ページ3:

F = ma = mv2/r = mw²r
重要:向心力不是一種新的力,而是合力的效果
學習小技巧 2
記憶口訣:
「速率不變方向
變,
向心力來源實例
> 行星繞太陽:萬有引力提供向心力
> 汽車轉彎:摩擦力提供向心力
> 繩球旋轉:繩子張力提供向心力
> 洗衣機脫水:桶壁正向力提供向心力
向心加速指圓心,
合力提供向心
力!」
率固定但速度方向不斷改變。向心加速度a=v²/r指向圓心,
種力提供(如重力、張力、摩擦力等)。記住:向心力是合力
的力!
4-6 簡諧運動
翰林版選修物理- 第四章
簡諧運動定義
簡諧運動的定義
回復力特性
簡諧運動:物體受到與位移成正比、方向相反的回復力作用,在
平衡位置附近作週期性往復運動
④ 彈簧振盪
彈簧週期
回復力特性: F = -kxk為比例常數,負號表示方
T=2元/(m/k)
向與位移相反
單擺運動

ページ4:

單擺週期
T=2π√√(L/g)
小角度近似
○ 能量轉換
□ 簡諧運動圖形
加速度與位移的關係! a = -w2x
W為角頻率,負號表示加速度與位移方向相反
彈簧振盪系統
虎克定律:F=-kx
T = 2t/(m/k)
週期與質量 m 成正比
> 週期與彈簧常數k成反比
> 與振幅無關
單擺運動詳細分析
構造:輕繩+質點擺錘
小角度條件:<5°(約0.087弧度)
回復力:F=-mgsin0≈-mg0=-mg(x/L)
T = 2tv(L/g)
週期只與擺長L和重力加速度g有關
> 與質量、振幅無關
簡諧運動的能量
動能與位能互相轉換
> 總力學能守恆:E=KE+PE= 常數
> 平衡位置:動能最大,位能最小
> 最大位移處:動能為零,能最大
位移-時間關係 x = Acos(wt + p)
x = A sin(wt + p)

ページ5:

學習小技巧 M
彈簧與單擺週期:
「彈簧看質量彈
性,
單擺看長度重力,
兩者都不看振
幅!」
A:振幅,w:角頻率,中:初相位
-kx 作用。彈簧系統週期T=2(m/k),單擺系統(小角度)
能量在動能與位能間轉換,總能量守恆。兩種系統的週期都與
萬有引力定律
公式F=Gm,mz/r2
5-1 萬有引力定律
翰林版選修物理- 第五章
牛頓萬有引力定律
定律內容:任何兩個質點之間都存在相互吸引的力,此力的大小
與兩質點質量的乘積成正比,與兩質點距離的平方成反比
○ 重力常數G
萬有引力公式F=G(mmz)/r2
④ 萬有引力特性
G:萬有引力常數=6.67×10-11 N·m²/kg?
作用力與反作用力
適用範圍
>ma, me:兩物體的質量
▶:兩物體質心間的距離
⑤ 地球引力
萬有引力的特性
引力場
> 永遠是吸引力(沒有斥力)
> 遵守牛頓第三運動定律(作用力與反作用力)
> 與介質無關
> 是長程力(作用範圍無限遠)
重力的本質

ページ6:

重力就是地球對物體的萬有引力
引力場概念: g = F/m = GM/r2
> 單位:N/kg或m/s²
> 物理意義:單位質量受到的引力
疊加原理
多個物體對某物體的引力,為各個引力的向量和
適用條件
質點或球形對稱物體
>r指的是質心間距離
對於球形物體,可視為質量集中於球心
學習小技巧 R
記憶口訣:
「質量相乘距離
方,
萬有引力永吸引,
6值記住很重要!」
mzmz)/r㎡,任何有質量的物體間都有引力。G=6.67×10-11
是吸引力,遵守牛頓第三定律。重力就是地球對物體的萬有
5-2 地球表面的重力加速度
翰林版選修物理- 第五章
重力加速度定義
重力加速度g的物理意義
定義:地球表面附近物體所受重力產生的加速度
公式g=GM/R2

ページ7:

> 由萬有引力定律:F= GMm/R²
地球表面重力加速度公式推導
⑤ 地球表面g值
g值的變化
④ 緯度影響
高度影響
> 由牛頓第二定律:F=mg
>因此:
g = GM/R2
M:地球質量,R:地球半徑
不同高度的g
視重與失重
地球表面標準值! g = 9.8 m/s² (或 10 m/s²)
重力加速度的變化因素
1. 緯度影響:
赤道:g較小(約9.78 m/s²)
> 兩極:g較大(約9.83m/s²)
> 原因:地球自轉產生離心效應,且地球非完美球體
2. 高度影響:
距地表高度h處:
g' = GM/(R+h)2
可改寫為:
g'/g = R2/(R+h)2
高度越高,g值越小
3. 地質結構影響:地下礦藏密度不同會影響g值
視重與失重現象
>視重:物體對支持面的壓力(或對懸掛物的拉力)

ページ8:

學習小技巧 /
g
值變化記憶:
「赤道輕兩極重,
> 失重:當加速度向下時,視重減小
> 完全失重:自由落體或環繞地球運動時,視重為零
測量地球質量
利用g=GM/R²,可求得:
M = gR²/G
越高越輕要記清,
地球自轉是原
因!」
M/R² ≈ 9.8 m/s²。g值隨緯度和高度變化:赤道較小、兩極
○利用g值可計算地球質量 M=gR2/G。
5-3 行星與人造衛星的運動
翰林版選修物理- 第五章
衛星圓周運動
行星與衛星的圓周運動分析
核心概念:萬有引力提供向心力
向心力=萬有引力
GMm/r2 = mvz/r
軌道速率公式
簡化得:
Ⅲ 週期公式
v = V(GM/r)
⑤ 同步衛星
④ 脫離速度
重要結論:軌道半徑越大,速率越小
軌道能量

ページ9:

衛星運動特性
軌道速率公式:v=V(GM/r) =v(gR2z/r)
▶M:中心天體質量
>r:軌道半徑(從地心算起)
> R:地球半徑
週期公式推導
T = 2tr/v = 2tr/V(GM/r)=2t(r3/GM)
重要結論:軌道半徑越大,週期越長
地球同步衛星(靜止衛星)
> 定義:週期等於地球自轉週期(24小時)
> 軌道高度:約36,000km(距地表)
> 必須在赤道上方
> 相對地面靜止,用於通訊、氣象觀測
脫離速度(第二宇宙速度)
定義:使物體脫離地球引力束縛的最小速度
v_escape = V(2GM/R)
km/s
=
V(2gR) = 11.2
第一宇宙速度(環繞速度):
Vi = V(gR) = 7.9 km/s
衛星的力學能
> 動能:KE = 1/2mv² = GMm/2r
位能:PE=-GMm/r(以無窮遠為零位能)
>總能量:E=KE+PE=-GMm/2r

ページ10:

學習小技巧 /
負值表示束縛態
軌道越高,總能量越大(越接近零)
衛星運動記憶:
「軌道高速率小,
週期也跟著長,
同步衛星在赤
道!」
供向心力,v=√(GM/r),T=2/(r²/GM)。軌道越高,速
步衛星週期24 小時,高度36,000km。脫離速度 11.2
n/so
5-4 克卜勒與萬有引力定律
翰林版選修物理- 第五章
克卜勒第一定律
克卜勒第一定律(橢圓定律)
克卜勒第二定律
內容:每個行星都在橢圓軌道上繞太陽運行,太陽位於橢圓的一
個焦點上
■ 克卜勒第三定律
> 橢圓要素:長軸2a、短軸2b、半長軸a、半短軸 b
④ 橢圓軌道
> 近日點:行星離太陽最近的位置
> 遠日點:行星離太陽最遠的位置
⑤ 面積速率
克卜勒第二定律(等面積定律)
M T²oxa3
內容:行星與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積
○ 萬有引力證明
物理意義:角動量守恆
行星運動應用
推論:
> 近日點速率最大
遠日點速率最小

ページ11:

>iVi=2V2(垂直分量)
克卜勒第三定律(週期定律)
內容:行星公轉週期的平方與軌道半長軸的立方成正比
或
T2 = (4m²/GM)a3
T²/a3 = 常數
對圓軌道: T2 = (4²/GM)r3
應用:可用來計算中心天體質量
萬有引力定律對克卜勒定律的證明
牛頓證明了萬有引力定律可以推導出克卜勒三定律
克卜勒第三定律的證明:
> 向心力=萬有引力:mv²/r=GMm/r2
>>v=2r/T,代入得:m(4m²r²/T2)/r= GMm/r²
> 整理得:T² = (4m²/GM)r3
克卜勒定律的普遍性
> 不僅適用於行星繞太陽
> 也適用於衛星繞行星、雙星系統等
> 常數值取決於中心天體質量
實際應用
> 計算行星、衛星軌道
> 發現未知天體
> 人造衛星軌道設計