ページ3:

圓柱座標系之細長桿電場
例題:
常數
長2L之均匀帶電之直線,其中垂面上任意位置之電場為多少?
+L de
Trel
√P+82
L
体電荷分佈
Ps面電荷分佈
.&綠電荷分佈
r
Sol
·觀念工得,僅需算水于分量
by Thin
=
4740 Free
電荷量
觀念工
A
B
A882電荷量相同,且對向
∴對而言,其垂直分量抵消
僅考虑水平分量
使用好計算,坐標系(俯視国)
鄰邊
=
1.
4760 p²+z2
ler
=û 4740
= úr let
-
r
Note:
úr
1
| x
1.
信
dz
(x+α)
-dx =
觀念工
1.281
Múr
桶
ûr
Ur (14)
使用圆柱坐標系 台任何位置之方向均為國拉座標系
之半徑方向
E = r² = JP Lo
If L→00,無限細長桿問題
2
r
討論:尺寸有限長度:均匀帶電情況下,在圆柱座標系之中重面上任意位置電場:rz
1 le
2
√P+L
Thm.無限長均均帶電細長桿在真空中的電場苣 = ûn.
I le
ur.eozr 中面
-無限長度:無限長之均匀帶電直線與圓柱座標之又車軸重合,使其空間中任意位置電場戾=re
Pl.
02ūr

ページ4:

均匀帶電之平面電場問題
Ex:在×7于面上均匀带電之国面,在国心正上方高度之位置電場大小寿?
Sol-
Step4:參考對稱性,並畫簡圖 Step3. 所求别忘了單位向量
取量面積
=
Step2. 圆面,使用極座標系
4
SS 46 P
·板坐攉ds=rdrdo
圆柱坐標
→極坐標加高度
orderde 取對年算電場
r12)
由分析可知,僅有垂直方向電場
其餘分量電場抵消
ls-z
If 是無限大均匀帶電平面|ano
討論:尺寸有限半徑:只對個人正上方成立,否則不滿足對性,
-無限半徑:對整個平面任何位置皆成立(上半空間) 02:50.5/
皆為原尖
註:uz是正的(上圖空間)
2題的(下半国空間)
es
The: 無限大均匀帶電平面在真空中之電場:±2.50
2
常用計算2.
1
Frel = [(x-x1²+ (y ~y')²+(-2)] =
1
rrel.
=
= -
1
Free
1
= -Frel
个
==
Free³
#3 (Free.
ù) =
= -
û.
Free²
Thm. 以下敘述為等價
A.XF=0(Fr向量場,旋度=0)
2. 存在有产=-(存在一個負梯度)
|3. & F. dl =
§.de
二〇(任何封閉曲線積分=0)
I. Free |F-F'l
Fred
û
F' = (x'y',Z')
ĥ F= (x,y,z)
→ Free = |F-F1
1. V=-=-
for x
(x'iyiz') is c
门自變數
=-V
for 'iyiz''
(x.72) is
Free
*
常人
Thm. 位在之電筒q對F具有:
工
q
传能函文
1
q
tc
460 tree
c]=[+]
E = ur· 41760 Free² = - [q
1
q
E = û ·
= √
··4720 Frel² #6
q
1
[0
• Free ] by $12
q
rrel
q
=-4140- Free tc
→純量函數之梯度場
∵位能是相對值
c]
由零位胞参考关決定
結論:真空中,非時變的電場是一種保守場
".
(+)
.V
---
+++
-
5-0(V)
Led Free new is Vwo.co
+ MARUDEH) )
==
q

ページ5:

Note: 零位能參考奌不可取在有電荷處,否則場200,任能→00
Tha若取rce=o在下之電荷q其對造成之電位為
1
Verj=
q
47040
電位
Three (奌電荷在真空中造成電位場)需滿足hee 30
8
Note: 450
V=
Thm. V-
4560
它
dv=
4120
V=SSS=
P636147)
R
·SIS w dz
Thm. E = -V
4556
dt'
nel.
PLxyiz')
Free dic'
Thm.直空中非時變電荷分佈之必為保守場
Ex:均匀帶電之細長桿,其实A之電位為何?
TPL Add
1-2
L
r
-ùdt' 向量函數積分是
Wel³
P1x512)
Free de'
#1: Sa dx = ln [ x + √x + tax] + c
eldt
-d (1-2)
dv=
4πeo
ec
(L
V =
=
=
4π20
ee
47220
le
√√ r² +(1-2)²
4
+ JP²+(2)
· In [cl-2)+ √r7c2-3)³¸
-In
JK²+4-2)+(L-2)
47E0
結論:不在中垂面上之電場難以計算
JF²+(1+2)²+(-1-Z)
故算其位能取梯度即可簡易計算
|Thm. Vir) =
Fref
Ē.db
dł
非時變系統之言恆言=-
=->V
>L
>-L
= -
Vo
(微量位移)
av
- ST² (3/4 ux + 3y by + 3/2 ûz). (dx û x + dy ŵy+dzûz)
= - Sr ax dx+ sydy + du redz
8斤=(任意点),(零位能參考卖)
Sr² = ·de = - SF dV = VCF) - V(TEP)
av=V(F)-V(3
Vc
比
零位能
kc
=
~ Sr dv= √ CF - F₂)
Vu

ページ6:

1
Yref
「Thm.無限長均匀帶電直線有Vii)=2/tolanet
A
2580
r
方向朝r
n
C3=dl=ûrid] =ûrder
rel
C3=ûr.dl
方向朝上
V(F) = {Fª Ê·dÌ = { } } = } Edt = "
Ve
stret
一:保守場
,積分路徑任選
03
el
• ft / dr = = ln het
el
ref
0.
In
r
2
期:官方向在半徑方向
其中:日方向在半徑方向
el
1
= 6.2
el
由於往的方向
由於2往的方向
1 le
É =ûr.
202πY
Űrd to
ûr & Ûz I Ž
故山路徑積分2D
故(2路徑積分:0
úz
^
Fur
2
球心
^
512 rel=0
r.
4 q(奌電荷量)
V(F)=4correl(電荷至觀察奌。距離)
2
Vir) = For
電環是中環心對外部之情況下
推導面電荷分佈下
☑
均匀球面電荷分佈,對A奌造成電位V=?⇒選座標系
球面
Q
Q
Q
將零電荷觀察奌放在心
Rs = FER
總電荷面電荷分佈(一個宅荷)
遠處
是一個圖
√√R²+1²->Rr cose
es
2T Rsine . Rde
-Rsing
1
Re
40
Qing
RR-Rose
do
[rde] 環面積
Q
:
8520
d(-case)
R²+=-Rrcise
Q
8740
4
2Rr
J''Rrease
• Rsing
Q
8780JRr
1
√ √ R²++= Rr
。
b
1
Q
c=a²+6²-2abcosd
2
:
电
V: [CMR)-CH-R)]
STED Rr
,在球外(r>R)→喻不妙
2.Ring. Role
8520 Rr
·[「(5+R)-(r-R)]=4x0.下
Q
@ 4
•[(PAR)-(1³R)] = 4760
r
-->在球外
Vi=V2 ⇒ -O VG = - OV2>=2
( * A\(B>K) > √55 60 RK [c+r).
Q
1
Q
rj-+R=r1] =
④均匀分佈要荷在球面上,在球外任意位置之電場&電位場
"
=400 R }
A
Q
是常數
電荷在球心對外部之電場&電位場
1π/z = * 1½ + √] = 4πCO R
.故球內任意位置苣
1 Q
=
∴電場在球面不連續
= O
É in = 0
僅電位連續
1 Q
③Ver)= 4T60 Fr=R
47080 R
在球上時,住能場連續
Thmo均匀球面電荷,對外界之電場&電位場,等同於電荷集中在球心內電位∈常數,E=0 電位在球面連續,電場不連續

ページ7:

体電荷分佈下
1
Q
[球体之電場連續]
E₁ = Űr. 4 / 10 : Rr | r² = E^2 = ur. 4x6 =
V₁ =
[]
45020
2
+
a
4 R
=V2=4mor[球休之電位也連續]
均匀帶電之球体
=
球体
Q
1
奶
=
r
R³
平面图
2.x
∞
1 Q
₤2 = 450-2
4
a
V₂ = Fo
零位能在的遠處
Viers = SE = []. (ŵndr) + S . . . ( dr)
r
R
求A臭電場
-
蹊徑向
₤2
4720 R³
[一]+
I
Q
在外部之任何球殼電荷相當於一個大球面
在大王面内部E=0 by Thm之②
2的帶電,電荷,薄球殼:球面
→其現素等同於電荷集中在球心之電場
Thm. 在体電荷之界面下,E&V皆連續
在面電荷之界面下,言不連續,V連續
外表面
4
2-2=0
21+22
Q2
a
6
--2, Atzo ɔ atazola
V4=
V₁ =
47250
21422
r
12722
V2 =
4760 C
4580
C
2,402
+
+
476506
4750
/
+
f
b
47050
a
ots oto
2
Vi=400
04422
c

ページ8:

動桌定实
个 个
Note: ( Free.
a
(Vel #0)
= F' (Vrel=0)
過程:
丘
Free
·VA û = - Freed (Free ^) = - Free (F-F') = -.
(xxx+(y+(-2) Úz
· [[x-x')² + (y-y')² + (z-z)
(xx)
Free
分母平方
i
J-y's
(4-x) = 1
分数微分
一:x不是x
free
2 (x-x) =
ax Free³
1
C = Free6 [Free³-3 (y-y';" free]
1
8-2 5 [The" -3 (2-2)²= Free]"
Free
J.
· X'Ital=0
J-)= [stree" -3(x*°*3* +¢g_g]} *+ C# - 2') '}; Yued]
=[33]
tral
Defn:單位脈衝函文(unit impulse)(d-e)為:
L
L
-) =
{
The reloa
0, free #0
Free=0
81t-to)
:
Freeb
Vrel =|=='|
2. LoG (a, b) » Sb 6 (t-to) dl = 1
Thm.承上,若f(t)在如連續,則有
So fit) · Sch-ho) dt = fido)
to
Sit-to)
Defn.以下為三維之 unit impulse.
1. SCF-F)=(0, Ft Fo
工數範圍
Qu
to
b
Do F = Fo
=fcdo)
不成之一:不連續,在值不固定
•fle)
-gee) =
Sofio).S(+-to) dt
+(-l)d
= S₁ = fito) · Sit-to) d&#33 fre).
= fito) ser dit holdt fits) GC, & daf ("fct-widt=1
1.
2. Fò GIR » {{{ scr³ño ] dt = 1
Thm.承上,f(F)在連續,則
SCF-ro) de = fcr₂)
其中:F=(xyz) 30口動奌
fixyzz)=f(F)
透過下方運算結果,將乘上0.02)=(0
,
F
,
☆ Thm. D. V Prel
1 Fiel = -4π SCF-F')
0
4元
rrel
依舊相同
-1
1
17 三度空間
-Jdz =
4-76
rrel
1即下
F'ER
·010 Free) = scr-5) 2
by Gauss's Divergence Theorem 度9吋積分二在表面上做面積分
11
Sz
向量
free
Free
-Free
· ñ dA = 53 + w ñ dA = = = = = = 45-4
R₂
R
S₂
d
广指向彈位向量
||F-F|=b
#4: by Nove v. 11 4 ) = ( 00, ++r
在R範圍,僅有F=下不是口,因此積分只需看R戰
其中:by常用計算2.
I. rrel's IF-F'|
Free
û
球面上單位法量
= = 1.
Vrel
F = ('4'2")
FF = (x, y, z)
Free = |F - F1
整理性質:..: mù
4
Free'
1
2.
''
Free
= - Free
1
3.- ree
= -40.8(F-F)

ページ9:

桌電商公在空間中所造成電場
q
4750 Free
對電場做面積分 by Gauss's Divergence Theorem.
by Thm 1) = -475 (F-F',
-9
L47220
T
Free dr =
0.10 Free
R
R
Ex:
100if下在S裡面
=
o if '50
-9
2₁
94
95
= E+EE+E+ES
·ds=
#££*++++ 15 = 41 (86 +86 +93)
E
在裡面
在外面
其中:
SSFLA
為單位法向量
数
55.A.ds = 55.(d婷)電磁
→量面積向量
大小:微量面積
方向:該面積法向量
Gauss's Law
Thm. † Z† 2ªƑªƒ³¢È ± 1 = d = [ ≤ q in 5]
===
Sungc
ED
取革達封閉曲線
(高斯面) Gauss's law 積分形式
所有在5日電荷
* Note: (以上S不得通過奌電荷)
對任何罩連封閉曲線取高斯面有
体电荷(天体费才有電荷)
in
-94
ㄨ
·%
93-95
高斯面
可以切過(綠電荷→一個與有線20
面電荷→一條缘没有面積0
体檳面厚度的小
· 23=]] a) d
VR
Thm.承上,則又恒有:
Gauss's law 微分形式
1
-=-((x + 1, 2)
Eo
使用高斯定律解決電場問題
無限細長桿問題→採圓柱座標系
1
ûr
S
Step4.
上下移動沒有差了,與無關
一:00長,上下對稱,電場沒有已分量
具環狀對稱性,日改變場大小不變
E = û fcrigz) + the gcr.3.3)+ugh cribs)
x = forsûr.
Step2. 取高斯面
#₤.d3=
5051+52753
(周)
by
向
买方向方向:0
>
1
= L·le=
+
52
53
=)) for)-ûr (ûrds)
Sz
= fer) ssds
S₂
- for). 2πL
「庫侖定律:電場方向⇒的方向
1
x
Step3.
·le = fur) - 2πor
7 fur) ==
le
⇒ ₤² = ûr⋅ for) = Úr · 50 zπr
3.(2+9+92)
I
le

ページ10:

个个
無限長均匀帶電。圓柱面之電場
圆柱体單位長度電荷量
常用方法: 透過電荷分佈積分X
② 計算位能分佈取梯度⇒住難算X
③高斯定律.
↓
取以z軸為中心,圆柱体為表面
el=sx2R×1
J
的高斯面
表面面圆周長單位
電荷
=
Eo
1
2
+
+
S₂
53
☆取藍高斯面,182與色
ûd
$3
相同但3上沒有電荷,電荷
= SS for). Fr. Fr.ds.
= fors {{ ds = for). zor. X
圆柱表面積
→
在黑色上
-100盒.2沒有變化
₤= fcr...ûr
P
=> 2πr fur) =
對稱:電場大小無變化
26
⇒f (r) =
le
So 2rr
344 = fer).ûr =
Pe
So 2r
STOR
無限長,所以任何地方對
電場不偏上下没有飞分量
完全對稱
∴一定是半徑方向
結論:使用高斯定律計算之結果=電荷分佈積分结果
|電場電位
證實無限長均匀帶電拄面對外則而言;對內而言,電場=0 外 钢管低压中央车站上
電荷集中在中間軸上
A.
Note =-OV
内侧 ○
需數
均匀帶電之半球面,有均匀面電荷P3分佈,求A&B奌之電位
A
es
LA.
VB = SS
.es dA
/R
SSA
R
R
半球面積
2
de
es
V₁ = (54 essive
正上平面
esk
=
• do =
40
B
圓環面積=zxrsing.pide
圆周長度
電荷分佈在表面上,20000遠處為口電传參考奌
結論:跟電荷愈近,電位愈高
q
V(+)

ページ11:

Thm.
Vree
=
rrel² u
k1
1
J
✓ Free
7.01 = -4586F-F')
Free
√. V = 2x / ux + 2y ky +
拉普拉斯偏微分方程式
22
271
22v
20
x2+2y2+2z2:
OV=++e
Üz
直角
$
= av ur + + // not av uz 17
r
(拉普拉斯運算子)
= 3 urt + 34 up + hire by u
av
us
t
Thm. 2.3. [is] -
0.6-0V)=
學宝:ds=[=qins]高斯定律
曲面電荷總量(積分)
(cwist)
dr
=
R
(分)
VR
取任何尺
| Thm,在F奌電荷對下有
A
q
V
+c
450 Free
亏的零位能參考奌
積分任何路後寫明日
|Thm. E = -DV; V(F) = F Èdè-**-***
(已知電位電場) (知電場求電位)
(從觀察美積分到零位參考奌)
Thm, #1=051725702V=0

ページ12:

Laplace Equation 第一均值定理
=D
Thm. */ fix. d, z) #2 / r-ro') ≤a, w p²f=0, firò) f# [F-To" - a ¿F=95&
球上及內部
Laplace E-2
球面
ro
球坐標下,OV
|F-' | ≤ a > 0²f=0
⇒[號+若+
• + rsing and up.
]
d.
條件滿足 Laplace方程式
改變坐標系
⇒ [學d]dr =
= 0
=0
其中:
f(my,z)
Sdx=f(x)+g(x2)
* SSS ² =
So. vf d =
→ fff. AdA=0→在面上做面積分
→[::dr]dd = 0
»
[f(rep)
fcx)
Ita
Jx=f+C
A=0
» $ from, dA-5 flo.0.4) MA =
| 平均值
玦心
fle) MA = $f
球面總面積
b
» fco.ap) = ff(a.)dA→函数f在面上,平均值
45a²
地面積 函數×面
Note:S為單達封閉曲面,其上及内稱區域2。
Thn. 若f在2滿足f=0,則f在口之極大,極小值必發生在了上
→ Laplace方程式
反證
則可盡。
顯然不符合Laplace第一圴暂定理
Thm.承上,若f在S上有f=c,則f在2恆有与=C.
f在曲面S是常數
在曲面上及其内部都是此常數
Note: 0² (f+g) = (x² + ...) (f+g)
Laplace 2
+
2x²
W
線性算子 (誌+湯)+
=0²++√2g
Laplace Equaction 唯一性定理
9.若在几有f=8820並且在了上十二次,則在又内任何位置有404 )虛象計算常用
02800
39=0
>>>²(f-g) = 7² 4-o³g=0
(f-g) Is=0 shr. & b, off FSL Ff=c, & + f 21 Ff=c.
J
↑
by.
#5bf=g₁ = fg =
=0
-:f=g
- f-g=0
具有零邊界條件
到處:0

ページ13:

?力線(lines of electric field)
Defn:對空間電場而言,若有曲線族C。其曲線族中每一條曲線在任意位置
之切方向恆與電場在此方向一致,則稱C為此電場之電力線
曲缐上任一点切方向:帶電粒子運動方向(很小,正電荷在場內口運動軌跡)
電力線
推力
4.奌電荷上,200,不討論電力線
2.必是出發於正電荷,结束方負電荷
3.討論電力線必為平滑連續曲線
任何实存在切向量
Note: ₤=0 2 Vex-YZ) = C
Note:等位面VCx,y,z)=C在等位面言必在其法向量
Peka:電力線,電場通率更白的安言好
等位面V(x,y,z)=c@F
→磁場通率較重要→ 感應電動勢
W/ 在等位面。任何位置,場方向在面的法方向
整理:
球面
電荷Q
Q的分佈球面上
E(電場)
1 2
1外部(等同在实上) E=4
4700042
V12)
C
→電場不連續
内部
|
2
E=42662

ページ14:

整理:球体
常光均匀帶電球面之內外部電場&電位
a
n
420 p
200
-ûr & V₁ = 4040
球面上電場相等十
r
2
1
1
Q
^
a
1
ur
.r
4750
4760
言
整個黑珠
整個红
体帻
球体质
心内
刁球面上電場明同
Q
一次多项式
=
4x60
"
46 [102 (a²-r³)] + 40
12
以上即可
=
47760
[-1]
约与倍倍(沐心外)
1.5t
球面上1倍
Note:
ra=r=a 介面上電場連續
Vilrza = V2lr=a TË VË
介面上電位連續
Ex21
對一匀帶電之球体,具有PC)=KII]之体電荷分佈,求球內外任意位置之電場&電位場=?
sofi step1.
1
取半徑之薄球殼
Step2. 計算球殼r之電荷總量
a³
2003 = 2(a) =
8rk
15
要荷總量
度
簿球款体绩
整個球
> 4K S (²±²) d
+4
>總電量
=404 [13号
25
Sa
-]
Step). V and Ę & Vz
1200)
E₁ =
87ck
14150 ja
V₁ = 40
-a
=
15
ur
=
"sa²
20
5a²
8tka3
15
Vz= sa s dě + São Ę dł = sa * (= = = = = =) dr+,
球外相當於在桌電荷上,使用Qco)=acey=ik
8k
=
8πcka?
15
Thm. 在電荷之界面,定&V均連續,在面電荷之界面V連續但官則否
1 Saka
47620
15

ページ15:

【例 37】
ex37.
真空中位於 xe∈[一刀,刀] 之無限大的平板區域,具有連續之體電有分
p=sinx,試計算此系統電位場分佈。
①
Step2.分析區域①②③
Note:
Uz
es均匀面電荷
Cot
-eix,y,z) = P(x) = losing
Step4.取一均匀簿平板
將面電荷板積分
③
Q = ls-A
言:房=0+對稱相抵消
Peso edx.
三体區域
= ls. (Adx)
(x)==(x[原(eosinxdx).26]x2
B-the
面積AT
5宽度
7P5=1dx
一九
元
= hx & fx sinxdx = -^x to (+5x | x^2)
[+-cosxx]
電場只有x方向 Step3.計算電位,找零電位參考奌(
奌(00遠處有電荷,另找)
等位面為水平面
一九
dl=|dx|
9/20為口零位參考点
D
lo
Vox) = 5% E ₂-dπ = √x tud-e (1-cos x). (-ûx dl) 413-514
lo
; (-1-cos x) dl = -5x eo (1-(3x) (-2x)
積分方向
= Sxe (+-cosxx) dx = [(x+ sin x) 1% ] = lo [x + sin x]
When 電場:0。電位=C
lo
V₁ = 10 (-TV)
lo
√₂ = 200 (+TC)
V3
26
六朝
一响
元
Defn:具有相當多可自由移動之帶電粒子的固体,稱為完美導体
(Perfit Electrical Conductor) PEC
Note: 良導體(Cu、Ag、Au.AL)幾乎可以自由移動…………
「Thu. 關於導体
.任何形狀下其內部任意位置E=04. 其不平衡電荷必在表面
3.官在其表面必
2.其為單一電位之電位体
導体
by高斯定律,y3.內部:0
5. 若其内有一空穴,則空穴内必音:0
(屏蔽效應)
6.若空大有電荷,則内表面產生大小相同方向相反的電荷,相繼離電荷
S.
2 cavity空穴
1 cavity Fes.
電子自由移動
到電中性
---?V=D且在S上有V=C=⇒20
表面感應電荷(+2)
=0
1(二次電場)定,感應電感應電場
+
主止一次電場)外加電場
| Nate: 完美導体在外加電場產生感應電場電中性所需時間02:05.
>盒所需 08:0
差不多
良導体 od=1068 sec
A
自地:抵消電場
使內部:0

ページ16:

Note:
=u(曲率)
導體分佈在愈彎曲的地方密度愈高
内切圆
有兩個導体球,半徑radro,中間連一細導線f系統帶電荷风,求導体球分各自帶多少電?
|兩球面電荷密度之比值券?(兩球相隔很遠)
Q
Qa
ra
導線(水電
soli
Q=Qa+Qb
by導体性質2.,等電位面 Va = V6.
均匀球面分佈,其電位由外看,電位=球心電位
1. Qa
Qa
26
=
4160
47the
ra
478
rb
» Qast QB
ra
72=86
rb
Qa= Patro
ra
Q
rb
26=
2
rbtra
2
Qa
Ca=
-2
·Qb+ab
rb
=-726= ra trb
26.
(4ra) (4ra) Chattb)
la vb Yra
=
>> 16 = ra 1/6
ab
2
a
(4 Torbj² = (+πorbj³cha+rb) [381: #7 »]
厶曲率正比,曲率半徑反比
一導體有2空穴,求其感應電荷之分佈
各區域威庭電荷量 各區域電場?
③ X是否會感應電場
by Thm. 9th
-Za
4
PG0
+ +2
4 x 2
沒有:導体屏蔽效應
lsa = 4rra
-96
lsb = 47/16 (10) ₤6-
Va
R
額
86
47120
1
9a+26
(9a+26)
E = 4760
P₁ = 4πR²
總度
總電場
必

ページ17:

一中心為導体球,外圍有兩個導体薄球殼,由內到外帶40.9
93之電荷,求各區域電位?
93
xɣ
Views = 471 [41 2 + 21 ]
-47640
5.
r
q
r
r
Chc
92
93
+
t
r3
VBcr) = 47150 [10
等同於戶所有9集中在球心
2
q
1
4
to
ㄨ
在939均匀面電荷內部
大小小等同在3球面要位
1
91
92
93
Vacry=
H
+
47046
r
r₂
r3
同理
Ver)-4750
1
Q
Vir) = 4×60 (13)
Ver) = 47
+
4760 b
4750
r
(考虑玮殼)
外層
內層
“感應電荷邊水
多款单体問題
【例 36】
Thm.
by Gauss's Lan
真空中於 x∈[0,1]之區域,具有體電荷密度分佈p=-60(x+1),在
x=0 有一無限大之接地導體平板,在x=1 另有接電位
之無限
【解】
大導體平板,試計算二導體平板間之電位場分佈。
(1)本題系統圖形如下:
言=-OV言是保守場
by Thm.
D²V = =
Co
PECI
p=-60(x+1)
PEC
1 V
0
4
ux
* [(1+]
二,Vox,y,z)= V'(x)
原式=些
dx?
=(1+x)
積分二次積分二次
V(x)=co+Gx+x²+/x²
V (o) = 0 ) Co = D
3
Vcx) = <1x+ = x²+ — — — x²³
VC) = 1 » 4 =
VCx)=x+2x²+6x3
X
• 2nd 5x+= x² + Codex = = = = x²+ − x²+ C₁ x + co
所求:E-V
+ [s+x+]

ページ18:

Thm. 在PEC 真空界面有這=lin
4
20
導体表面,電場
ûn.
取面微量 A
12
高度的小
(cxy,z)
S
PEC表面(S拍照)
by Gauss's Law
☆言:AdA==
(5(x-712).dA
S
> E = un o es (x - Y, Z)
SS + 88° + SH = SSCE).(hdA)Edn
電場面法方向
大小
ST STR St:
,
導体内高度的小法方向箱同
E=0
ûn.^= 1
↓ 面積
SJEJA
在導体表面:只要知道面電荷分佈=知道電場
= E SSJA = E-QA
討論EC之電荷數量分析
一個電荷
+
APEC手板(內部=0)
二個電荷(庫論斥力
④
三個了必在中間(力平衡)
+
+
類推
GÐÐÐÐ
田
④线電很多(非均匀分佈)
3334
neglect fringe effect
忽略邊缘效應
PEC若很大很大
中間分佈可視為均匀分佈
有兩PEC手板,带Q,Q2電荷,Q1、Q2之電荷分佈?
个 ↑ of aut
Q
6 12.
忽略了
Q21
22
21 = 211+212
Q2=821+Q22
Step4取高斯面並忽略邊綠效應
均匀带電時
(複算)
謝假設均匀分佈(忽略邊綠效應)
(e)電場均匀 違反非時變電場是保守場
> 212+221=0
Step2.戾是均匀場,此時可看成四個均匀帶電平面,並假設導体板面積:A
-2=2.
`1 1 1 1 1 ) = 5
A
Qu
頭(榮譽)。
24 +
A
②導体表面言 by hm. aoe(x2)
» 211+212+221+222=2211
=>Q11=/Q+Q2)
77 212 = 21-211 = 1½ (2₁-22)
24 / (22-01)
2222-221 ± (22-20)
1211 = = (2+22)
212 = (Q-22)
(221 == (22-21)
-Q22=1/2(Q2+21)
3
(%)
= E4
延伸!
if.
a
-a
行帶電荷权之導体
電荷只會分佈在内表面

ページ19:

Thm導体若帶單位正電荷下之面電荷分佈為Pocx),已),則帶又之分佈為a.escxitz)
Pscxz) 導体表面電荷分佈加平衡:電荷不動
©
PEC
f電荷帶電量加倍
④ 則依舊平衡
Thm.承上,則導体電位為V=QI.
esxy
41250
rrel
ds]
2651x-417)
任何導体之電荷&電位成正比
V=-587450 - - 2 (5(x-48) ds
mee
=25 (scx->)
Fine)
ds
| Defn.承上,則稱比導体之電容為C=
電容:每升高一個電位(單位)所需要,電荷量
單一導体球電容
Q
=
朋
→電卷僅對導伂成立來源
原因:只有面電荷與帶電荷無關
SPEC
le
47060
» V = $ mee A
2
喂
= 47660R
電容↑,所需電荷个
=
es
-MA
41580
┃-
a
4 Res 4 R
Defn.双导体子孤立系统,分別帶電Q而有電位差AV,則稱電容為C=
双案体
+a
孤立系統
→電荷守恒
ex:
兩同心導体球殼,半徑aRb,求此双導体系統電容::
-Q
Step4.兩導体分别带圾
Step2. 求此二殼電位差
AV
2
C³ AV =
4750
球
·PEC shell (殼)
12
:
=
AV

ページ20:

一同軸双導体,半徑為adb,求其單位長度之電容,忽略邊綠效應
ABO
同軸電纜
Be >= r60長均匀帶電直線在真空中造成,電場
#AV = SE·dt = share)-(ûr dr)
le
=
le
e
3x/40 Sa 1 dr = 211 ln b
2540
a
3
C=-
AV
en b
同軸電纜單位長度,電容
有兩平行導体之于板,板面積A,相互d,求此双導体系統之電容 0
忽略邊綠效應
DOD
導体指向外则方向,法方向
+Q
d
-21
(零電位參考点)
12
± Q » V = ) È ·¿ Ï - ¿¿¿Û²´). (zal) - 1 cdl =====
=
d
⇒ C² = 0
A
d
平行導体電容(正確性很差)

ページ21:

= +²+
泰勒展開在80
f(x) = f(do)+ f'(do) (A-lo) + = {'(to) (1-do)²+
馬克勞林⇒0=0
f(x) = f(0) + f'cost += " {"c²) **+
f(x)=
f) (+)
2!
=(1+)==1-2++
=(1+ £ ) = = [ --
原子
-2 外加電場 >
"q
E
正電在中央
正要往上跑
負電視為均勻分佈球体第一个
負電跑到一个
Thm. 位在原奌之電偶極=291對遠處有:
娟極化⇒一個原子在電場作用下所顯現。事情
P = 2-9d
↓
1
qd
, 2d
:
cose
410603
[zûrcosa +ŵosing]
p>
传在原奌指的方向大小
之要偶極
V=4750
Thm位在F之電偶極其對下造成之電位為
V = 47 1/40 P.
1
Free
V₂
:
47266
q
4%6
· [
[
91
q
q
·Chop)
n
q
r
P = d.
=
r₂
4150
=
-q
電偶極(electrical dipole)
=
34% and case
14.3
]
Thr
[(0)]
其中:ri=r²+(學)-rdcost
其中:JP+(4)+rdcose
COS (3-0)=-cose
球坐標系情度
-V
→
]
12
ur
r:巨觀世界尺寸-22> d
d: 原子の大小
Pard
V = 470 COO
725043
J
Fcxy, z) = PĴ+as+RK & CRY, 2) (1)
V·‹ØF)= v[$pî +paĴ+ØRK]
22) t.
ay
相乘仗分
=(張P+坤號)+(2+)+(+)
=(張P++Q+2)+(湯+醬+選)
= (3* 1 + 2 + 3 ) cp₁+QJ+RF) + (2x+32 + 2)
V = 460 V P. u
=
Free
=
y餘弦定理
»c=√a²+b² sabcos
[24] 有方向性
[cose + sing] +3
but J &
Imole = 1023 .....
所以可觀察到
電偶極在位置,對觀察者r造成電位
û
Treg
Thm. 0.197)=04. ₤+00₤

ページ22:

Defn. 取極化向量戶為(單位体積電偶極總量)
P = lim AT MAT P
d 總体積總量
區域平均單位体積
800
一:戶》一個原子口量
電偶總量
40-70
pr lin P
At
Defn. -7.声 = Pov (xury,2) 極化等效電荷
(以上為極化區域在邊界指向外者)
pum=epscxg,z) 極化等效面電荷
極化現象等同於電荷在空間中任意位置造成電位(可用電荷現象類比)
有兩種電荷分佈對任意觀察点的電位
e(xdz)
ds(s(778)
a
1
ecx,y,z)
1 PSCX-82')
丸田
Yvel
Vit) = 4220
dz
-ds'
Irel
你要有
F
Fun.
V = 4 (pt)
31
=
物質被極化
R
↓
40sk
單位体積】 一個
Free
R
j
Fre
R
Note:常用公式
J.COF) = 09. F + $0.₤
比較
極化等效面票荷 極化等效体電荷
[v
tree
SSSF.
散度定理
比較
Note: 極化系统之極化等效電荷總量恆為
|極化等效電荷總董永遠20 ∵化需中性系统
=
R
epsdA+pudz
un
= $ F. în A + SSS C-P-F) dz
26
×¥) = x +0xF
J. F² = 3 x fx + 2y fy + zfz
=(fr)+00+0+2f2 圆柱
2
fx.fy, fz
表示該分量
fr.fo.f
=(fir)+Forest(info) + rsing off 球坐標
ap
Defn. J's I'm LE P
Defn. lpv=-0. lps = P. Ûn.
Thm.由真實電荷產生之現象與極化結果無法區分,故任何非時變系統(包含極化)為保守場,
其電場存在位能函數
|Thm. 靜電系統中沿等位面置放薄PEC片(很薄の球殼),無影響
I
2
D D
2
rzα = V = Frics
Q
r≤ a »V = 4πCO
a
Loafe
茼
"
"
[2] a<b
N
→r
③無心批
能↓(吸力)
"

ページ23:

電容並聯⇒C=C+ C2
Q -
QitQz
02-22
v
電容串聯 =+六
2-22-2
1
卝
Vi
V2
C = = Vitv₂
=
Vi
小
C=41+02
V
Note:戸=M室(MERIS)→線性各向異性
=20%е₤
⇒以
K=6%0
線性各向等性 (電極化率)
|Note: 線性、各向同性,均質→簡單介質
☆
量
- 距離
各向同性
晶格言戶
非各向同性
各向異性
Defn: D = LoE+P
R
→D場向量(工具)
Thuc
ve
Thm.tds=55edt → 廣義高斯定律積分形式
→微分形式
物質界入,高斯定律
Eds = [Σg in s]
相對論:光速是反變量,環境等皆不改變性質
要荷
79 §£ ² = 0 { [py + [p] = = [[ - ] = & laude - SSS 0-F dz
R
(翻契蛋)
1
R
> 使用S'要考虑極化等效面電荷,但结果
依舊通用
D = 4 LE₁ = +P) ds = SiseFude (11)
***
R
VR 不知螺新建精美琪風高斯分形式(物理上)
(物理上没有加大)
P=1{-{0)₤
名真空中口電空律
= or苣=定
C:物質電容律
Note: = unto escxxzz) →体&真空界面下
Un có

ページ24:

Note: S=unescxxx,2)→導体&物質,界面
Jun
PEC
{
-面積dA
S
/
=
SS+ 8+68x樽 = SSD:ds = SSDds = DSSds= DdA
st
SF
St
↓.
两国法桕一樣
10
後極化
線性,各向等性就成之.
整理
只差電容率,其他一樣
真空下
同軸
3760
C =
In
C=
簡單介質
A
C=60
C= {
C-εA
2750
=le
b
真空下單位長度電容C= Int
線性各向等性、簡單介質單位長度電容?
方法
有物質改用台場
±ll ^
D= {0+ P
D = úr. Dor)
ee
2726
In L
定
el
»C= v
取高斯面
D⋅d} = Lll = 1} p⋅ds= }} Dor)ds = Dory->rd.
5100
5191
上下垂直噸=0
定
>70+
=
20
27V
R-V de
V=SE-dł = Så = se ne dr = een
el
b
a
簡單介赞下,平行平板電容
Luz
-űz
8
E
-Q
--
A
V = { È ¿Ï = {{ } } ) ( ) μ = {} { dl = = ad
C.-<4
妯

ページ25:

ex
極化球
極化電荷、各區域電場?
極化向景
表面
2.
ŵr.
"
bps = P · Ûn. = (kr.ûr)·ûr) |r=R = KR
極化学法
在表面
電介質
dielectric
(PV=-0. P² = - [ 1 (r²- kr) +--] = -3k
極化等级体要荷分佈
的分佈&無
D= krûr
不同口簡單介質下,求方言、Ppr.eps.c
-電場沿→積分都樣(視差等位面)
area=A
一:在上放一個薄導体
2
-20
一袋
di ? dz
E₁
项
←
E2
已知定
2
A
=
&p=5 lps ds + 155 erud=71, 14-792
球泅赜 R
= KR. 4R²+ -3k. *R³
= O
⇒应=0(電荷集中在球心,但心20)
武示(一) 13
R內不用看面電荷
面電荷尺上
④
>ux
小
✓ Note: $=19-20) Ě
· P₁ = (E₁ - 20) E₁ & P₂ = ((2-0) Ex
Note:epveF
= CPV CPV₂ = 0
皆為常人向量
Notes eps.in,指向外側。法向量
(PA)L = P₁ un = P₁ - - Û = (E₁- 50)[úµ‚ɼÂ] ·[-ûn]
(咗)
Eo 2
SI
-
E1-E0
1
3.
V = S Ề · dÌ = S Ē₁ · dÏ + s Ę dł
V
Cl
C2
adi
國!國+=Q(云+六)
1
1
=
++
③等位面,薄導体。左右即可視為兩電容串聯
G-C
di
(s) = (1-0)ûx)-ûx
Er-20
(eps) mid. = P₁. Ex + Pz-l-ûx)
{1
= √4-60+ 62-6] 3/1
2
of
A₁
3
A2
22
||
V
d
-2
結論:==mg
12
$30.È. epp, lps.
上
下
Sah E. d-Ed-V x * *
D
=
"SE.dl = SE₂dl = V
Ę, Sdl = Ez dl =V
d
d
(es)α = 5₁-ûx=₁
(Cs) = 52-x=22
Q=A((G)+A2(红说
+44 +447
☆結論:==
✓
好吧

ページ26:

Q
area=A
台大電信
穩態時,帶21-2
E
(=?
可
2 打開開關電荷並不會跑掉
↓
C=20
由上方例子可知,此電容可看成串聯
①
D C = C = CA
③, sw-open V→ V
A
4₁ = (20)
= 5
名
幺
V C=?
5
G:30)=5(0)=5C
.=5.(60A +4)=50 C=O -sa
= 2=CV
d₂
Ez
d₁ = 3d {1=2&o
220
d2====3d {2=3{0
邊界條件.
Note: = (E-4.) È
= (x)
Thm. 在導體與各向等性物質之界面恆有(lin為...)
D = Ûn ls (x, z) ; ls =D · un
台大從下手
úz
E
红
d
E2
es
015
B.
SW-
off
»V'>V
√ to
to V
1
50+ 50
=
Thm. 在不同物質之界面:
Thm,在導與直空の界面:
E = unos & ls = 20 un
4.恆有去看
2. (5=07) Dr. Un = Dr Un
Thm. 在導体與簡單介贸界面:
D= nls & es = 5. un.
常用
Q
線性,各向等性,非均質
入
(2)=50(1+x)→在任一接截面上性質相同→跟據對稱性 又一定均匀分佈在内表面
-2 Ecz)=0+10=
極化也沒影響
D
Uz A
2
15-5--Û²² Ã
Q
5061+35
A
zta
+(-) ---
:
Qd
=
ad
V = · = ! ! )· @ Ml) = Red ! 2 ½ dl - Bed
(2+)
zta
1
A z z+d
- 4
7 6 pv - - v. p² = 3/2 ( 2 )
=
= ad In z+d
a
不满足Laplace Eq.正
ad
AV = Vid)=
·In 2
A
下方Thn解釋
2
C = AV =
d
>
ad
(2+) (+)
ide

ページ27:

Thm.非均質系統,V將不滿足?V=O(Laplace EQ) B
3gp { ₤dš= √!! edz ; D.È= žol
S
幼
R
物質中:學ōd = fedzv.5=e⇒ 廣義高斯定律
R
積分型
微分型
E=-TV & D = ε E
(保守場)
J-D=OLE₤)=7(-80U)
=-7(45V)=-[V + $v²V] = e
if P=0E-DV +ε D²V=D
Po⇒不滿足Laplace E.q.
常數(非均質系統)
Thm. 在二種物質之界面000(邊界條件)
4.任意切向纸恆有e=ud (電場一定連續)
2.若界面es=0則恆有仙=2.ūn
3.恆有電位V連續
→電場在介面任意切方向連續
→界面上不存在真實面電荷,下場在界面法方向連續
→電場s電位場の梯度(有微分)→非時變6ystem is 保守場
∴一定連續
==-0.V
非時變系統 為保守場
⇒少走d:
=>
VC
-û
û
PEC
界面切方向
{1
廣義高斯的討論(邊界現象)
∴取微量
高度30垂直路徑:0
§ 1 d t = 0 = SE ·d è + S Ede + Side + SEE
C. Je
CF
话
Litz
= SÊ tû dl) + S ₤ · lû dl) -- ((¯¯û ) dl + § (Ê₁ û)
ch
下
=-(E₁ · û) dl + (È₁ ûldl=0
介質的
函數 常數
曲線→直線
曲面 平面
↑
=
→界的切方向
un
Ez
$·ds = [≤9+ in s]
齬
Es
面積心
SS +55
高度的小
+5
SE
ST
否則
小高度的小
:不看体電荷
f界面上不存在真實面電荷
(Dz. Un) ets - (5) - înts ==
=) D= Di.un.
= SS₁₁ds+ SSD·ds = SS P₂- (nds) + IS D₁ · (nds)
Sk
下
Sh
= {1 (B. hds - [[ (5) 23
= D₂unds - (Di unds
下
ods太小
门常数
應用
877
ls =» D₁= x = 52
by Thm2.D場連續

ページ28:

Note: D = EoE+ P
| 成大區域AO4=?
Sol!
A
Er=5
B
84025
x
Let
E = 25ûx +50 g + 25 Úz
T
EA = α û x + By + rūz
3x+4y=12(界面)
3x+48=12
Ñ=3x+4ûy
3235
ke掌握法方向
*FA-B)
20
81x-412)=0
向
Vue: EA = EBÛe
EA-E // Ñ
(FA-ES)x=6
34。
α-25 B-50 Y-25
=0
對所有
-8=25
368-50)-4 (4-15)00
(38-49=50
P: co-m
p: co/m²
: V/m.
→
②市場在法方向連續
DA' un = DB - Un
LA FA· Un = LB EBÛn
⇒ 2 EA un = Es un
@$14: 4 = 1/7 hx + 28 by + 25 ûz
>[[ dû×+ Bûy +ɣûz) · (3ûx + 4ŵy )] = (5ûx +50ûy)·(3ûx+4ny)
> 2(3x+48) = 175+200
=>169+83=275
40-33=50
17
18:28
A
B
42
4 ûxt 2 ûy + 5 ûz
D
41.22 =?
^
Vue: EA-ŵe: Es ne
;
(EA-EB) // Ñ
Ñ = úx+añy +ǝűz
2
B
EA-B
DA · Ñ = D8 - N
→ L₁ FA· = {₂ · Ñ
81×1882x9
922-220
EB: 5ûxt 3ûz
E=?
要介質球
Zo: ₁ = Eo, Σûr cosa - is sins]
3
完美綠体 2
:
E = oz [ûr (1) coso - Ú₂ (IRB) sing]
E
在任何切方向連續
· Exo | p³R 7 - El · Sing = - Fox & sind
界面上
»)
2
Eoz
Fi. Úr = 52. Ür
> { E. -ûr = Eo Pr·ur
==

ページ29:

Thm.qvNE)將自应移到下,為抵抗言所需之功 800
Vir) = Sme - dl
Fet 2
2
所需r>F能量(吸):
x
qVIF) = Sq · Le = S²² = de
"
r
F
r
VC
比場的功
' a
V=Frks r
(電場對電)
2V = (4007).
4860
將自府移到F所需之能量(為了抵抗電場所需能量)
Defn:靜電系統之能量WE(靜電能)
WE=
·SIS vevdi
只
VCKYZ)
Pcx,y,z)
x Bdr
SSS v(x). (uxitz) dz
R 792
電荷量
R
庫力
The.承上,對區域尺具有連續電荷分佈eux()之系統,則為
WE == SSS vcr. 2, 2) PCX14,3) It
R
不好用
Them. 位在什麼之奌電荷出~qu之系統,取V分為系统除,90外之電荷造成成之位能則
W₁ = 9, V1 + q2 V₂+ - -..
ex: 此系统需要多少能量
092
093
quVw]
q
不需要能量
21
④結論
AE=
/
400
=
92
91
AE= 926
4-706012
22
q1
AE= 93410 13
460 23
193
Viz
823
·92
995
+
19193
4760413
,
9593
+
47050
123
Vi
V2
92
+
93
478013
)+21
181
40 ha
= {} [&Vi+ 9zV2+93V3]
183
+45 23
-) +93 (4250 43
+

ページ30:

Thm.
The di官方,靜電系統單位体積。能量
do
WE = d d = ½) ·
all space
dWE
dz
Ra
all space.
Rs
好計算
>只要知道場二知道矩量
Thm. $. ds = { ecxryiz) dz
R
7.D = p(x,y,z)
W = = $$$ very,z) e ( x, y, z) dit
R
===SIS V (T-B') dz
R
7.(中)=中产+$0.
V(VB)=TV.D+VCDB)
2=555ed2
單位積電荷量
dwESSED dr
dz
| 在S積分:在尺積分
↓
區域外電荷20
Q
=
Q
D
4-01-₤
• [ v. ] + · odr
r
J
Q
a
新
2
4750
47050
R³
dwe
di
車:房(房)= E²
(W) = o. dr
官 =-DV
牛度。薄球软件特
=
斥):
8150
(WE), dr
A
=
=824086
5 850 R
if 球体電荷跑到球面上時,体面,內電場20
Note: 自然界之物質必有21
8720
二館物態有極化下,這會變小抵消電場方向上)
q
个
•-q
仙
單位体積墨
意義:有電場就有能量

ページ31:

Q
1
b
3.
求此系统靜電能?
電容率
带Q
C
I
/
①本高斯面有電介質.用方場
D =ûr-Durs
③雞体積靜電能量
dwz
de
2
$5-d5 = 2 = 5ûr-Pr) (ûr-ds) <Dir). $ds > Dr).4πr² = ur- 4x²²
Q
=
D=ûr-4742
15
'
52
取S2也一樣一包圍電荷皆相同都是又
Ri
R₂
R3 j
+
2565
=[(一)+(古一六)+(六)]
山
系統和
一:電介質存在
^
球殼
能量
Thm. W=vcxz) Ps (8.412) Is
Thm.分别带有電荷Qinan因而分具有電VivVn的几個導体系統,其有
WE = [V² + 1222+ ... + Unan]
Thn,對双電極電容器,有
W₂ = = = = cv² = = = 2²
電容器能量
導體帶電電荷在表面上(單一電荷的等電位体)
W = = ch) es (x4) ds == $$ very, z) es c³) ds + ...
(a) (sound)]
Sitsn
Ls,
VI
Sn
每個等表面
= [via +Vazt ....
vuông
Q
"h
141
双導体系統
送分题
depth: 深度W
WE = 1/2 [ViQi + V222]
[VQ-V2Q]
= 2 LVI-V2)
= ±2V
哈哈哈
B = C
d]
<
20
2.
求多少,電介質區域&空氣的區域能量相同
=V
GV²= C₂V³
When ci = C2 時
= 504-4
» {x = {o [L-X]
7x=164
+
110023
20
Note: #77 14766= {-

ページ32:

「封閉孤立系統導体能量變化(電荷守恒系統
Note:保守場:動能+位能:常數
→兩冥之間の運動走任何位置都是一樣的
只看起奌8终奌→传能有關係 个
Jaz
-會互相影響
23 sdalixtoy hy
∴不可能用電荷角度分析
>>用能量
Edł
Ek = = = ª £§.
微量動能𣾀传能↓.
=-WE
結論
WE (xhz)
= = 24 + 2x y + w dz
dws=
=(3x+ 2 by + 344 ûz)·(daŵx + dyûy + dzûz)
=
WE d
by 能量守恆(V封閉 System)
dWE + dWk=0
複習手行板電容器之電場
飯
E-E
Area =A
A
2
a
E
-2
V SẼ đề sca Eo thô d)
= Eodd = do
Eǎ
d
Ď: CĚ
Thm.電荷守恒系统有产=-OWE
29官→電場方向:電荷变方向
電传算法(Ⅰ)
需持算法(Ⅱ)
Thm,双電極電容器之能量
W= cv2
Thm.電位守恆系統有F =OWE
V₁
V3
Wat
WE(X,Y,Z)
要位互電荷守恒
沒電池子似立系统(電恆) 假設每個導件都加上一個電池,使電位維持不變
dwe+ dwk=0
dirk = -dWF
did
如果沒電池,V下降
dwk F.de
di:fuards+hydy+ hzdz
(x,y,z) (x+dxyedy, z+dz)
WE (x+dx, y+dy, ztz) - W₤(x,y,z)
=dWE
wx+
=WE.d
+
| Thm電荷守恒系统有
F=-OWE
r
q
V=FRED rice.
维持在V-V2.V3.3所需的電荷da.da2.dQ3.
(零位守恆)
d Ws. = Vida, + Vada₂+Vzda3 = 2dWE
维持電位不變所需電池供能
刁
WE=/= [Via.+22+23]→系統靜電能量
[dwg = d[≤ y Q, +V>Qz+VzQ3] = = {(VidQ + VzdQz+V}dQ3)
V不變
dws = dws+dWik
功能
2dWE = dWE + dwk
⇒ dwe=dwk cka 34944
兩者差一個負號(沒有旋轉行為下)
此定理皆適用(內積:能量(純量積))

ページ33:

Ex:
VE
sw.
a-hea=A
x
Soli
#sw-open. sw-closed.
台聊
Step1. 建立系統能量相對位置函數
取坐標X何變)方向似
(=
A
WE CV³
=
=√
x
sw-closed. 電位守恒
by Thu 双電極電容器
产似→取梯度
x2
Step 2.sw-open.電位會變V不是常數
22
22
WE-414 M
=
:
=-WE
==
x
電位守恒用電荷守恒用
不變
úx
Q
25A
=
- ux (DV)
A
(= 50>
[•AV
Q
⇒ Q=
d
-Ex
LAV
2d2
x=dex.
台户常考
depth=w
求日受力?
Stop 11 716 43% F² => WE
Step: 電位不變⇒電位守恆
{
Es
S
V
WE = CV²
== TWE = x zd
(≤-20)
台大
e
ux
L
{
{0
Co
d
ㄡ
20
Thm. 同軸電纜電容C= (單位長度)
WE = CU²
=
ㄥˋ -CL-2)
>> W₂ = \ 07 [{ + 10 (4-2)]
} = WE=;
VE = AV (8-10) ûz
Step2 可視為兩電容並
C = {x +
左邊
w
WC1-x)
右邊
W = \² [EX+ 10 (L-X)]
液体電介質
#h³?
V
F=mg
F = OWB = TV (Σ - 50) = h-π b² - a² J.K.g
總体積液体密度

ページ34:

Thm導体表面,靜電壓力為:Pozoes(單位面積的壓力
導体表面,靜電壓力
庫力!電荷相跑,但受於導体品格跑不掉,故在導体表面法向有
靜電壓力產生使其跑不掉
PEC
G
ri
q.
9212
2
q
F = q [û
4750
台脚
93
194
+űž
4760 22
+85
193
4750 32
=] = 9 · E
在導体球手術後,把A電荷拿掉,求
dA
e
PEC
表面電荷
電荷日行為(大小相同)
方向相反
É = un sols
(導体表面)
由於導體內部:0
2.①②之内電場↑+↓=0
又①+②外電場重疊=苣
沒有電荷(山下口場一樣
大火向相等
没有面電荷
∴①電場↑=
es
F = (ls dA) · \û^n ls x ±) = /^^ 250
-dA
電荷
電場(y)
F
es
(靜電壓力)
250
2
•r (球外任一區)
dA
4560
2
=4,000 R2
r(珠上)
所拿掉後立碗r让加結論)
ûr
相當於上图②

ページ35:

靜電場虛素計算
Note:非時變系統→電場是保守場
虛像計算。依據
③ 造成電場原因→電筒
→物質,極化(可等做成電荷)
③
籍由把導体拿掉,使用虛像計算等效解
保守場存在住能→不一定滿足 Laplace EQ → 滿足(均質)
簡單介質
1 满足Laplace Ea解函數,唯一性,只要有相同,零零位等位面(邊界條件)
可知①②相等
⑤由上述可知一个即為虛像電荷(要在導体の區域)
cx,y)
理論
叙
一些存在
☆解它較易(可计算的)
饭
q
鲩荷
PEC
es
É = un sols
==
2.定、V...無法計算
2
(不可能算的
滿定Laplace EQ (有零位等任何
q
V = 47280 [ +++] = 0
满足Laplace a (有電位等位面)
由於①&②都有零電位,等位面,滿足Laplace EQ 固定邊界條件,有解。唯一性,故①回等效
將其視0大導体平板。故有零電位存在
--為零等電位
各项計算
q
PEC
2
=
(x,y)
zd
正電荷電場
負電荷的電場
(剩垂直分量)
受力⇒2
4
47650
12d12
9149É = ˜Û² 4250 Pt d²
1
q
d
有8-92
^
=
1
ad
4
-%d
1
=
27
11-9d 1
20
在漂奌(r=0)
=
286 271
α3
-ad
A
感應面電荷總量⇒Qind = (Sesda = food. (rtery redh
-2d
= ~ld fo° (p = +α} } d(r² + d²)
= -9.

ページ36:

☆超常考
有一奌電荷Q,在x小方向無限大,又也無限延伸
exs
求空間中電位分佈=?
a
b
S使用虛像計算
a PEC
x
(-0.6)
-2
x1x642)
Q
|
Q
Vcx,y,z) = 40 √(x-a)*+ cyb)*+z"
+
47250
2
a
f
4200 J(xtw (y)2+2)
Q
-2
(α.-6)
ta-b>
Thm. 如下之圆(或球),若有
如防其上任何位置均有合嗒
超難以
4
r₂
R
d
PEC
d = R.
11
=
D
-2
| CX-5+ (y+6+22
4πso √(x+a)+(4-6)+2²
ri
2
R²+d²-2RdcosA
R² D+R-2RDCose
=
r₂
R²+D²-2RD CosA
= R+ D+-2RD.cosd
D² R²+0²-2RDCose
R₂
D²
由上可知,與日無關,表示在圖上任何奌到最比值皆相同
D
接地導串珠 一個半徑R導球,接地,有電荷2,到球心距离贫D
有零等電位面
求①電位分佈 Vina)②体球表面,面要荷分佈PB(Re)
(use虛像)
Q
✗
Sol
by Thm.
D
任一位置
61-8)
Q
Úz
r
点
10.
q
A
d
sûr
y虛像系统
q
得零電位等位面
V=
[+] [+]
Vir.w=40
√ F²+D²-1+DOOSA
ht²-2ndcos日
=[-2+2]=0
。
Ax
• [Jp702-210038.
号
R
q
r₂
2
a
1
d=R
R
= 4200
D
Tha導與真空之界面
É un sols & ls -lo un
跟中無關
=-OV=-[卡+++rsing fo
Dcose
PS = o E¹Ûn|r=R = CoỀ. Úr |1=R - |-R) = 496 [= (D-R(E)
R-DC+Se
=
-a
R-R
RD ==-DR³ COSO
T
AD--XDR³ COSO
(+P+R-21 DR² cose) R
R-DEB
-Plase
4x50
D²-R³
CRD-RD case
₁ = = es)

ページ37:

(es)A==
(D²R²)
(D-R)³
-
Q
D+R
40 R (D-R)²
P=
山
45820947
2
PER
(S)B = ((P+R)
0-7
4π
(D+R)³
導体表面。靜電壓力
D-R
=
-
(DTR)2
4760 D
非等電位時.
面有忌
4x100 rel
D
2
47ED.
rrel
PEC
2
表面
V: ()
V=
放一個q
2
4256 D
11
+
4250
J
R
47000
-91=2+2
s
2
472 D
Q
十
S=7 s
es
ds' 空間中,任觀察点
有V
es'
-ds
400R(東esds) 的上方計算
FEC-R
1 2'
一:任一資計算結果皆相同(計算中心)
=
+
4780 D
4260 R
| Vera) = 111+ 1 + 450
複習
=^
nr 16 27
Fret
le
ho
= Il ln t
r
=
要要位參考。空
I le
(undr)

ページ38:

lls
ll
單位長度電容
C-11-2460
=
=
Pl
a
室
V=SE · de=S
I le
UrZozar (ur.dr)
Cl
=27
In
a
傳輸線會用到 (平行双線電容) (=
πE
Casht
挂虛像計算
to
VA =
2750
a
2R
=
to
=
27750 Fil
to
In
ru
ll Inn (d=Ⓡ²)
le lu
raz
822 #2元化 21
AV = V8-VA =
√12
le
x
le
-In
ral Iri
by The.
ri
D
=
D 32
B
K
d
所求此系統C=
el
π050
π040
=
AV
In
R 短邊
JERS-1
a=D+d & d= r² => a=D+R
⇒ P÷aD+R²=c
D=
@Ja=4R²
a =
= cos(x)
=( )
其中: [x]
D
a Ja²-4
a
》
=
R
R
2R
a2
t = x+5=1
etx = √x=-1
e²*x*+x²= x²-1
*+1=2xet
doicette=coshy
種類 電容 真空0 簡介質之
電阻R
RC
手行事体手板
EA
LA
€
同車軸
2750
27820
zobu b
迄
In a
Ina
|平行圆柱
兀o
π {
Cosh
-cosht-
Coshy
by Thm,P42.⇒知道RC=,可由欺R&C得令一個值

ページ39:

電流概論
|Defn.電流密度向量
The
- 11th : J: %/πc.cm², d1 = J=1=117-45
面電流:: /sec.cmd1=&切方向,I={ad
gm/sec.cm³ jalan ta
dp = = ñdA
S
S
Ø = {{dp = {{#-ñ dA (={1], 4€/£ * » * *** )
,
3:6/50ccm 面電流密度
体電流密度向量
Ĵ: co/sec-cm² 13°F), 12
電流 dI冗dA
I=SS+ńdA(單位時間通過面電荷
S
面
Tha亍=ei(体電流密度向量);=Ps.v(面電流密度向量
((X,Y,Z,*)
電荷密度
(隨時變)
①
(z) K
取ds
任一点時間dd
de
(電流場)
dI = Js.ndl
I= $s ñdl
線
= e
> 單位面積通過多少
1.21712
dt = d dh
單位時間通過多少
v d
Thm = e.v
J: co sec-cm²
(责
The.Pods→[edit连接性方程式
亍ds
de
V.--(47)
e₁v
(微分)
的電荷守恒
積分形式
$3-15= √ edz
J
山
每克出庫侖
减少的
R
{{{v- F` dt = − S!! 3 dɩ
= SSS (7.3 + 3 ) dz=0
VR
by:電荷守恒下
永遠正確
很強
微分形式
(二)連續性方程式(Maxwell's v Equation)

ページ40:

Thm. 丁·宁:0<>(穩態系統)表示電荷分佈與時間無關 -8二章是電荷靜止狀態
d
|Thm. x = = =
2B
(法拉弟定律)要磁場非時變,電場保守場
Max well's Equation.
Thm. 穩態電流系統恒有XE=0
Note: 磁場→電流產生
磁場非時變⇒電流非時變(穩態系統)
⇒電場=保守場》可以用位能解题
Note: 非绝缘体中皆有3=6官,但若6興式無關,則稱歐姆介質.
→有可移動帶電粒子
一定是保守場
₤=-V
對電流而訓線性介質
可自由移動
(完美導体)
物質極化
電流移動
電荷可部分自由移動
(良導体)
ek
>=66&無關
↓
可移動,但定 半導体)
晶格限制方向
必骀場方向
放大倍放大一倍
可移動,但超難(不良绝缘体)
·不可移動
(绝缘体)
放大千倍
大一倍
Defn. 歐姆介質之双電極系統,其間電流工必正比其實位差V
Defn.承上,便稱此系統有
R = \G=====
電阻電導
,
A
電流
(歐姆介)
比 正比
V=SE-de
同軸電纜の電阻
⑤:簡單介質,歐姆介質
參數非時變
假想(心綏高電位)
J = Jor
Im
I
=
2rr
電流一定均匀通過圆柱面
I
G
» = = -
36
6.
#R=
ür
R=?
area=A
6
假設總電流I>=2弄
忽略邊綠效應
均匀通過
»---
由上馈到下“路線長度
字

ページ41:

Thm-簡單歐姆介質 双電極系统恆有
RC=
受考(超重要)
簡單歐姆介質⇒ 2.6都是常人
8.6
考慮曲面S.
I=
=
大
→ 廣義高斯定律
#準体表面電持總是
線性
各向等性
=
VI
均質
簡介質
= C-R
同心導球殼在簡單介質下→R=?
歐姆
電流一定均匀穿過橘色面
I » J = Űr
I
45242
⇒ ₤ = — J = Uv - 46 +2
= V = { 1 1 1 = Sour 420 += Curder)
I
|
4726
22
116
476
=
476
|
R=
6-a
34706
26
不是簡單歐姆介質⇒ 6=60(1-卡)
6
I => } = Űr
I
47662
(一樣的通過)
→ 1² = 17 = Úr - 1 ²= 60 (1 *)
I
=-4266
Cr²-Kr)
I
x
47040
r-k
r.
>IN
Note:
平行等体
E
FFR CELOR=Ld Reo &
同軸器&RRC=
V = { E dl = Sw· 45 (-) (ur-dr)
=
• 4 [[ encr-k) 16 - enr 16 ] = 4* ink [ du bik in bo]
a-k

ページ42:

大電信
不是歐姆介質字:6186=K11
求工二?一:不是歐姆介質心没有R
a
I = }} = úr.
工
47002
E = ur. Ecr) = 6₤ ↓ 6=KE¢r])
= = ŵr ·
工
:
Ecr
47242
=ur Ecr)
力
V=JE ·dt sûr (andr)
↳ Len* *)². 47K = I
I
=> Ecr)²=
422162
1
→E(r)=
下
√47CK
Für 1476
1000
Thm. 在lcxyz)&(x)之系统中,這對系統之單位体積之功率即為忘宁 超要
ecx, y, z, t)
£> t+dl
電場對電荷艶動能
(X,Y, 31)
dz
dt
dt = df = v.dt
ECX.YZ)
J-ev
T
Foto (edz). ĒỀ dit = (edz) E. (V.dt) = E. (ev)de df = -j dv dz
電場所做好功
EJ.dtdt
微量传给
做。功(得到)
de
電場所做功
y
單位体皱單位時間
良對比單位積の功率
一切分析 from 微量
思考訓練,
微量体積
W-FXS
- 微量传稿>>
→ edt = 微量電對
F= 2.₤ = ldz. Ē
微量時間
密度
電場言
- dł= de dol=vdl.
di
位移=速度時間
: d= 0 [≤q in s] state and
V=
物質中:5=20+戸(焊性時我看得板理)
= 20 +20%0
各向等性
成立
=(1+x)= Cor室:维
如果又均質(是常數)
#D-d³ = { edt
vB = e
J.dd
=
Notes J & I=s! Fd's
Gauss's Law.
微分型
Thm. = ev s = es v
The.
$3d3-ed
>連續性方程式
Gauss's Law.
Thin-簡單介其中之双電極
RC=
電容器
Note: 7.5=0⇒穩態系統→用上方驗
Tha.因為言而有宁之老
官宁二單位体積官在系统中之消耗功率
Defn.歐姆介質(宁=6)電流是線性定

ページ43:

area=A
2,61
22.6
平行導体平板,有缍歐姆介質,各種場?面電荷密度!
Note: R==
☆由於此系统在任何横截面均匀通過,可以使用電法解
橫截面①
di
Idz
I-) == -Û by = 6€)
--Û² ½ ½ & ¯ ¯Û² 62
積分方向方向 朝-2
②取封閉盒子
$5.5=-47
S
:00簿,只考虑面電荷
= SS D. (A + SS DE LA
St
二弄dA+()=(-)
@ V-SÈ·¿Ì = § È ¿é + [ ] β dë
=+=+)江
VA
I=(回去)①得所有場
穩態電流系統:歐姆介質不同
“阻力不同導致電荷累積
E.6
此系统R=?
把它管拱形
橘色觸接地
红色面接v.
SÊ.de
入較長
>ux
一:合
∴工也是
(不均匀)
到外愈來愈
解法:①
強
Vo
沿红線線積分一樣AV=Vo
橘線
>ux
D>> a, b
2.6
D
假設
D>> a,b
E. 6
12
450 a
VB=450 b
D
1 -a
4兀的
> 在集体表面
D > 電捐一對中心造成零位
4*50 D
反過來
I ⇒ ?
V = VA-V₁ = [+6-3] Thm.
2
=
4π
C = AV [+]
R=殑(古坊一号)
比較是,電流题
穩態電流系統→官是保守場→有V(零位
禁②在簡單介質中,沒有電位,地方滿足Laplace a
VV=0 & vcr.8.2)=√(6)
忽略邊緣效應,整個系統皆是等位面,只有日在邊
7 d²v
=0⇒V(a)=x+3日
da
Vias=0 ⇒ x=0=⇒ V(日)=BA 在橘色面上(V20)
√(x)=√3 =
=-10+ho
J6=-Ve
√(VV)
|1=S) 7-d} = {b 6vo — (h.dr) = = = 6rohlub
R= V = ht

ページ44:

Defn.t稱 relaxoction time. (每過一次鬆弛時間,系統電荷指數衰減)
Gau:5.8×10? ⇒ 6=160195(不平衡電荷消失,幾乎瞬間完成)→電荷消失了→歐姆介質(要可以移動)互表面為止。
是簡單介質、歐姆介質下
ε,6
定
V=C
(EE) =
de
=
F=6€
|快速消散
結論:任何不平衡体分佈,會隨鬆弛時時
荷
1 = We ₤ l
⇒消散,電荷最終會到表面
> 選+e=0-階線性
xx.) = ex-y, 2-0) é
時間卷,空間分佈
2.
↓(以導体)
ev→ es
同性電會排斥
体
面
0
18:0吁=1
整個就是任意時間,空間分佈
= ((x-42.0) (6)
(鬆弛時間)
E-6
有一簡單、歐介質球体,求=0時,王内外交官?
x=02Q之均匀体分佈
2
(cr.0.90) = 03 (1)
=
32
4783
(cro, 0) = 32 st
472R3
J
a
2- 47
外面有
32
e
4πRS
=[x]
4725
a été
R³
= 425
r

ページ45:

Thm分别以ǖ、古運動之奌電荷Q&Q2.此時Q2除庫侖力外,另將感受到磁力,
「其為(如下圖)
(Souse)
Q
thef
F
店(花)
(=107)
| Notes ×B× c) = (4-c) - (À¨³) 14
× ×) (-)-c) Û Û
(疵=9409)
r 9192
47050 Free û == (480)
Mo
Mo 9
Defn. 位在下以「運動之電荷,對其位置下有官=4cm
Thm. F = q(₤+ √×)
Notes
馆
→静止&運動都會
Thm
荒=q(7×房)→運動中的電荷造成磁場
Free x udt
→体
Free xûds'
面
重要
edv
BBdz
dB.
(微量磁場)
=
電量速度
No edé
>焌: →磁場
Free
☆adt'(体要消分佈磁場)
470
#s
(面電流分佈磁場)
Mo I
Then, B = 147 & Free!
Free dex
工 带穩態電流】細導線。磁場
Adl
B = √ !! Fra' J'xû d² 4
Free
千万
S
Free
Mo
Fred
4T0
MoI
4元
"So Free! dł'x'û
dé'
越面積
A(AA'dl')
=總流
-沿導線切方向特動> dicedu
2
運動の奌電荷在真空中造成口磁場
·4% Free
磁場
-Q:源電荷
Tree:源→转觀察实距是
:原電荷速度
.公:源指向觀察奌單位向量
複習
Thee
-1
= - Free
=
V = -4π8(-
Tel
F

ページ46:

I
「Thu. 無限長均匀電流工之細長直線有官=1402 最早,必颐沙代定律
Liz
無線長,均匀帶電流工。細長導線
日向
長度
想ǘ
Z
MB = 501
|
Free
=
r
40
1 Moz
U 47 42' √²+z²
MOR
4th
: (So° (12) dz) x 2
8 100
dex = us 4π Freet
^ MOI
1
dzsina
dz
sine
上下對稱
4R
14= ||||sing
方向
比較!
= ur
丝
2
le
r
-x
B = U₂ 27
471
416-2
8192
xx
k
Noto: J ^a' = dt = à ³ √₁² ²à²
a²
The帶流工之細圈環(a)對圖心正上方高度已有00(muz
(在圆心:B=200
帶電流士,半徑a之細圓環,原奌上磁場?
x
I
a
x
a
上下抵剩下方向
a
ㄓˇ
MoI
MoI
dB = 47 hel de
xu
47%
a²+z:(add).url
红维方向
MOI ado
a
Sine
MOI
Jazz
: de
=
=2
Mo
a
外賣方向
AxB
VBX
安培右手
手指電流大姆指⇒場
大姆指電流,手指中場

ページ47:

在水平面上,外積之方向
b
指向方向
← I
直長導線 半個圓
→補對稱(假的)
京=(0轰+加贡)
I
4R
也是方向(等同本個圆弧)
工业
R
工
與相同(等同20長細長導線)
好用
帶電流細長導線對A,磁場?
| Thm. B` = Nash Sc Fred²
5
千元
-de'xú
15.2:18:59.
針對比系统]
À
de
MoI
'Free' de'xû
dB = 4Th Fres
→I
√
&
|ail sing = rde
de
-2000-1-
|d3|=
-=90°
Idi na
-=sing &
Mo I
47
22
MoI
|
rde
=
Sino
Mo II
470 2
16) sing = 47 + do
|B| = (7-83 Mox Sino
x
MI
-do=
474
a MoI
Casa | 72-33 = 14 (Caso + cos B)
MoI sind
4% d
de
中央
工
I
450
a
2a
a
29
-13
a
x
正方形細直導線,邊長29,電流是工,求中心磁場二)
=
+140+0x4
4條
觀察奌到红線。垂直距離是a.
1
MaI
官=2 [cost+cs号]×6.
Mo I
B= We gna (cosat cosB)x2 +
cosd=
3/2
Ja² + (a)³
Sing=
D
√13
(同上)
MoI
471
= (cos (~ ~ ~B) + cos ( -B))
MoI
+
4712 [Cos (1-4)+ cos (1-4)]
Sinẞ
Sin 4

ページ48:

Thm. 7x10x) = 76 - F) -²
B
Mo
= √x
:
Mo
R
M
R
S! Free I'dz'
Free
J'xudz
rrel
Jdt' =
Mo
千元
Mo
- SSS J'x(-
R
4元550
R
Free
Vree²
a)dt’[[(下)=x2]
→外積差一個負號.
複習:
V
F = -1;
Free = -48(FF)
Free
(XCF)=0xF+600x炸>
其中:
rrel
> 對拒微分
- 2 x 7' 22
'Idź'
Mo
Free
SSS xx( I') dz' = 1 1 x ( Jaz²)
Mo
本熗x2)=(不管-(存)它
尺
向量三重積
7x(OF)=(F)-(0.0)户
=(7)
才對
Thm.真空中之穩態系統恆有(4)×官=U0宁任何位置磁場絕度。該位置電流密度向量:真空中の導磁率)安培定律(微分形式)
(2)f.dl=MI磁場封閉曲線積分-導磁率電流
(積分形式
安培定律
磁場旋度
''
Yrel
向量
Jx15 = xx(x S Free I'de')
470
- [[ ${! Free 3 de ] ] - 'S!! Free I'dź
再梯度取文度
R
#14: ² d' =² I'dz's
R
= SSS v²C Trée }') de' = {{{(p² rrée )· F'dt' = $!) (-4* SCF-F')3'dz'=-4nFcF')
R
V-
tree
=1
散度繩量
R
·F)
。
觀察美。行為就在每集
Q
FERE
再一次
穩態下的
表示任何電流都
教会定理
不舍派出
= 1/2 × 4x Fit) = Mo Jur) = Mo
Stokes's curl Theorem.
戏
=
SSQxB) d
向量場(封閉曲線積分)旋度面積分
=
{! Moj ds = Mo. I
J
Ampere's Law.3
任何電流穿過了曲面
必定是
穿過曲線C電流
比較:
電場:传宝ds=[220] 電場封間曲面積分:常數×電均在50總量(高斯)
磁場:Ed=Mo[I]
磁場封問曲面積分:常數×電流穿過50總量(安培)

ページ49:

使用安培定律計算磁場
D
無限長,導線
Tűz
日向
對稱性,與無關(場大小不變)
無限長
工个
官(r.ez)=he Birds
安培定律不可用在下方問題上
=he.B(r)
---
菲半徑r。安培迴路
--B)-(-l)
=
Bcr) = Mo
常数
Bor) d = Bor) (2πr.)
== Mo==/ us.
I
一,此系统不具備很好對稱性
向均匀柱面電流(電流總量為工,I=2Js) 只能用安培定律
麵
①.建立磁場方向性
B = Bor)
取安培迴路
頂視圖
Bit) Mo
B = Mo
= 8(+)-27
取在内部門安培迴跑
=0
比較:
無限長的均勻柱面電荷在空間中造成的電場,對外側來說,等同於電荷集中在中央軸上
對內側來說 電場是0
無限長的沿軸向均勻柱面電流,在空間中造成的磁場,對外側來說,效果等同於電流集中在中央軸上
對內側來說 磁場是O
帶均匀体電法圆柱体導体,木内外磁場
許多
X
马拉面電流 官:@Mo
I
2708
r (3x)
很薄
x
B = Mo
2728
I
TCRY
Ter² [1] FRAZ

ページ50:

無限大均匀帶電流平面
整理
使用安培定律先建立對稱性
面電流向外流出口
ux
B = ±Ûx B (1)
Note: 綠積分方向滿足右手定則
L
Ex-y
上&下大小相等(對)
方向相反
→飯
(可視為無限長導線
以
取一個安培回路
=
= SB dt + S B⋅ dł
Ch
07
·Stux) B(11) · (hx dl) + ((^^x) B (HH). (Excl)
Ch
✓ J5 = U₂-Jso = BLIH)- 1 + B(41)
-
⇒ B 441) = Mo Jso
07
發現結果與撫關
上半正
2
無限大的均勻面電荷
= 1 uz to 2
無限長的均勻帶電流直線 410
無限大的均勻面電流
B = ±ux Mo
無限長的帶電流細直導線:11050元
兩平行均匀面電流(相同) 互相抵消,中間磁場=0
磁場
J5=uz Jso
磁場
-Ñ
J = Jso

ページ51:

已知面電流磁場問題
取一個薄殼厚度dy
宁
✓✓A
dy
20
>x
e
穿過綠色面的電流量
Joil-dy (Jody) I
「無限大的面電流磁场by上管理
$27945337+ B = fd - hx lls Today = -x Ms Jo'd (135)
AI磁場:
……可視為面電流
上下相等,相互抵消
只要算中間
=
看稳定
-yux
3:(04):Jo(內部任意位置)
背景:任何磁鐵必有,其中沒有單獨Nors,故磁單極不存在
Jhm磁力線恆為單連封封曲線 磁通量守恒
ThmL以下敘述為等價
高斯散度定理 說明
Sv. Fdz=0 by (1.2)
磁場向量位的
2
(任何言成立),
锼
相當於面電阅通過
=D
2. F.d=0
3.存在有户口
4. §§ F.d3 ER SÆBJ) (PRU135)
吉.d兮電通率
一万
房=Vxì⇒0.8=0(沒有磁單極)永遠磁南北抵消
x= =)
(只對那時變電場成立)
=
|任何單連封閉曲面積分=0⇒磁力線必頭尾相連(沒有起裝與稅⇒保證磁力線是單連封閉曲線
任何單連封閉曲面積分扣 電力線必從正電→负電(有起点→终点)
磁通率守恒定理:
①
=
(磁場通過任何曲面結果相同)
物理意義:
因為宙宇中没有磁單極
由此可知
磁力線一定包圍電流
↑I
之軍連封閉曲線
C "
Mo I
$
包锢要流
穿過電流
磁單極數量
比較:只對非時變成立(同時發生)
Theme X下為等價
=0
x=
§ -d = 0
Vo
=
要場
⑦久量任能函數
磁力線

ページ52:

結論:
①
宇由没有磁單極有①7.F=0
Thm任何官場便有7.官=0
Then 磁力線必為軍連封閉曲線且必包圍電流
Thm.承上,故恒有
③任何單連封閉曲面磁場積分回$F$ 20
Defn.磁場方向传能À 磁場和任何曲面上計算
得磁力線必為眾連封閉曲線
Thm. &=
③由安培定律,磁力線一定有包圍電流
3.存在本(x)而停=vx
Ex1.
無限長螺旋線圈 通過電流I&單位長度 N圈→N cost/m
可為很多圈。細圓環
①
理
磁力線
對稱
圆理
B = U13 B (TB)
=
· Bor)
工流入
工流出
②取安培迴路
= B-2
NE
284路徑抵消
B = MONI
B = Úz MONI
1.走路徑1&结果一樣
Bin = MONI
Beat = 0
汝
∴安培定律 任何封閉曲線與計算結果無關→延伸到20處:0
在外側之磁場是常數向量場(B=0)
4
只剩下路徑3.
複習:
Thm.任何官場必有
1.7.B = 0
2.
D
D
• $8.5=0
3. SSB-d
S
4.存在而序=7xi
Thm. §§ B· d'³ = §Â·dt
S
向量佳能
Thm. x=0
7-6747)=0
Thm.穩態電流系統有
Vrel
R
F'de' (11)
A = 4√ Free Is 'ds' (*)
4πL
MOI
=
Vree
dè(帶電流細導線)常用.
[B = * !!!
,
Treeixudit' (僅適用於穩態電流)
45
=x[[]=xx v6=0
¾
R
帶電粒子在磁場,運動接近光速→牛頓力學x相對論力學
4.存在Â而这=7×公
=-OV
云任何纯量函數
磁場→向量性能(計算磁場口工具)
=-CV+)零佳能參考点(常数)
電場信能函數(實際能量)

ページ53:

磁場 向量位能
dĺ
'de' = 45.dl'
· de
}
j
微量積 横截面 微量長度
(很细)
=
Mo
=
MOI
4万
'J'.dr'
rree
雾浓度
丁!AS'=總電流工,
截面積
!
(1+J)-(45)
Free
微量面積向量
!
Prel
dě
Note:由下可知,若系統中電流皆在某方向,則磁場向量传能才必也在該方向。
帶電流工,長度22,對中重面上任意位置。磁場向量位能?
=
rrel
Tűzdz)
dz
取一小段好
MI
Mo I
Trel
-
dłűz dz
r
2
Vrel-√1+2
L
汐
· = {(x
磁通量
Stoke's Theorem
無限長直保螺旋線圈,圈數N,電流工,求=?
0000000000oroo ooooker
0000000000 oroo ooo oker
對婚
→場方向會變
.但大小不會變
興的無關
電流
⇒ A = 10 Acr. 2) = 16 Airs
取封閉曲線C
曲線長度:曲面圓周長
by Ps. Ex: Bin = UEMONI
{ t d t = { us Ar³ (as dl ) = 1277r|Aw)
曲面面積
= }} B³·d} = MoNI × Σr³
Bout = 0
=MONIX R
外部門」
2
=. 2πr Acr) = Mo NI XII?
À = MONI r (ISP) Ain
2
MONI RZ
A = Ú₂
2
1
± 141 P) Fourt

ページ54:

ex25. 台聯
【例 25】
真空中具有如下之磁場向量位能分佈,試問此磁場通過在x=1 平面
【解】
之y∈(0,2)、ze(0,2)區域的磁場通率。
x=(2x²y+yz)+hy(xy²-xz²)-hz(6xyz-2x²y²)
(1)處理本題參考下圖:(恆有 x=1)
(1.2
C
Z
G = a.de = (xy²-xz²)dy
x
G
C₂ = Ad = (6xyz-2x²y?)dz
3 y
IB C
11.回回
=
(直徑標微量位移=x子微微量位移相加)
(dł = úxdx + ŵydy+dz)
= ) ≤2x²³y+yz) dx+(xy²- xz³)d}+(>xy=6xɣz]dz = So² y²dy +56² (8-122) dz + Jocy²=8)dy = 8 weber.
Citcstatco
* C₁ = X=1 dx=D, Z=> > dz=0
=>
⇒ À dl = c x y ²= x² ³) dy = (y²dy
à
在L2:x=1→dx=0,y=2→14:0
| ⇒ è·dł = (6xJz ->✯y³)dz > (² (8-12)dz
43:x=1+x=0, 2=2 >dZ=0
> Adl = (xy = x²²³) dy » Scy=8) dy
学
4
在4:x=1→dx=0,y=0 + dy=0
G:x=1&z=0
42382414=2
14316
=
82-62212=16-24
邊界体件
— y ³ - 84 | 2 =-=² +16
32-24=8
# Ad = 0
Tha帶電流细導線在中心有
df = IcdxB)
細導線磁場受力
I
产=q(苣+x)
dt
3
磁場功
Thm Joev & Js = ev
dr² = (C.d²) - cv × B)
(微量區域力)電荷量
- († × B) ≤s. dl » - dł=ss.dll
→總電流
= 1.dix B
算受力,沒有關掉(不看方向)

ページ55:

Note: 手行帶電流細導線有F=40(單位長度受力)
兩于行同方向细導線受力
> I₁
液化
I
270d
AF = 1₂ (di×13') = I₂ (ûx dl x űz Mo
I
=
27d
-My Mo II dd. (A)
uz
-)
工二从、(吸力)
> 電流方向相反(斥力)
台科光電
長直細導線帶電流工,其中有長直细導線矩形axb帶電流I,求矩形细導
線所受?
dI
(atd) 11
→ I
垂直受力抵消了
a
←
by Note:
相吸叻
I'
9
Mo
2万d
d
4747077
I²
2万 catd)
單位長度受力
-] x b

ページ56:

Defin帶電流工之細圓環稱磁偶(maghetic dipole) 並取
m-un IA (dipole moment)
Thm.磁偶成在均匀官(磁場中有:F=0& =焓
過程
x
N
I
Bv=₂ BN
a
1♡
y
Üz I (π a²)
Z
B = BN + B + = Bu Û² + B+ ŵy
uz
分解法向分量 切線分量
I = -ûx MBT = (uz x ŵy ) mBT = (km) x (ûy8+)
F
0
(靜力争力矩=0)
=(@nm)×(B++(2x)=x享
I
(受力方向
右手定則
adb=add
(雨F相猗)
BT = Ky BT
ix 静力:0
=D
a
I
靜力矩≠0
€ = F× F
(₤1-x)
$146450 | dě|=|ñ87| = |F||df|
d By sino
81
=(asine)(I-ade、B+sine)
es
W
Her
微量估格
= a² I B+ sin²e de
= = 12th a² IBT sinto do siting = \-cas 20
==
>
=
=> MBT
"
I an
半徑R日圓盤,有均匀面電荷,角速度W,求磁偶?
在旋轉
取薄圆盤
紅色區域微量電流
x
J = új s = sw
電流 電流掃過
之分佈
之區域
dI-Is Undl s ús del = Js dil
= lsrwdr
A面積)
din=he (fsrwdr).(zr²) 磁偶
m = sum = ₂ls wr³dr
=
Note:
=a.
|= aw
de

ページ57:

成大光雾
PEC spherd
Iw
ede
Rcase
R
①
PEC導体球,充電到電位V,旋轉,求了,m.Benter =?
Step4.推導e,電荷密度
V=4TICO Ŕ =»2=4π{ORV
»es.
4πGORV
EoV
=
4兀R2
R
觀念:電荷均分部在球面上→均匀球面電荷
其中!
均匀球面電荷對外界任何位置v=4thor
均匀帶電球面對外側相當於電荷集中球心
Q
對內側來說是常數⇒內部是常數表內部任实都一樣
又内部與外部電位連續,表示在球面上也一樣
球面上電位V=
1 2
44760 R
-sinado--cose
Stsinado
=-551-035
| = √ √ (1-1²) dt = 2==
-
Step2. 取一個細圓環
v = up, rsing, w
迴轉半徑
| © √₁ = ls v = upes Rsino w =
向
Step do es
A
= sinew
R
= Cip
So Vsinew
半径Rsine 面積
,
dI = s. un tell = (Sov sina w) RdD
din=hz-CCoVsing wRode) (TER'Sin²)
= COVER³
(+
Sov we sine de
電流
③
高度
moovw fa sim²gde =
₂ Mosor w
台聯(基本題)
6>>α
B= Üz Mo
Ib
点
=
2
8:0
^
Z
在圆心
=
Iu²
m = ux. Ia πa²
Ib
2
= = = m × 1 = ( - My) - Mo 12 Tha²
^
Úz Mo
Ib
26
b
Ib
x
在外磁場作用下,磁偶會旋轉到跟外磁場一致
Ia在 正面有工會旋轉,旋轉平衡传置?
现在面

ページ58:

Mo
m
4万
2
[úr cosa tussing]
Thn.真空中位在原奌持向的之前,對遠處有一份
物質的磁場效應(沒考過)
Z
茶細圓環對A的磁場
Step4.分析磁場向量传
Mo
•√H -2 = singsing" adp
太
I
0
Acra)
Mat
Uztur
470
de
hxsine
MOI
472
·adp' =
As I I
1-sing' ux+ cose 'my
JPta²-zarcos p
x
☆有對稱性(不考慮) (ra)
其中:
cosplay
原子
MAI
|
-Sin
COS=0
')(-:
Note:
32
MoI 1
4万下
S=(4,153=0)
= MSI an
=
4 h
人仔意觀察奌
x
rsing
dil' - a(d') (-sing a + coses by )
xk
=rsing. sin'
=rcose
A
Ina
Mom
√ = 471 (Pine)
I ur rus rsinoup
紅線跟三角面道
cosle - sine sing'
Ms
471
Ísinte
Mom
=
Mom
Sing
deur met 3 (z ûr cosast to sing) (fastest B')
-Sing
i xur
47 sin
⇒ (uzx ur = up sing)
T
⇒ A : em xu
Free
m xl Free
=
丸x(nù)
Frel
- 4x mx(-Free)
V = =
11=
= - free
/
Ar rûs rsinoud
丁炉 sing
5
fr rfo rsine fø
Thm.位在广之前其對遠處之下有
Defn:ù = lim
rrel
Σ m
(單位体積石磁偶總量
磁偶總量
STD AT in At
Note: û dz=dzkim ( 4 ) 1 2 )

ページ59:

常用觀念
客户炝dA
· -·*WA
恆等式
LGdAO單传法向量
向量 向量
在了上台面積分 by Gauss's 散度定理
=
又散度做体積分
R
= S.CF) = 15² (x) - K‹¤×F)]dɩ = -§§§¤·×F)dɩ = k ·SW[- v×F]dt
R
R
Thm. A. (x2)
=B-CCXÃ
=ㄛ(本店)
· A = · Fdz
FA=5517. Pdt (任何場成立)
R
單位時間場戶跑出來多少單位時間場少少
散度定理
**)
R
「Thm. 對具有衣之系統,等於Iv=xis=mxíng (baund current )
=M
磁化等效体電流磁化等效面電流
透過位能。分析,磁化系統可使用等效電流模擬
家
A = 4700 SSS Free J dz² +
,
rrel
47750
ff
Js'dź
rrel
体電流的
eps = - Pun
仔
rel
di
det
Mo
=
(ück') xď říze
dz
向量位于
Mo
(-)
dt
面電流的
√x (Free) = x +
Free
Vrel
» I've e xu = J'x ( Freeze în) - Frée všu
- Free
à
=
Free
匹 A = 4 x = 51 - dz
總磁偶
整個系統
Free
R
/ no
47
•√xudz + se u in d A
体電流
free u.
free
其中:
面電流
e
-free
14 SSS √x (mee u ) de meme x ñ dA
交换顺序
Free
Defn. = to B-û
Thm.忠床號=工(積分型;G=号(微分型) 康義安培定律,加入物質(不論是否有物質,永遠正確)
$ Bidł= MI=Mo!!}-d's 14474217
S
比較:
由於晶体结構限制,而物質電極化40下
声:[«]343(非各向等性)
二室+oxe苣(各向等性)
§ 5 dl = Moss C F + Jav Jd s
加入磁化。安培定律
S
= {[宁:ds + 1 xù di
=
• 55 3.13 +2.dt
=
你口中字(優分型)
10
$5
= Lo(1+xe)起
={E
由於磁化是旋轉,因此與晶格沒有任何關係
物質の磁化沒有非各向等性
Note:
%m
1+xm
= 1 x B =
B = B

ページ60:

Thm. ù = xmi
-
M
=
=
Mo
Mo
Mo(1Xm) 1-57
=
Mb
= (1+xm) π-57 =xmšť
2L
求不同區域,官,導体,石磁化向量花
磁化等效体電流前,磁化等交面電流=?
Stepd.有物質,作用故使用場計算
H=ú的H(r) 跟據環狀對稱性跟日無關
又很長已無關
Step2. 取安培迴路((內部) ((外部)
xm
-dl - Her) -π
=
TR² ²=
I
R³
FR1
I
=vo-IπR²
r
Hout Us
Jmu, Jus
Note: L., JAV XTR² = Û₂XmI
7
JASXR = - xm
兩個方向相反
Step3.
=
== μ π + π
Bin = Mo(Hxn) Hin = Uomo.
2724
Bout = Mo out = ÚAMO I
Step4. π=xmiin, 5mv=oxü
XmI
>πR²
.r
(1+xm)I
.r
πR
(外部空氣,没有强化)
^ XmI
PART
=
8
XmI I
úr
XmI
TER'
XmI ^
Note 圆柱坐標の旋度
0x = 1
1025-0
Jms = mxn|R = √ x x = - X
r =
uz
時尚
fr rfe fel
I
Luz
000
有一磁鐵,本身帶有不=kùz,求此系統万家化等效電流分佈?
在正中央口ㄜ=??
π = kuz
Ama
Step4. 磁鐵⇒均匀磁化⇒先計算磁化等效電流
Step2. 只有在側邊的有電流
∵需要真實電流:算了
0 ok
常数向量
I
(JAS) = <2)
20
=(Jms)I
dz
4-2020
dI= Js (11) z = Kdz
R
Ciz
(J) (Jus)+ =(k ûz) × ŵr = k ús
- AIR (R)
B-S2
=
- "S" cetája dz
R
其中
R²
(+2
√R²+ L²
----
JRL²
= 12k [JRHL= -1]

ページ61:

Note:四種電磁學,場
TH
B
D(物質電極化)
片(物質磁化用)
Thm. 對具有花之系統,等效:
Jmv = xxμ ; Jms = uxûn
Defn.F:一元(永遠正確)
Thm. & F-dl = I ; × Ĥ=
Note: J = Molt Xm) B =
|
Molly B (3531-211507)
=
u
B
比較:8 磁性判斷
D = ε = r² = {(He) ₤
所有然界物質xe20,所有自然界物質電極化會導致官變務
B=1}} =MqU+}}=1\|1+Jum) JŤ
真實電流造成常义
∴自然界Xm20都存在
<0
...xm>0,这个(順磁性) paramaghetis m
%m<0,官↓反磁性) Diamagneti
tism
觀念:順磁性:原子本身磁偶→由電子砝碼產生
反磁性原子本身沒有磁偶,被電磁感應之冷次定律影響造成的
鐵磁性物質(強大,順磁性)
B = MJ = Mo(1+xm) F
大到上萬

ページ62:

Thm. 在不同物質之界面恒有4.3.ún=B2.ún 2.若界面無下則:减的低
任何磁場必滿足“磁通量守恒定理”
满足:#官焢=0
⇒ss B-dš+ SS B-d5' =
=O
討論邊界0薄侧面不锈
#2
上
SF
Jūs #1
⇒ Binds = - Bahsds.
7 5,. ^ = B2 -ñ
義安培定律(僅用於穩態系統)→若=0,則場在界面之切方向一定連續
4.A.25=0(若界面上沒有真實面電流:00)
=1
#2
=)
ch
上
c
| π₂-dl + S_F₁ db = { π û dl + SFF (-us) Il
CF
= πs e Idl - π the Schl
(天一夜)从.
→双當常數
#1
將規竟度取到0.

ページ63:

邊界條件之整理
電場 (萬分重要)
1. E: ·dl=0 JEST Û F E be. És Ûe
因為非時變=0,任何單連封閉由缘積分=0
所以電場在介面的任何切方向之分量相等
任何非時變官,在界面切方向必連續(高斯定律)
愛考(中央)
2.
5.ds=[=qins]=⇒es=o界面上不存在真實面電荷)⇒
B₁ un = D₂ un
冇場在界面不存在真實面電荷時,法方向連續
荷時法方向連續 (廣義高斯定律)
磁場
$ Ŕ-dš=o » Bi-ûn = B=-un
B
·
磁場在界面上法方向必連續
(磁通量守恒定理)→(安培定律)
永忠F=0>=0(界面上不存在真實面電流)》床说的
开場只要不存在真實面電流,切方向必連續 (廣義安培定律)

ページ64:

M;=1 Mo B₁ = 40ûx-30 ŵy trouz
Ex:
Mp=1
X=0
Steps: F=mour B
=
方可得
Mr=50
{
#
#
2
→x
Mj = Mo
12=50110
B₁ = 40ûx - 30ûy + 10ûz
* B₂ = ?
12=50116
Step2. 任何磁場法向連續
Let aux + Buy +ɣûz
Bi-ûx = B² Ûx 13 £350 Tix)
> α = 40
85 B2 ŵy 12
Step3. 界面上有磁化等效面要流
但真實面電流=0,故切方向連續
=
MI
Û
Notes
人
D=
=μ
== 40-150 +50% 7508,-ûe=Bx-
Hey 73 = 50x-30=-1500
mê nở sy = 50 x D500
Step1.看:切方向連續不成立
M234M0
B₂ = 5 û x+8 Üy
zel Bi= d'ûxt Buy +ɣüz
Mo
41=640
(x-y plane) ta B₁=?
任何官法方向連續(2)
=?
B₁ = 2.2
78-8
Step 2. ±hy JR 9 THE DIZ
Cz
ÍSE)
^
=
Mz
B₂ ny
-J5 = y
» B₁ my = M1 ^
Mz
• → B
M
=
x0 = 0
Mz
Steps. 取的方向,安培迴路
*= +8
=
M
#2
#1
=((這飯+82)
i+
= { t h + { File = { & Gull+ { i +fabul
ch
=(5x-1, x) dl.
Fox - Fix = to
一ū B=
74 B û x - 1 4 û x = 1 7 - -1
α =
=
Mo
+ ux + 1 = uz)

ページ65:

鐵磁性材料
14. 強大順磁性
2. 非線性
3.磁性與米粒子相關
原子2kdomain為單位
domain 105
4. To臨界溫度(超過沒有磁)
其105原子磁偶會多加混合在一起(小張)
⑤場連續性
線圈
一个个个个个
×方向一
→金鐵芯(你被石磁化)
空调
空洞(薄)
(Remanence)
IO,有磁場
(coercivity) HC.
请泺您所需的反向工
'B'
(摩撞)
a
通電
切薄片:甜芯磁場
铁磁場法方向連續
透過此薄片可得鐵芯磁場
殘磁
& Br
↓
加大電流
→→(4) 由廣義安培定律得
b
加上交流電
(摩擦)
同樣轉不動(摩擦力)
工对(正比)
工方向:在方向
Linear
官=u(線性材料)
(LX105原子 domain 為個体,在旋轉有靜動摩擦)
鐵磁性材料(非線性材料)
強大顺磁性
Non-Linear
磁路計算
前提:鐵磁性材料,導磁率非常大(假設磁場都在内部)
①
A2
NI 4
g
A4
Ai
A3.
横截面
分析某截面中間奌x之值,代表該截面平均值(磁通)
=SS字.d崞=B.A.
B = → 磁通
干面積
(橫截面面積)
①.假設線性(誤差超大)
②. 分析磁路 ②.假設不漏磁
③使用中心奌的值作為平均值(磁路連線)
I l
Rot
你醇=NI
= + H2 + H3-13 +14 (61-9) + Hg.g
| mughetic reluctance. 磁阻
空氣
=
二是山+2+3+(x,y)+x
后
g.
I g
=
A M
i + As π +
|规器
Aq Mo
强度
五())+机器
+
MA4
比值
[ration
]
(半)
S=R0
radian.

ページ66:

複習(電)
I
PEC 411
47220
|磁路理論
X-sectim area=A
l2
止
M
NI
x
球
R
4720 R
I b
NI =++(一)+1
A
l-g
任何靜電系統,放入電中性導体,能量降低
(V)
9(外表面)
感應電荷
q
a
6
1
CRS
19
q
+
450
450 6.
1-9
4x50 a
正的較少每戶嫩多
1 + (+)
2
通過中間磁路,一半往上」一半往下2五

ページ67:

Def. EMF(E) 電動勢(廣義電位能,多了磁)
Thm,細導線C在中以運動,便有:=((xì)区
(motional EMF)
運動 電動勢
V:路線上帶電粒子運動速度
.di:微量位移
₤² & 9 = = = 9 ₤
VCF)=
È dł
導線
S
=
vc
(原本:治任何路線成立」
只考虑電
===*)] = {x) (electric mosive force)
CC:導線長度有限)
!
IB 意義:在導線中
EM. F
技巧
先算大小
電動勢(趨使帶電粒子移動力量)
(廣義:有電&磁)→治導線方向路線
再利用電荷判斷
電位
(電動勢)
A相對於電位差
faraday Pisk
y
x
R
官=2B0
x
{ = S (¥ × B) · dl = { (rwebûr) (fr-dr) = wBof, hdr = { "WB= (**)
X
導使任何位置,速度
磁場方向(環)
速度
V×疗=(rwa)x(Bauz)
邊線向):F:90x煊
(中心低位)
(方向)
=rwBour
複習:
本方庄官(右手定則)
| A+B | = |A|| B| sing
つ
:手行四邊形面積
官
115/Sand
A
「THn. 以下為,C在單位時間因運動而掃過面積之磁通→也是電動勢比較好用
時間
> +d
其中:
dł
(蛋)
de
-dt x
= πt Scl d e × 3 ) · dł'
£ dt + d
= £e Sc de' (+$ *B*)
向量→大小小四面積
即:導線後→ 天天運動,所掃過面情的磁通
f5d5)=ads(磁通)

ページ68:

*
求導線兩端の電動勢?
Step1. FR –££ by l>>A+dl; do= defedt = wil
3 joue
ds
de
=
=
wde
掃過面積 整個圓面積 掃過嘔域
Step2D=SS官.d崞=B{
d = Bods = &w Bodd
單位
時間磁通 >
do
=
wBo
dst
·看狀況
三(右手定則)。
Thn.對中之單連封閉細導線C,取亜)為在時穿過C之磁通,却,官至(t)
(若手定則)+
有磁場官單連封閉細導線在→地時,其EMF=?
> +d
向面白磁通
§ B = ( dix de²) = Fe) - Ecl+dx)
=-[(+)-(7
衆輪胎
面上
C
=-d啞
=-
de.
娅
die
:.de
取面1⇒穿過的磁通互()
面2⇒ (穿過的磁通)(+)
穿過區域之磁通线)-(tole)
觀念:時變系統下有史官一重
2
A
tedd
女&8 在時變下
有沿著(導線電位差

ページ69:

ThM. Edi=一路[字嶝(積分型)
==
[電場發生:穿過C路線之磁通隨時變]
7×Ē=-設官(微分型)
法拉着定律
Maxwell-法拉弟定律
不變磁場
運動電動勢(導產生電場→帶電粒子運動)
B
You
「導線(移動)
3
→磁場不動感應電動勢(時變的磁場→感應出電場)
但時變
(導線不動)
Note: 威應電動勢、感應電場(用於討論整個單連封閉细導線
> Thm.冷次定律:感應電場所產生之電流用於抵消磁通變化
Thm. df = 1 (dex)
W
①有一磁場,接上PC導線,此時通過工經過R」求I& Pe=?
③若使導体橫桿向右移動(7)求PF02
典型問題
B-uz Bo
PEC
它
R
x
產生
位
亜:Bowa→細桿,磁通
d = d
mesh① ⇒ de
de
(Bowx)
dox
= Bow
=
Bow 7
速度
=Σ(電動勢本身就是零位)
求工?(流過之電流,大+大方向)
PR?(電阻消耗功率)
PF?(细挥向右運動速度,所需功率)
③,由冷次定律,產生产抵消磁通
F = { ICAÏB)
=
= IS (-ŵy dl) x Bo)
=-ûx I Bo Jdl = -ûx I Bow
复
需外加力量 Fext = la IB。w
dw
du
PF = de
= F. dl = F. de re dl = F.vde
= F · V = ( û x I Bow). ( û x · V) = B₂ w² V²
R
#4: v=di
I =
E
R
=
Bowl
R
PR = I²R = (Bow)²
di = V dt = te de
W= F.S » P= du
» W= F · dl = F. de dl = F·vdl.
du
dt
R
PR= PF (177)

ページ70:

Thm單連封閉細導線G與C2,在有電流工,因而導致()之磁通口有:
H
E₁₁ [{{me dices]
H
B=7x=
MOI
A = Men of mee de '
dè'
由C,造成磁通,對C2之影響
C2
MoI
472
忠medè 線圈,造成的磁場
rrel
= {{ $d = {{ x43 ⇒ G造成磁場影響口磁通
工
= b tidl₁ = 144 ! [ & Free & li].děž
= I₁ [ 141 $ & me dei..
Thm.承上,恒有更與工成比例
| Defin.承上,Cidc2之關係稱互感以為
4123 12 = 1 $ mée des dés
472
| Thm.明顯可得 L12
=
CI
L21
「Defn. 自感L.1,亦即電感L。
Free
ex: 細長直導線182之間互感?
Note: 承上,則有= =2d810
de
de
沿封閉細導線。感應電動勢
觀念
①.
2
dy b
a
程長度
13
x
V
你
25
I
長
長細導線帶電流工,產生磁場
B = uz Ms
[導線磁場]
272y
磁場穿過矩形磁通
Te dy = cdy.
= Satus y lcdy)
boIc
= 27
In (ext)
I
2
a
必
①磁通票的比值互感
[單位長度同軸電纜電感,導磁率 哋愛考
1
dr
①
I⇒車先算市場(有物質)
=)
=
J Hers de = Her). 205
e.
取一單位長度:
→通過面,磁通
F = (SB-d` = SSB ds = So µ = = = .dr =
③電感
=
Note:
2=
唔
工(不隨時我哋法
= LI
Ice) = Ljct)
dicty
(隨時變電流)
红2000 (感應電動勢)
EL
So V₁ = 1
de
半徑R
半径
+dr. [宽度dr]

ページ71:

乎行導体平板之双線傳輸線 單位驗電感
①導体板很薄相當於面電法疗
→有簡單介值从⇒ 改M.
个业
d
面電流
宽度
一:由右手定則:上下導体板磁場方向相同
二只算一個×2即可
Js-W=I
I
W
:
②造成口磁場
③磁通=磁場面積
面積
皺程長度
T = 2 x B x d x 1 = M = d
100*平面,磁場
ZL
7 L = = μod
Mo
w
N coils/m
求單位長度電感
①带電流工,算磁通
B=ûz Mo NI (by PS3. Ex1.)
⇒D=B-A=MONI XTR2
L=
唔
⇒ L = Ñ × ≤ = MOπ N³R ²
有心国串聯
妫

ページ72:

k
N-coils
鐵磁性鐵芯之電感
ak
a
↑
K R
dr
(adr)
F=Hr)
¨x & F.dt = NI = & Hudl = zπr Hir
NIA
NI
π = US 11 => B² = 4F = Úou
NI
272V
• SSB · ds = (R+ u NI (adr) = true s
UNI In
1-02
r+a/2
§
R-α/2
L= N 1 = UNI In Fa/
27
(N)

ページ73:

複習
F= fict) ŵxt facesúg
Ğ = 9, (+) ux+9=62) ŵy
F· G=fices. got) + files g(x)
de
F-G = fig, + figi + fá'gztfz Gá
2
= (fight fo'gs) + (fight fags")
G. LE
dĞ
家漿+醬
dz
de
d
de
da
F.dF
de
+ G.
df
of梯度
丁xf旋
微度高斯定律
=(x2)
((x, y, z)
Ch-4 Thr-44
Then,對合理之電磁系統,其中任何户,已知與辨.
則产可以唯一決定
捷度 法拉弟定律
d =
丁Ē = (非時) ⇒ XE=
只需知道散度旋度
散度磁通量守恒定律
= 0
.京
旋度安培定律
=宁
E = Eco + Eind
Eco
庫侖造成電場
法拉弟定律
2
Ex:感應磁場造成電場
丁x=x(+)=x=毒=(-)
⇒ √x Lees + Einel) = xx Find = -x = x (-3)
高斯定律
JX
保場,總店:0
7.=ze
> 7.(+)=ez知xE=e
7
- Eind = 0
Note: 對空間微分
“推得
=x^=x(x+中) Gauge Trans form.
↓調整它
1. A = 0
Thm. Find = - À

ページ74:

似穩態揤論
系统
Defn.似穩態系統
似穩態系統尺寸遠小於一個波長,即频率極小,波長很長,變化很缓慢。狀態(整個系統時變同步進行)
JÃ
→ 與時間無關
À cxY, Z, L) =Ã₁ (x, y, z) f(x) = o
- dt = Ã (x,y,z) excess dt = Ãocxinz) dfit) = d(Ão (x+1,2) f(x)) = dÃ
任何週期現象一定可寫成單頻弦波之離散相加⇒傅立葉級數
任何非週期現象一定可寫成單频弦波之連續相加⇒傳積分
Defn. Wu = SJS [ft Fid"] dz
Thm. 任何狀況有: dun = 5+开d房
all space
dz
PEC
I
建立電流,產生磁通,磁通變化產生感應電場
↓
要抵抗感應電場需要加入能量(抵抗威應電場)
Notes
→單位体の磁場能量
電場能量WE→抵抗库力
|磁場能量Wu→抵抗感應電動勢
稍淨磁能
Note:=單位体積功率
Wmo推導
(For EAJ #+#+)
#FILI≤19 ** IR >F4Z9Zŧ€?
(抗拒電場)
JSS --Eind) dz
R2.
R 單位体積功率
從0~F結束
Thm Find A
* Wa= √ of $11 3. 4- End] de d
由於
63 $113·(-) dz
是在有電流口地方相加
R
..
= 1 + $11 3. 31 de de
只可以擴大範圍到的大
:
d
0x ==
=S!! [5+ 7x57.dit] de
R
= [[玆(双)de]
= S*+ [!!! v. (×d)dz + S$Sit-xdy]dr}
。
= S² ² [ A d5 + SSSF dc <x) dz
理化 B
+rowto
SSS [dB] de
J
All space.
B= *A
by P53.
Note:
廣義安培定律 穩態成立
對鐵磁性材料也成立
§ óde = I
x=宁
|×)=6·0×70×
(x) = x) - H. x d A
· (x) = x² + x)
∴日旋度(對控間做微分計算)
but d妨是對時間做微分計算與底
∴自變數完全獨立可交換順序.
All space
單位体積能量

ページ75:

Note:
廚房 同方向
=
5+14-213
除了永久磁鐵
鐵磁性材質の磁帶區線
Remanence)
wercivity)矯頭性的HC.
殘磁
(摩撞)
a.c
Br
PI√(H)
加大電流
b
加上交流電
(摩擦)
同樣轉不動(摩擦力)
解釋
HA
SH.dB
積分一個週期二綠色面積
表示一個週期所消耗能量
[被鐵磁性材料摩擦掉能量]
結論:鐵磁性材料磁滯曲線所包圍的面積=每
一個電流週期;每單位體積損耗的能
量,故大電力系統 需要冷卻去減少能量
耗損
For $161.4 #4 #79
WE
Thn.對線性系統(B=uf)有
只要知道場。分佈
dz
dwn = 15.Ĥ (dway = 15€)
E)
"
知道場能量
(與系統建立狀態無飼)
電容儲存的能量
單位体積電場能量
产喝
B = μH W₁ = f² · dB = = = f² ·
u
J
除了鐵磁性材料
:
=
de
f
上
zu Jo
14:0
都能算
=
=
=

ページ76:

電感儲存能量
Ţ (x, y, z, e) = F cxcy, z) f(x)
A = Se Tree Idz' = 4 1 1 Free Jo 'cxisiz) (HIP) dz'
4π
R
W₁ = S² + S/S = 3 che dt = !!! [ 14 ] 1 de] dr
R
.
R
===就此
空間函數
→系統建立好狀態
= Jo. Ao [fies deficit ]
===₁₁ did t
"
do
== [50. To fuse) fu)] dd
=
(³Ã) dt
=
(本)
de
de
d-f³)
de
2 fill. I fay
「Thn.對m個單封閉細導線系統有Wu= {[I+I_豆+
磁場討論封閉細導線系統
CI
C2
C3
Note: 互威能量有正负
自成一定為正
0000
增
加。產生感應電場向友
釋放能量
吸收能量维持
互感
正互感
42=221
第一次
21只出現一次
Im Fm] = Lij
細導線電流向
總電流
SMS F. A dz of (Be F). À As Al
> 穿過《細導線
R₁
的磁通
=
{字婷= 电磁通
W₁ = ± √] F · A dr = ± √ F. Å dt + ... (1) F. Adk]
1 √1
Rit...&m
Rm
= ± [I P₁ +I₁₂+ ---- Im Øm] = ± ± 1 (x)
2:=212.1.
§₁ = ₁₁ + + m₁ = L₁₁+ L2+ mm = km-k
"Cm 18"
131
?
221=42
→線圓20互感對I2日通-
Note: 以上若CA&Cj其官場方向相同,则打取正值,否則取噯值

ページ77:

磁場口受力
Thn.磁通守恒系统有F=-own
PEC
PEC
> de
PEC
磁通守恒系統
AWE=F.dł
JWM
dwu = awm dx + 2why he dyt a win de
ǝx
= 7Wud交
dz
az
dwk+ dwn=0 能量守恒(孤立系統)→dunks-dwn.
一:PEC,亞不變
I₂
否則電流00,感應電場產生
☆完美導上不能有電場→移動時會自行調整電流使磁通不變
⇒!完美導体上電流流動不需能量
Thm.電流守恒系统⇒F=7Wu
PEC
PEC
₤ide Wadł » Ŕ = -JWM
動能系统能导
與電場差不多
加上電池,提供能量,老服感應電動勢
Free Wx. Wm. Ws
~ 411"
I₁.
H
PEC
==[IidA+Izapp+……
Indon]
①
dWs
①③下
=
dé
at
= (I, LE + I2 LE² + ... Im d)
t
dws=2dwn
電源提供功率
克服?感無電動勢
dWx= F.dt
Source (7)
durs = Id₁ + Izd E₂ + --- ImdEm
dwn=JWm dł
2dwu = dws
» dwk+dWμ = dws
比較
電場
電荷守恒F=-OWE
1116 F=WE
磁場
磁通守恒产=-Wh
電流守恆F=Wu
⇒ dwk=dwn
d
Source 提供

ページ78:

F G H # s ( n ¥ j k l l Ia, r=a & Ib, r = b ID # * =?
①
Ia
不
56
D>>α.b
Soli
D
给電流 電流固定值(電流守恆)
由於系統,能量是纯量
需要能量相對於觀測奌之距过
@
Lee x=(x可以移動)→只影響互感
Wμ= 411 Ia b + = (1 + 2x1₁² )
互感
磁通
221 = -
Wn= K+
42
D>>α-b
2
=
IC(圓形細導線迴路在高度大正上方磁場)
面積
No 1 Ta³
πa² [Ja Ib]
F= = - IaIb. |q=D
互相吸引
互域的
M
{
N. I
8000 0000000
6
Mo
Vo
=-1×-
2
Arab² IaIb
dwu
1
2
=
B· B = JuB²
dz
zu
I a (UNI) x (IR² α) + (MNT) X TURK (L-X)
左
有害流→電法守恆
右
₤=JWM = TER'N² I? [ll-Mo]-úx
B = Û MONI & Ŕ = ÛMNI
(直條螺線)