=aP+Q的像點R'會落在
f(P) = P' 及 f(Q) = Q' 的連線上。

ページ38:

(3)平面上任一區域 R經線性變換
A=
= ( c )
後得映像 R'
C
Answer: 則映像R'面積=原區域 R 之面積
a
d
Explanation
基於(1)和(2) 的原理,將區域R視為許多小三
角形的組合。
每個小三角形的面積都乘以相同的面積變率
a
C
外
因此,總映像面積 R'等於原總面積 R 乘以該
變率。

ページ39:

1. 線性變換
Answer: 線性變換
線性變換是指在坐標平面上,點 P(x,y)依關係式
a
b
d y
P'(x'y')的過程,其中
陣
(C) = (c )) (c) = (ax + by)
變換成點
cx
(ab)
是一個二階方
(2) 函數表示
Answer: 函數
一個二階方陣A代表一種線性變換,將平面上每
點映射到對應點,因此可以視為一個函數 f,將
P(x, y) 變換到 P'(x'y'),記為
f(x,y) = (x',y')。

ページ40:

(3)變換表示法
Answer (f) = A =
= (a 2)
b
d
若線性變換 f將 P(x,y)變換到
P'(x'y') = (ax+by,cx+dy)時,即
a b
(+)-( ) ( )
=
C
d
b
(f) = A =
1 = (a 2)
d
,
亦可用
表示此變換。

ページ41:

3. 線性變換之映像的面積比:(面積變
率)
(1) △OPO 經線性變換
[f] = A =
1 = (²
( c 2 )
後之映像為
AO'P'Q'
Answer: AO'P'Q' 面積: △OPQ 面積=
b
d
: 1
Explanation
● 線性變換將平面上的區域進行拉伸、壓縮、旋轉
等操作。
對於一個線性變換矩陣 A=
· (a b)
,
其行列
d
a
式值
| | | =
b
= ad − bc 表示面積的變率。
d
這個變率是映像面積與原面積的比值,即
映像面積 = 原面積.
0
因此,△O'P'Q'的面積是AOPQ 面積的
a b
C
倍。

ページ42:

這段文
了反方陣在解線性方程組及馬可夫鏈
應用中的重要概念
。
若 AX = B 且A-存在,則X=A-'B。
馬可夫轉移矩陣A 可用於計算後續狀態:
Sn = ASn-16
。
長期穩定狀態 S滿足方程AS = S。

ページ43:

Answer: 馬可夫鏈
Explanation:
當一個現象的呈現過程具有以下性質時,我們就說
這個過程形成一個馬可夫鏈:在任意觀察期中此現
象呈現狀態 S 時,則它在下一觀察期呈現狀態 S
的機率為 Piy,即 Pf=P(SS)。這個性質稱為
「無記憶性」或馬可夫性質。
(2)馬可夫鏈之轉移矩陣:
轉移矩陣
Explanation:
設有一個馬可夫鏈,其可能出現的不同狀態有
Sı,S2,..., S,而由狀態S; 轉變成狀態S的機
P11 P12
Pın
率為 Piy。則矩陣 A=
P21
P22
...
P2n
稱
\Pn1
Pn2
Pnn)
為這個馬可夫鏈的轉移矩陣。
【註】: 在轉移矩陣中,每個元素 Pij都是大於或
等於O 的數,而且每一行中各元素的和都等於1,即
n
Σ Pij =1(對所有 j= 1, 2, ..., n)。
i=1

ページ44:

這張圖表總 判斷矩陣可逆性及計算反矩陣的幾
種重要方法
● 可逆條件: 方陣A可逆的條件是其行列式
8(A)不等於0。
二階反矩陣公式: 對於A=
=
(ab).
若
8(A) = ad - bc ≠ 0,則
A-1
=
1
d
-b
a
ad - bc -C
高斯-喬丹消去法: 可透過列運算將增廣矩陣
(AI)轉換為(A-')來求得反矩陣。

ページ45:

Answer: 方陣求反方陣(乘法反元素)的方法
這是一個關於如何使用列運算(row operations)
來尋找一般方陣 A 的反方陣 A-1 (乘法反元素)
的數學問題。
• 方法涉及構造一個增廣矩陣 M = (A, I),其中
In 是n階單位方陣。
對 M 進行列運算,目標是將左半部分的 A轉
換為I。
當左半部分變成I時,右半部分所形成的矩陣
即為 A-1 。
最終結論是:矩陣(AI)經列運算後會變成
(I | A¯¹) ·

ページ46:

Answer: 方陣求反方陣(乘法反元素)的方法
這是一個關於如何使用列運算(row operations)
來尋找一般方陣 A 的反方陣 A-1(乘法反元素)
的數學問題
。
方法涉及構造一個增廣矩陣 M= (A, I),其中
I 是 n 階單位方陣
n
。
• 對M進行列運算,目標是將左半部分的A轉
換為I。
n
當左半部分變成I時,右半部分所形成的矩陣
即為 A-1。
• 最終結論是:矩陣(AI)經列運算後會變成
(I | A¯¹) •

ページ47:

3. 反方陣(乘法反元素)之性質及解矩陣
方程式
[以下為反方陣性質及解矩陣方
程式的重點摘要]。
• 性質(1): 若 A 為方陣且 8(A) ≠ 0,則 A- 存
在。
性質(2):
o AB=C且A-存在⇒B = A-'C (而不
是 CA-l)。
○ BA = C且 A-存在⇒ B = CA-1(而不
是 A-C )。
性質(3): 若 A-1、B-'存在,則 (AB)-' 存
在,且 (AB)-1 = B-'A-!(而不是
A-1B-1)。
性質(4):矩陣乘法不具消去律:設A、B 為兩
矩陣,而 AB=0可能A≠0且B≠0。故
AB = AC ⇒ A(B-C)=0,則可能 A≠0
且 B-C≠0,即AB=AC,A≠0不能推
出B=C。
性質(5): 若 A- 不存在,則 A”之乘法反元素
不存在。

ページ48:

7. 乘法性質
Answer: 矩陣乘法具有不可交換性、結
合律、係數積結合律及分配律,且存在
非零矩陣相乘為零的特性
不可交換性:可乘時 A×B 不恆等於BxA。
結合律:可乘時(AB)C=A(BC)。
係數積結合律:可乘時
r(AB) = (rA)B = A(rB)。
分配律:乘法對加法適合分配律,例如
A(B + C) = AB+AC(左分配律)。
零因子: 存在矩陣 A≠ 0, B≠ 0, 使 AB = 0,
例如 A =
0
8].
0
B =
0 1

ページ49:

③ 矩陣之反方陣存在條件(Condition
for Existence of Inverse Matrix)
Answer 行列式值不為 O(Determinant not equal
to 0)
方陣 A 有反方陣(乘法反元素)的充要條件是它
的行列式值不為O,亦即det(A)≠0或
6(A) ≠ 0。
④二階方陣之乘法反元素(Inverse of a
2x2 Matrix)
Answer:
1
d -b
(
S(A)
-
C
a
對於二階方陣 A =
(a
b)
,若
d
8(A) = ad - bc≠0,則其反方陣 A- 為:
A-1
=
1
d
1
¯¯¯¯- (* 2) - (42)
ad bc
-
-C
a
8(A)

ページ50:

1.反方陣(Inverse Matrix)
① 單位方陣(Identity Matrix)
Answer:單位方陣(Identity matrix)
若一個n 階方陣中,由左上角到右下角的對角線上
各位置的元(即(1,1)元、(2,2)元、
(n, n)元)都是1,而其餘各元都是O,則稱之為n
階單位方陣,以 I 表示。
② 矩陣之反方陣(Inverse of a Matrix)
Answer 反方陣(Inverse matrix)
若 A 與 B 滿足 AB = BA = I,則稱 A 與 B 互
為反方陣(乘法反元素),A之反方陣(乘法反元
素)記為 A-1。 @
③ 矩陣之反方陣存在條件(Condition
for Existence of Inverse Matrix)
Answer:行列式值不為 O (Determinant not equal
to 0)

ページ51:

1. (1,2)元
Answer: (1, 2)元為
a11b12+ a12b22 + ... + a1nbn2
Explanation:
根據矩陣乘法的定義,積矩陣C中的第1列第j
行元素 C;; 是由矩陣A的第i列元素與矩陣 B 的
Cij
第j行對應元素相乘後加總而得,即
n
Cij = Zaikbkj。
k=1
對於求 C 的第 (1,2) 元,即 cız,將 i = 1 且
j=2代入公式,可得
n
12 = Σ ª1kbk2 = α11b12 + a12b22 + ... + a1nbm2
k=1

ページ52:

要說明矩陣的係數積(數)及其性
矩陣 A 乘以實數r後,每個元素都會乘以r
係數積滿足分配律:r(A+B) = rA + rB。
係數積也滿足結合律:(rs)A= r(sA)。
零矩陣0乘以任意實數,仍為0。

ページ53:

1.(1,2)元
Answer: (1, 2)元為
a911612+912622+...+ainbn2
Explanation:
根據矩陣乘法的定義,積矩陣C中的第i列第j
行元素 Ci)是由矩陣A的第1列元素與矩陣 B 的
第j行對應元素相乘後加總而得,即
n
Cij = = dikbkj。
k=1
對於求 C 的第 (1,2) 元,即 cız,將 i = 1 且
j=2代入公式,可得
n
€12 = Σ α1kbk2 = a11b12+α12b22+
k=1
+...+aynb

ページ54:

Explanation:
在運算有意義(即矩陣階數可加)的前
提下,矩陣加法具有以下性質:
①可交換:A+B=B+A
②可結合:(A + B) + C = A + (B + C)
③具加法單位元素:存在零矩陣 0,使
0 + A = A +0=A
【註】:當一個mxn階矩陣的所有元素均為0
時,稱之為 m×n 階之零矩陣,例如:
50 07
0 0
02x3
=
0
0
8]
8:03x2
;03x2 =
0
0
0 0
在不混亂的情形下,均可以表示零矩陣。
$

ページ55:

3. 矩陣之相等
(1)定義
Answer 若兩個矩陣的階數相同(列數與行數分別
相等),且所有對應位置的元素也都相等,則稱這
兩個矩陣相等。
簡言之,若 A=B,則必須滿足以下兩
個條件:
A 之列數 = B之列數;A之行數 = B 之行
數。
A之每個(i,j)元=B之每個(i,j)元。
(2)用法
Answer 數個等式可用一個矩陣表示。

ページ56:

(3)加法反元素(Additive Inverse)
Answer:加法反元素(Additive inverse)
在矩陣的加法運算中,每個矩陣 A 都有一個加法
反元素 -A。 –A 也是一個 m ×n 矩陣,且 -A
的每個(i,j)元都等於A的(i,j)元的加法反元
a
素。 例如,矩陣
(2 2)
b
的加法反元素為
C d
a
-b
0
它們的和為零矩陣
-C -d
-
0
[88] .
(4)減法(Subtraction)
Answer: 減法(Subtraction)
矩陣的減法定義為A-B=A+(−B)。若A與
B的階數相等,則A-B也是一個mxn矩陣,
且A-B的每個(i,j)元都等於A的(i,j)元減
去B 的 (i, j)元的差。

ページ57:

⑥ 方陣
Answer: 當一矩陣之列數與行數相等時,稱之為方
陣,而 n×n 矩陣(方陣),則簡稱為2階方陣
⑦ (i,j)元
Answer: 在一個矩陣中,每個元都有它所屬的列與
行;習慣上位於第i列、第j行的元稱為(i,j)元
2. 其他常識
① 轉置矩陣
Answer: 設A= (aij)mxn之行與列對調,而成
B = :(bjì)nxm,且對其中每一對i、j (i=1, 2, ..., m;
j = 1, 2, ..., n) 恆有ajj=bjì之關係,則稱矩陣 B
為矩陣A 之轉置矩陣,而記為B= AT

ページ58:

1. 解釋矩陣相關概念
Answe
關於矩陣的定要分類
單位矩陣: 主對角線元素皆為1,其餘元素皆為
0 的方陣 •
。
• 對稱矩陣轉置矩陣即為其本身的方陣
(A' = A)
。
反稱矩陣轉置矩陣與原矩陣互為負數的方陣
(A' = -A),主對角線元素皆為0。
三角矩陣:主對角線一側的元素全為O 的矩
陣,可分為上三角矩陣(O元素在左下方)與下
三角矩陣(0 元素在右上方)
。

ページ59:

4. 矩陣之加法及減法(Matrix Addition
and Subtraction)
(1)加法(Addition)
Answer: 當兩個矩陣的階數相等時,將對應位置的
元相加,即可得到新的和矩陣。
Explanation:
當兩個矩陣 M 與N的階數相等(即列數與行數
皆相等,例如都是 m×n 矩陣)時,它們是「可
加」的。 將兩矩陣中對應位置的元素相加,所得的
和寫在同樣位置上,即可形成一個新的mxn 矩陣
M+N。M+N的每個(i,j)元都等於 M 的
(i, j)元與 N 的(i,j)元之和。 @
(2)加法性質(Properties of Addition)
Answer: 矩陣加法具有可交換性、可結合性,且存
在加法單位元素(零矩陣)
Explanation:
。
在運算有意義(即矩陣階數可加)的前
提下,矩陣加法具有以下性質:
.
①可交換:A+B=B+A
②可結合:(A + B) + C = A+ (B+C)

ページ60:

6. 一次齊次方程式組(Homogeneous
Linear Equations)
(1)一次齊次方程式組的定義與性質
1.齊次方程式組必有一組零解。
齊次方程式組(每個方程式的常數項都是O)必定
有至少一組解,即零解(所有未知數皆為零)。
(2)齊次方程式組有不為零之解的條件
① 齊次方程式組的方程式數目小於未知
數數目
A:必有不為零之解。
當齊次方程式組的方程式個數少於未知數個數時,
除了零解外,必定存在其他非零解。
②n個未知數之齊次方程式組的係數矩
陣為n階方陣時
係數方陣之行列式值為0。
若n個未知數的齊次方程式組有異於零解的解(即
有無限多解),則其係數方陣的行列式值必須為
。

ページ61:

(1)高斯消去法
A:找同義方程式使它成為上三角(或下三角)
之聯立式
高斯消去法是將線性方程組轉換為一個等價的上三
角(或下三角)形式的聯立方程式,然後使用反向
代入法求解。 這個過程通常涉及一系列的列運算,
包括交換兩列、將某一列乘以非零常數、以及將某
一列的倍數加到另一列上。
(2)列運算法
A 一次聯立式用增廣矩陣經列運算簡化,再求
其解
列運算法是利用增廣矩陣來表示線性方程組,並透
過標準的列運算(如高斯消去法或高斯-喬丹消去
法)將矩陣簡化為階梯形或簡化階梯形,從而系統
地求解聯立方程式。 @

ページ62:

1. 矩陣及相關名詞
① 矩陣
Answer: 把一些數排列成矩形陣列,並用一對括號圍
起來就是一矩陣,通常以大寫字母表一矩陣
②元
矩陣中每一個數叫這矩陣之一個元
③ 列
:在矩陣中,位於同一水平線上的各元合稱為
這個矩陣的一列,而且列的順序習慣上由上至下編
號,依次叫第一列、第二列、第三列、...
④ 行
Answer: 位於同一鉛直線上的各元合稱為該矩陣的
一行
⑤ 階數
Answer: 若一矩陣共有 m 列且有 n 行,稱之為
m×n階矩陣,簡稱為mxn矩陣

ページ63:

1. 指數函數定義
Answer: 設 a > 0,則y = f(x) = a* 叫以為底之
指數函數。
2. 指數函數圖形
Answer: 在指數函數 y = f(x) = a* 中,把 (x, a*)
之所有點在坐標平面上描劃出來,便得 y = f(x) 之
圖形,由底數之情形,有三大類:a>1、a=1、
0<a<1。
3. 性質
Answer: 包含 f(x+x2)=f(x1).f(x2)、嚴格增
減函數特性、圖形凹向上、值域為所有正實數及與
y=(二)圖形對稱等性質。

ページ64:

3. 矩陣之列運算
Answer: 概念性問題
矩陣的列運算主要有三種基本方
法:
@
將一矩陣中之某二列互換位置。
將一矩陣之某一列乘以一個不為O 的數。
將一矩陣某一列之各元都乘一數值,所得之積對
應地加入到另一列。
4. 簡化矩陣
Answer: 概念性問題
簡化矩陣是將一矩陣進行列運算後,使每一個不全
為零之列中,第一個不等於O的元(稱為首項係
數)所屬的行中只有這個元不等於0。

ページ65:

• 列運算的目的:旨在將矩陣轉化為簡化矩陣,
以便判斷一次方程組是否有解並求出其解。
秩(Order)的定義與計算:定義為簡化矩陣中
不含全零的列數,並舉例說明如何計算不同矩陣
的秩。
秩的關係: 係數矩陣的秩恆小於或等於增廣矩
陣的秩。

ページ66:

簡化矩陣的定義與範例:說明特定形式的矩陣
(如對角線元素為1,其餘為0)是簡化矩陣,並
提供反例。
列運算的目的:旨在將矩陣轉化為簡化矩陣,
以便判斷一次方程組是否有解並求出其解。
·秩(Order)的定義與計算: 定義為簡化矩陣中
不含全零的列數,並舉例說明如何計算不同矩陣
的秩。
秩的關係: 係數矩陣的秩恆小於或等於增廣矩
陣的秩。

ページ67:

線性方程式:未知數皆為一次方的方程式,如
x = 3 或 x + 2y = 3。
● 線性聯立方程式組:數個一次方程式的組合,例
fx-y=3
如包含
3x+y=5
的形式。
矩陣:將數字或文字排成矩形陣列,並用括號圍
住,可使用圓括號或方括號。
階數與元素:若矩陣有m列 n行,則稱為
m×n 階矩陣,其中的每個數稱為元素。

ページ68:

2. 高斯消去法
Acer: 高斯消去法是一種將聯立方程式組簡化為
三角聯立方程式組以求解的方法
。
高斯消去法是一種系統性的過程,用於解決線性方
程組,其核心是透過一系列稱為「列運算」或「基
本運算」的步驟,將方程組轉換為更容易求解的
「三角形式」或「梯形形式」
主要步驟包括:
對調:交換兩個方程式(或矩陣中的兩列)的位
置。
。
乘常數k:將任一方程式(列)乘以一個非零常
數 k(k ≠ 0)
● 線性組合:將一個方程式(列)的倍數加到另一
個方程式(列)上(即加減消去法)
。
透過這些運算,可以找出與原方程組具有相同解的
「同義方程式組」,最終簡化為三角聯立方程式,
從而輕易求出其解。

ページ69:

5. 直線與雙曲線交點性質
Answer: ① PQ與RS的中點一致② PR
6. 等軸雙曲線性質
2
= QS
Answer: 共軛軸之長等於貫軸之長之雙曲線,且其
漸近線互相垂直

ページ70:

重點2二次不等式
(1) 若b2-4ac<0時
• 當a>0時,則ax² + bx + c >0恆成立。
• 當a<0時,則 ax² + bx + c <0恆成立。
ax² + bx + c ≥ 0或ax²+bx+c≤0可能無
解、恰一解或全部實數。
例如:x² + x + 3 = (x +
訓
11
+ >0為全
體實數解;x²+x+ 1 = (x + 2
x+3+1<0#
<0為
-
4
無解。
≤ 0 ⇒ (x + 1)㎡ ≤ 0 ⇒ x+1=0 ⇒ x = -1。

ページ71:

4. 指數不等式及指數方程式之根據原理
Answer: 該內容為指數不等式及指數方程式的原理
說明。
該內容主要說明了指數函數的兩個重要性
質:
• 指數方程式的解:若a>0且a≠1,則
a* = a的充要條件是x=y。 這是因為指數函
數圖形是一對一函數(水平線檢驗法)。
指數不等式的解:
◎ 若底數a>1,則y = f(x) = a*為嚴格增函
數,表示若x>y,則a* > a°(保持不等號
方向)。
○ 但若底數0<a< 1,則y = f(x) = a* 為嚴
格減函數,表示若 x > y,則 a* < a(改變
不等號方向)。

ページ72:

1. 指數函數定義
Answer: 設 a > 0,則y = f(x) = a* 叫以為底之
指數函數。
2. 指數函數圖形
Answer: 在指數函數 y = f(x) = a* 中,把 (x, a*)
之所有點在坐標平面上描劃出來,便得 y = f(x) 之
圖形,由底數之情形,有三大類:a>1、a=1、
0<a<1。
3. 性質
Answer: 包含 f(x+x2)=f(x1).f(x2)、嚴格增
減函數特性、圖形凹向上、值域為所有正實數及與
y=(二)圖形對稱等性質。

ページ73:

重點2二次不等式
(1) 若b² − 4ac < 0時
當 a > 0 時,則 ax² + bx + c > 0 恆成立。
當a<0時,則ax²+bx + c<0恆成立。
ax² + bx + c ≥ 0 或 ax² + bx + c ≤0可能無
解、恰一解或全部實數
。
例如:x²+x+3 = (x + 六)2 +
(x+38+¥20
11
>0為全
4
體實數解;x²+x+1=(x+ =)² +
(x+3)尸 + 1 <0為
3
-
2
4
無解。
x² + 2x + 1 ≤ 0 ⇒ (x + 1)² ≤ 0 ⇒ x +1=0。

ページ74:

重點1指數函數圖形之相關問題
(1) 設 a>0,a≠1
y = a* 與 y = a¯* 對稱y軸
y = a* 與 y = a* 對稱x軸
-
y = a* 與 y = -a¯* 對稱 原點
y = a*-" 之圖形為由 y=a* 右移 h單位後之圖
形
• y-k=a*之圖形為由 y=a*上移k單位後之
圖形
(2) f(x) = g(x)之實數個數
f(x) = g(x) 之實數解個數⇔y = f(x)與
y = g(x) 之圖形之交點個數

ページ75:

(2) 若b² − 4ac > 0時
ax² + bx + c = a(x-a)(x-B),其中a<f
為二根。
a=
-b-Vb2-4ac
O
2a
B
=
−b+Vb2-4ac
2a
● 可從圖形或數線之正負區間圖,觀察
ax² + bx + c >0或<0之解。

ページ76:

(3)焦點在y軸,準線垂直軸,頂點為原點
Answe拋物線方程式為x²=4cy, 焦點為(0,c),
準線為 y = -c
念性
當焦點為(0,c)且準線為y=-c 時,拋物線方
程式為 x2= 4cy。
反之,見到形如 x² = 4cy的方程式,其圖形為
拋物線,焦點為(0,c),準線為 y = -c。